1、考研数学一（高等数学）模拟试卷 129 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 ，则 f(x)有( )（A）两个第一类间断点（B）三个第一类间断点（C）两个第一类间断点和一个第二类间断点（D）一个第一类间断点和一个第二类间断点2 函数 f(x)在 x0 处的左、右导数 f(x 0)，f+(x 0)存在，则 f(x)在 x0 点( )（A）可导（B）连续（C）不可导（D）不连续3 设 是由曲面 围成的空间区域，三重积分在球坐标系下化为累次积分是( )4 已知闭曲线 c 的方程为 x+ y=2，则曲线积分 ( )（A）4（B） 1（C） 2（D）0二、填空
2、题5 设 y=y(x)是由方程 2y3 一 2y2+2xyx2=1 确定的，则 y=y(x)的极值点是 x=_6 曲面 x2+2y2+3z2=21 在点(1，一 2，2) 的法线方程为_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。7 设 f(x)在 x=a 的某邻域内可导，且 f(A)0，a0 ，求极限8 设 g(x)是微分方程 g(x)+g(x)sinx=cosx 满足条件 g(0)=0 的解，求极限9 设函数 f(x)有任意阶导数且 f (x)= f2 (x) ，求 fn (x)10 设 f(x)为0，1上单调减少的连续函数，且 f(x)0，试证：存在唯一的点(0， 1)，使得 0
3、f(x)dx=(1)f( ) 11 计算12 设 f(x)的二阶导数连续，f(0)=1，f(0)=1， 又 f(x)ydx= 13 设 f(x)在1，+)上连续，且 f(x)0，求的最小值，其中 12f(x)dx=a， 12 f(x)dx=b13 设 g(x)= 0xf(t)dt，求：14 y=g(x)的水平渐近线15 求该曲线 y=g(x)与其所有水平渐近线， Y 轴所围平面图形的面积16 已知(a6)c=2 ，求(a+b)(b+c)(c+a) 17 设函数 f(x，y)满足 试求出函数 f(x，y)的表达式18 设函数 z=f(x，y)具有二阶连续偏导数，且 试证明：对任意的常数c，f(x
4、，y)=c 为一直线的充分必要条件是 (fy)2fxx 一 2fxfyfxy+(fx)2fyy=019 求二重积分 其中 D 是由曲线 xy=2，直线 y=x 一 1 及y=x+1 所围成的区域20 设函数 f(x，y)在区域 D=(x，y)x 2+y21上有二阶连续偏导数，且21 计算曲线积分 I= (y2 一 z2)dx+(2z2 一 x2)dy+(3x2 一 y2)dz，其中 是平面x+y+z=2 与柱面z+ y=1 的交线，从 z 轴正向看去， 为逆时针方向22 将函数 在点 x0=1 处展开成幂级数，并求 fn(1)23 在 xOy 坐标平面上求一条曲线，使得过每一点的切线同该点的向
5、径及 Oy 坐标轴一起构成一个等腰三角形24 求解微分方程25 已知函数 f(x)具有二阶连续导数，f(0)=0， 且对任意的光滑有向封闭曲面，都有 求函数 f(x)的表达式考研数学一（高等数学）模拟试卷 129 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 注意到当x 易求得可见，x=1 和 x=1 都是 f(x)的第一类间断点，而 x=0 是 f(x)的第二类间断点，故选 C函数 f(x)的间断点 x0 分为两类：f(x) 在 x0的左、右极限存在的间断点称为第一类间断点，其中左、右极限相等的间断点称为可去间断点f(x)在 x0
6、的左、右极限至少有一个不存在的间断点称为第二类间断点2 【正确答案】 B【试题解析】 由 f(x 0)， f+(x0)存在，有 f(x)在 x0 处既左连续又右连续因而f(x)在 x0 处连续故选 B 若 f(x)在 x0 处的左、右导数存在且相等时，则 f(x)在 x0处可导，看左、石导数小相等，则 f(x)在 x0 处不可导，本题中没有指明左、右导数是否相等，因而既不能选 A 也不能选 C3 【正确答案】 B【试题解析】 在球坐标下， 可写为故选 B4 【正确答案】 D【试题解析】 因为曲线 C 关于 x=0 和 y=0 都对称，所以故选 D二、填空题5 【正确答案】 应填 1【试题解析】
7、 方程两边对 x 求导得 6y 2y一 4yy+2y+2xy一 2x=0 即 y(3y2 一 2y+x)=xy 令 y=0，得 y=x，代入原方程得 (x 一 1)(2x2+x+1)=0 有 x=1 是唯一的驻点，对 y(3y2 一 2y+x)=xy 求导得 y(3y 2 一 2y+x)+y(6yy一 2y+1)=1 一 y 将x=1，y=1，y(1)=0 代入得 因而 x=1 为极小值点6 【正确答案】 应填【试题解析】 本题考查曲面在一点处的法线方程关键是求出法线的方向向量，而此方向向量恰是曲面在点(1，一 2，2)处的法向量设 F(x，y，z)=x 2+2y2+3z2 一21，则曲面在点
8、(1，一 2，2)处的法向量，即法线的方向向量为Fx，F y，F z (1,2,2) =2x，4y，6z (1,2,2) =2，一 8，12，故所求法线方程为三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。7 【正确答案】 原式【试题解析】 “一”型是分式，一般先通分极限这种解法是错误的因为这里利用了 而已知条件不能保证 f(x)在点 a 连续 关于“一”型未定式的极限，一般的处理方法为：是分式先通分；是根式先有理化；是整式先提出无穷大因子的最高次幂，分别将其化为 或“0”型再计算8 【正确答案】 【试题解析】 由 g(0)=0 可知， 用导数的定义求所给极限本题也可先求微分方程的解，再求极
9、限，但没有用导数的定义来求解简便微分方程的解有时无法求出9 【正确答案】 将 f(x)=f2(x)两边求导得 f(x)=2f(x)f(x)=2f 3(x)=2!f3(x) 再求导得 f(x)=6f2(x) f(x)=3!f4(x) 用数学归纳法可证明 f (n)(x)=n!f(n+1)(x)【试题解析】 关于高阶导数的计算，一般来说，很难写出 f(n)(x)(n3)的统一公式，但可利用常见函数的 n 阶导数 (a，b 为常数)： (e ax+b)n=aneax+b，(ax+b) (n)=an(1) ( n+1)(ax+b) n ，和莱布尼兹公式f(x)g(x) (n)=f(x)gn(x)+Cn
10、1f(x)gn1 (x)+Cn2f (x)gn2 (x)+Cnn1 (x)fn1 (x)g (x)+fn (x)g(x)，来计算某些初等函数的 n 阶导数10 【正确答案】 令 (x)=(1 一 x)F(x)=0xf(t)dtx0xf(t)dt，则 (x)在0，1上连续，在(0， 1)内可导，且 (0)=(1)=0 由洛尔定理，存在点 (0，1)，使得 ()=0，即 f()一 0f(t)dtf()=0，故有 0f(t)dt=(1 一 )f() 用反证法证明唯一性 假若在(0，1)内存在点 1、 2，不妨设 1 2，使两式相减得：由已知条件可知，上式的左边大于零，而右边小于零矛盾，故点 是唯一的
11、【试题解析】 记 F(x)=0xf(t)dt，欲证存在点 ，使得 F()=(1)F() F(x)=(1x)F(x)解变量可分离的微分方程得 即(1 一 x)F(x)=c 作辅助函数 (x)=(1 一 x)F(x)，用洛尔定理证明11 【正确答案】 【试题解析】 本题的积分法称为分项分部积分法，也可用分项分部积分法计算如下积分:我们常遇到的是消去了分子中的同类项或分子分母中的公因分子后所得到的积分12 【正确答案】 由题意有 亦即 f(x)+f(x)=3cos2x， f(0)=一 1， f(0)=1 特征方程为 2+1=0，其根为 1,2=i所以，f(x)+f(x)=0 的通解为 c1cosx+
12、c2sinx 设 f*(x)=Asin2x+Bcos2x 为原方程的一个特解，代入原方程可得 A=0，B=一 1，即 f*(x)=一 cos2x因此，原方程的通解为c1cosx+c2sinxcos2x由厂(0)=1，f(0)=1 可解得 c1=0，c 2=1，故原方程的解为f(x)=sinxcos2x于是，【试题解析】 由所给方程为全微分方程可得 f(x)应满足的微分方程，先解方程求f(x)，再积分13 【正确答案】 令 (x)=0，得 x=2又当 1x2 时，(x) 0；当 x2 时，(x)0所以，x=2是 (x)的极小值点，又驻点唯一，故 x=2 是 (x)的最小值点，且最小值为 (2)=
13、(1+ln2) 12f(x)dx 12 f(x)dx=(1+ln2)ab14 【正确答案】 15 【正确答案】 【试题解析】 求曲线的渐近线，就是求极限曲线的渐近线包括水平渐近线、垂直渐近线和斜渐近线，求解时要全面考虑曲线 y=f(x)的斜渐近线 y=ax+b 中，系数的计算公式为： 其中 x包括 x一或 x+16 【正确答案】 原式=(a+b)(b+c) c+(a+b)(b+c) a=(ab)+(ac)+(bb)+(bc) c+(ab)+(ac)+(bb)+(bc)a=(ab) c+(bc)a=2(ab) c=4【试题解析】 本题主要考查向量的运算及其运算律17 【正确答案】 【试题解析】
14、由微分方程，通过求积分，即可得到相应的函数 f(x，y)的表达式在对 x 或 y 求枳分时，另一个变量 y 或 x 就应视为常数18 【正确答案】 必要性：设 f(x，y)=c 是一直线，则必有 f(x，y)=ax+by+d(a、 b、d 均为常数 )，从而 fx=a，f y=b，f xx=fxy=fyy=0，则 (f y)2f xx 一2fxf yf xy+(fx)2f yy=0充分性：即(f y)2f xx 一2fxf yf xy+(fx)2f yy=0 时，f(x,y)=c 是一条直线【试题解析】 由于 y=y(x)是线性函数的充分必要条件是： y(x)=k(常数)，进而y(x)=0设
15、y=y(x)是方程 f(x，y)=0 所确定的隐函数，则只需证明：f(x，y)=c 是一直线方程的充分必要条件是19 【正确答案】 作出积分区域 D 的图形，如图 184 因积分区域 D 关于坐标原点 0 是对称的，被积函数(x+y) 又是变量 x 与 y 的偶函数，故【试题解析】 本题的被积函数含有两个绝对值符号，关键问题在于先去掉一个绝对值符号，再去掉另一个 在将积分区域 D 分割成 2(D1+D2+D3)时，千万不要将积分区域 D1 与 D2 并成一个区域 因为在积分区域 D1 上，0x1 ，但 xly0，因而不能随意去掉 y 的绝对值符号 但是在积分区域 D2 上，0xl，又有0yx+
16、1，是可以去掉 y 的绝对值符号的20 【正确答案】 因为积分区域 D 是一个圆，所以【试题解析】 因为积分区域 D 是一个圆，所以考虑用极坐标计算本题的关键在于二重积分的交换次序、格林公式、第二类型的曲线积分、三重积分综合利用等，比较复杂，且有一定的技巧21 【正确答案】 利用斯托克斯公式 记为平面 x+y+z=2 上 所围成部分的上侧，D 为在 xOy 坐标平面上的投影由斯托克斯公式，得【试题解析】 本题主要考查第一类型曲线积分的求解方法22 【正确答案】 因为【试题解析】 “在点 x0=1 处展开成幂级数”，即展开成 x 一 1 的幂级数形式将函数 f(x)视为23 【正确答案】 如图
17、1111， 设此曲线方程为 y=y(x)，过此曲线上任意一点 P(x，y)的切线为 Yy=y(x)(Xx) 根据题意，它与 Oy 坐标轴的交点为 A(0，y 一 xy)，使得 AOP 为等腰三角形若OP=AP，此时有这不仅可作为分离变量的微分方程，也可作为齐次微分方程，通解为 xy=c，其中 c 为任意常数若 OA= OP，此时有 其中 c 为任意常数若OA=AP，此时有 这是齐次微分方程通解为 x2+y2=cx，其中 c 为任意常数【试题解析】 本题主要考查如何根据实际问题建立相应的微分方程，并求其通解为使AOP 为等腰三角形，需要讨论三角形中哪两条边是相等的24 【正确答案】 将原微分方程
18、改为(xy+1)dx 一(z+y 2+3)dy=0，取 P(x，y)=x 一y+1，Q(x，y)=一(x+y 2+3) 由于 则上述微分方程是一个全微分方程 利用凑全微分的方法 将微分方程(xy+1)dx 一(x+y 2+3)dy=0 改为 xdx+dx 一(ydx+xdy)一 y2dy 一 3dy=0，即 所以，原微分方程的通解为【试题解析】 本题主要考查全微分方程的求解方法若微分方程 P(x，y)dx+Q(x，y)dy=0 中的函数 P(x，y)、Q(x，y)在平面上的单连通区域 D 内连续，且则存在二元函数 u(x，y)，使得 du=P(x， y)dx+Q(x，y)dy，且25 【正确答案】 由于第二类曲面积分与封闭曲面的无关性，所以即 e xf(x)+exf(x)一 2exf(x)一ex=0，即 f(x)+f(x) 一 2f(x)=1 其对应齐次方程的特征根为 =一 2，=1 ，故对应齐次方程的通解为 c1ex+c2e2x 由于非齐次项 p(x)=e0x，所以非齐次方程有形如y*=A 的特解，代入方程得 所以，【试题解析】 本题主要考查封闭曲面积分与路径的无关性以及二阶常系数线性微分方程的解法，是一道较综合的题
