1、考研数学一（高等数学）模拟试卷 133 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f(x)有二阶连续导数且 f(0)=0， 则下列说法正确的是( )（A）f(0)不是 f(x)的极值，(0，f(0)也不是曲线 y=f(x)的拐点（B） f(0)是 f(x)的极小值（C） (0，f(0)是曲线的拐点（D）f(0)是 f(x)的极大值点2 在曲线 x=t，y=t 2，z=t 3 的所有切线中，与平面 x+2y+z=4 平行的切线( )（A）只有 1 条（B）只有 2 条（C）至少有 3 条（D）不存在二、填空题3 设 f(x)为可导的偶函数，且 则曲线 y=
2、f(x)在点 x=一 1处法线的斜率为_4 =_5 在 Oy 轴上的点 M 到平面 2x+3y6z=6 及 8x+9y72z+73=0 的距离相等，则 M为_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。6 设 f(x)在( 一，+)内连续，以 T 为周期，令 求证： (1)F(x)=kx+(x)，其中 k 为某常数，(x)是以 T 为周期的周期函数(2)7 求极限8 设 f(x)在 x=0 的某邻域内二阶可导，且 求 f(0)，f(0) ，f(0)9 已知函数 y=f(x)在任意点 x 处的增量 且当x0 时，a 是x 的高阶无穷小，y(1)=0 ，求 y(e)10 设 f(x)在a，b
3、上连续，在(a,b)内二阶可导，且 试证：存在一点 (a，b) ，使得 f()=011 设 f(x)在0，2上连续，在 (0，2)内可导，f(0)=f(2)=1，且f(x)1，试证：1 02f(x)dx312 求13 设 求 0f(x)dx14 设 f(x)在 试证：15 在曲线 y=ex (x0)上求一点，使过该点的切线与两坐标轴所围平面图形的面积最大，并求出最大面积16 设(1 ，一 1)是曲线 y=x3+ax2+bx+c 的拐点，且 y 在 x=0 处取极大值求 a， b，c17 一平面通过点(1，2，3)，它在 x 轴、y 轴上的截距相等，问：当平面在三个坐标轴上的截距分别为何值时，它
4、与三个坐标面所围成的空间体的体积最小?并写出此平面的方程18 设函数 z=f(u)由方程 u=(u)+xyp(x+yt)dt 所确定，u 是变量 x、y 的函数，其中函数 f(u)、(u)可微，而函数 p(t)、(u)连续，且 (u)1，求19 求二重积分 其中积分区域D=(x，y) x 2+y21，x 2+y22x0，y0 20 交换极坐标系下的二重积分 的次序，其中 f(r，)为连续函数21 求抛物面 z=1+x2+y2 的一个切平面，使得它与该抛物面及圆柱面(x 一 1)2+y2=1所围成的体积最小，试写出切平面方程，并求出最小体积22 设空间曲线 由球面 x2+y2+z2=1 与平面
5、x+y+z=1 的交线确定，求曲线积分23 计算曲面积分 I= x(8y+1)dydz+2(1 一 y2)dzdx 一 4yzdxdy，其中是曲面绕 y 轴旋转一周所成的曲面，它的法向量 n 与 y 轴正向的夹角恒大于23 设直线 L 过 A(1，0，0)，B(0，1，1) 两点，将 L 绕 z 轴旋转一周得到曲面，与平面 z=0，z=2 所围成的立体为 24 求曲面的方程；25 求 的形心坐标26 求级数 的“和数”s27 将函数 f(x)=2+x( 一 1x1)展开成以 2 为周期的傅里叶级数，并求数项级数的“和数 ”28 求初值问题29 求微分方程 的通解30 在第一象限求一曲线，使曲线
6、的切线、坐标轴和过切点与横轴平行的直线所围成的梯形面积等于 a2，且曲线过点 (a，a)，a0 为常数考研数学一（高等数学）模拟试卷 133 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 由 即 f(x)0 则 f(x)在(一 ，) 内单调上升，亦即 当 x(0，)时 f(x)f(0)=0， 当 x(一，0)时 f(x)f(0)=0 因此 x=0 是 f(x)的极小值点，故选 B2 【正确答案】 B【试题解析】 本题考查空间曲线的切向量的求法以及直线与平面平行的充要条件，故需先求出切线的方向向量，并且此方向向量与平面的法向量的数量积为
7、 0对应于 t=t0 的曲线切线的方向向量为 =1，一 2t0，3t 02，平面的法向量为，n= 1，2，1) 由题意知，n，即 n=0，从而 14t0+3t02=0得 t0=1，或 因而满足题意的切线只有 2 条，故选 B二、填空题3 【正确答案】 应填一 1【试题解析】 由 f(x)为可导的偶函数可知 f(x)为奇函数，即 f(一 x)=一 f(x)又所以 f(1)=一 1，f(一 1)=一f(1)=1，故所求法线的斜率 可导偶函数的导函数为奇函数，可导奇函数的导函数是偶函数，可导周期函数的导函数是同周期的周期函数利用函数的奇、偶性和周期性可求抽象函数及其导函数在某点的值4 【正确答案】
8、应填 0【试题解析】 若 f(x)以 T为周期，则5 【正确答案】 应填【试题解析】 设 M(0，a ，0) ，则由点到平面的距离公式和题意得解出 a 即得三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。6 【正确答案】 (1)由令 则(x)=F(x)一 kx 是以 T 为周期的周期函数从而有 F(x)=kx+(x) (2)因为不一定存在，所以不能用洛必塔法则求该极限 但可写成： (x)在(一，+)连续且以 T 为周期于是 (x)在0，T 上有界，在 (一 ，+) 上有界，所以，(无穷小量与有界变量的乘积仍为无穷小量)【试题解析】 只要确定常数 k，使得 (x)=F(x)一 kx 以 T 为
9、周期(1) 设 f(x)是以T 为周期的连续函数，则有如下结论： 1)f(x) 的原函数 是以 T 为周期的函数的充分必要条件是 2) 3)(2)对 存在或为无穷大量时，可由洛必塔法则得知 但当 不存在且不为无穷大量时，不能断定 不存在7 【正确答案】 考虑级数 ，用比值判别法【试题解析】 用比值判别法知级数 利用级数收敛的必要条件，可求一些极限为 0 的数列的极限8 【正确答案】 由麦克劳林公式可得 sinx=x 一 x3+0(x3)；f(x)=f(0)+f(0)x+ f(0)x2+0(x2)于是，可得 f(0)+2=0，f(0)=0， 即 f(0)=一 2，f(0)=0，【试题解析】 已知
10、函数 f(x)在 x=0 的某邻域内二阶可导，便可由麦克劳林公式得到 f(x)的表达式，从而可求出 f(0)，f(0)，f(0) 求抽象函数 f(x)在指定点 x0 的函数值和导函数的值，本质上是求抽象函数的极限若已知 f(x)在 x0 的某邻域内具有n+1 阶导数，可先由带余项的台劳公式写出 f(x)的表达式便可直接得到函数值和导函数的值9 【正确答案】 由题设可得 于是，当x0 时，取极限可得y(1)=0，即 xdyydx=xlnxdx，亦即 积分得 由 y(1)=0，得 c=0 所以【试题解析】 由已知条件 取极限建立关于 y 的微分方程，解方程求出 y=y(x)的解析式，再求函数值10
11、 【正确答案】 作辅助函数 F(x)=axf(t)dt，则 F(x)在a，b上连续，在(a ，b)内可导由拉格朗日定理可知，存在点 (a，b)，使得于是，在区间a，和 ，b 上分别应用洛尔定理，可知存在点 1(a，)， 2(，b)，使得 f(1)一 f(2)=0再对 f(x)在1， 2上应用洛尔定理，可知存在点 (1， 2) (a，b)，使得 f()=0【试题解析】 由洛尔定理可知：要证存在一点 (a，b)，使得 f()=0，只要证：1， 2 a，b，使得 f(1)=f(2)=0，只要证： 点 (a，b) ，使得 f(z)=f()=f(b) 由条件 可知，对 F(x)=axf(t)dt由拉格朗
12、日定理便可找到这样的点 若按一般教材上的积分中值定理，只能证存在点 a，b使得 f()，不能完成本题证明，实际上，积分中值定理可推广11 【正确答案】 由拉格朗日微分中值定理，得 存在点 1(0，x)，使得 f(x)一 f(0)=f(1)x， 存在点 2(x，2)，使得 f(x)一 f(2)=f(2)(x 一 2) 又f(x)1 ，所以有 f(x)一 f(0)x1 一 xf(x)1+x，x 0，1， f(x)一 f(2)2 一 xx 一 1f(x)3一 x，x1，2 由定积分的性质可知 02f(x)dx01(1 一 x)dx+02(x 一 1)dx=1， 02f(x)dx01(1+x)dx+1
13、2(3 一 x)dx=3 故 102f(x)dx3【试题解析】 先应用拉格朗日微分中值定理估计 f(x)的值域范围，再用积分性质估计定积分 已知 f(x)一阶可导，且至少有一个端点函数值为零的命题，通常先写出含这个端点的拉格朗日微分中值定理的结论： f(x)=f(x)一 f(a)=f()(xa) (f(a)=0)，或 f(x)=f(x)一 f(b)=f()(x 一 b) (f(b)=0) 然后，根据题意进行不等式放缩 若有f(a)=f(b)=0，则 f(x)可表示为 f(x)=f(x) 一 f(a)=f(1)(x 一 a)， f(x)=f(x)一 f(b)=f(2)(x一 b)12 【正确答案
14、】 【试题解析】 本题中用的积分法，称为分项一分部积分法，其一般形式为：注意：任意常数 c 不能抵消13 【正确答案】 0f(x)dx=0f(x)d(x 一 ) =(x 一 )f(x) 0一 0(x 一 )f(x)dx 【试题解析】 直接求 f(x)不可能，用分部积分法可把积分号去掉(1)用分部积分法可把 f(x)转化为 f(x)(2)适当凑微分 (如本题中 d(x 一 )使得第一部分为零，这是在分部积分法中经常用的技巧(3)本题还可用二重积分变换积分次序来计算14 【正确答案】 【试题解析】 本题这种由观察法构造辅助函数的方法也是常见的方法，熟记一些常见函数的导数对利用观察法构造辅助函数是有
15、益的如下列函数的导数：e xf(x) ，e f(x)，f(x) g(x) ， f(x) axg(t)dt15 【正确答案】 设切点为(c，e c )，则切线方程为 yec =一 ec (xc)，其截距式为 所以，切线与两坐标轴围成的面积为 S= (1+c) 2ec ，c0令 S=(1+c)1 (1+c)ec =0，得 c=1 及 c=1(舍去) 又实际问题本身存在最大值，故 c=1 即为 S 的最大值点，且最大值为 S(1)=2e1 此时切点的坐标为(1 ，e 1 )【试题解析】 先写出切线方程，再求出面积解析式并求最大值16 【正确答案】 已知 y=x3+ax2+bx+c，则 y=3x 2+
16、2ax+b， y=6x+2a 由(1，一 1)是曲线的拐点及 x=0 为极大值点可知 y(1)=一 1，y(1)=0，y(0)=0 得 b=0，a=一 3，c=1所以 y=x3 一 3x2+117 【正确答案】 设所求平面的截距式方程为 根据题意，a=b，则平面方程为 又因为点(1,2,3)在此平面上，故设此平面与三个坐标平面所围成的空间立体的体积为 V，则故当c=9 时，此平面与三个坐标平面所围成的空间立体的体积最小此时，平面的方程为【试题解析】 本题主要考查平面在坐标轴上的截距的概念、平面的截距式方程以及一元分段函数的最小值问题本题较为综合，不仅考查了平面的截距式方程的逆问题(反求参数)，
17、而且还考查了一元分段函数的最小值问题18 【正确答案】 令 x+yt=u，则 xyp(x+y 一 t)dt=yxp(u)(一 du)=xyp(u)du=xyp(t)dt 联立方程组： 在上述方程组中，分别对变量 x、y 求偏导数，得19 【正确答案】 如图 182，利用直角坐标系 在直角坐标系下，积分区域为D=D1+D2，其中【试题解析】 根据积分区域的表达式，画出相应的积分区域的图形，以此确定相应的计算方法20 【正确答案】 所给积分区域的边界的直角坐标系下的方程为 x2+y2=ax将原积分区域变换为 D=(x，y)x 2+y2=ax)【试题解析】 极坐标系下的二重积分的交换次序，与直角坐标
18、系下的二重积分的交换次序完全一致本题的积分区域在直角坐标系下，是以圆心在点(1，0)处，半径为 1 的单位圆21 【正确答案】 设 M0(x0，y 0，z 0)是抛物面上的任意一点，则该点处的切平面方程为 即 2x0(x 一 x0)+2y0(y 一 y0)一 z 一(1+x02+y02)=0于是， z=2x 0x+2y0y+1 一 x02 一 y02 由于该立体在 xOy 坐标平面上的投影区域为 D=(x，y)(x 一 1)2+y21，则所围成的体积为由于驻点的唯一性，根据问题的实际意义，体积 V 确有最小值故当 x0=1，y 0=0 时，体积 V达到最小 此时，切平面方程为 2(x1)一(z
19、 一 2)=0，即 2xz=0【试题解析】 本题主要考查抛物面上的任意一点的切平面方程，切平面与抛物面及圆柱面所围成的体积得到体积公式中的被积函数的表达式是本题的关键所在22 【正确答案】 利用积分的轮换对称性，有【试题解析】 本题的关键是如何求出圆 半径，为此可根据题意画出图 191因为曲线 是一个圆，其内接正三角形的边长为 可求得圆 的半径为23 【正确答案】 因为曲线 绕 y 轴旋转一周所成的曲面为 y 一 1=z2+x2于是，补充一块有向曲面 其法线方向与 Y 轴的正向相同由高斯公式，得【试题解析】 形如 的形式很简单时，常用高斯公式计算若不封闭，此时计算 I 常采用“补面法”将补上一
20、块有向曲面 *，使得+ *为封闭曲面利用高斯公式，将+ *上的曲面积分化为三重积分的计算24 【正确答案】 过 A(1，0，0)，B(0，1，1)两点的直线 L 的方程为设(x，y，z) 为旋转曲面上任意一点，且是直线 L上对应点(x 0，y 0，z 0)绕 z 轴旋转所得，则 消去上式中的 z0 即得 L 绕 z 轴旋转一周所得曲面 的方程： x 2+y2=(1 一 z)2+z2，即x2+y2 一 2z2+2z 一 1=025 【正确答案】 设立体 的形心坐标为 由立体 关于坐标面 yOz，xOz对称，得【试题解析】 考查直线不在坐标面上的旋转曲面方程的建立与重积分的应用两个三重积分的计算，
21、选择先“二”后“一”，最后对 z 积分的方法，否则不方便计算26 【正确答案】 考虑幂级数27 【正确答案】 因为 f(x)是偶函数，所以 bn=0(n=1，2，)，且 a0 =201 (2+x)dx=5， an =201 (2+x) cosnxdx=201 xcosnxdx = 因为函数 f(x)在 x一 1，1上满足狄利克雷收敛定理的条件，故28 【正确答案】 利用常数变易法，得非齐次线性微分方程得通解为 y=e 一 x c+f(x)ex dx即 其中 C1、C 2 均为任意常数 由初始条件 y(0)=0，当 0x1 时，有 c1=一 2，即 y=2(1 一 ex ) 由于要求解是连续的，
22、则 因为 y(1)=2(1 一 e1 )，则 c2e 1=2(1 一 e1 )，得 c2=2(e 一1)于是，所求初值问题的连续解为【试题解析】 本题主要考查非齐次项为分段函数的微分方程的求特解的方法以及解的连续性问题29 【正确答案】 利用变量替换化为齐次微分方程 将变量 y 视为自变量，则x=x(y)就是 y 的函数由于原方程是齐次微分方程，令这是一个变量可分离的微分方程，解得 于是，原微分方程的通解为 其中 c 为任意常数30 【正确答案】 设所求曲线为 y=f(x)由题设，作出所围梯形，如图 1112 中的阴影部分所示 过曲线 y=f(x)上的点(x，y) 的切线方程为 Yy=f(x)(Xx) 令 Y=0，得切线在 x 轴上的截距为 即为梯形的下底的长度 又梯形的上底的长为 x，高为 y因此，梯形面积为这是关于 y 的一阶非齐次线性微分方程，可求得通解为 其中 c 为任意常数 又因为曲线过点(a，a) ，即满足初始条件 y(a)=a 代入通解中，得 于是，所求曲线方程为【试题解析】 这是一个微分方程的几何应用问题解决这类问题要注意两点：(1)由实际问题及题设条件，建立微分方程(即列列出含有自变量 x、未知函数 y及未知函数的导数 y的问题)，并指出相应的初始条件(2)判断微分方程的类型，给出相应的解(包括微分方程的通解及满足初始条件的特解)
