1、考研数学一（高等数学）模拟试卷 140 及答案与解析一、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。1 求 (x1)ln 2(x1)dx2 求定积分：(I)J min2，x 2dx； (II)J (1 一t )dt ，x一 13 设 n 为正整数，利用已知公式，其中，求下列积分：(I)J n sinxndx；(II)J n (x21)ndx4 设函数 f(x)在(一，)内满足 f(x)f(x 一 )sinx 且 f(x)x，x0，)，求f(x)dx5 求无穷积分 6 设 f(x)求 f(x)的不定积分 7 设 f(x)arcsin(x 一 1)2，f(0) 0，求 8 设 a0，f(x)在(
2、 ， )上有连续导数，求极限 f(ta)f(ta)9 求 (x)1f(t)dt ，其中 f(t)为已知的连续函数，(x)为已知的可微函数10 设 f(x)在( 一，) 连续，在点 x0 处可导，且 f(0)0，令(I)试求 A 的值，使 F(x)在(一，)上连续；(II)求 F(x)并讨论其连续性11 设 x0，a时 f(x)连续且 f(x)0(x(0，a)，又满足 f(x) ，求f(x)12 求函数 f(x) 在区间e ，e 2上的最大值13 求星形线 (a0) 所围区域的面积 A14 求下列旋转体的体积 V： (I)由曲线 yx 2，xy 2 所围图形绕 x 轴旋转所成旋转体： (II)由
3、曲线 xa(tsint)，ya(1 一 cost)(Ot2)，y0 所围图形绕 y 轴旋转的旋转体15 设两点 A(1，0，0) 与 B(0，1，1)的连线 绕 z 轴旋转一周而成的旋转面为 S，求曲面 S 与 z0，z 1 围成的立体的体积16 求双纽线，r 2a 2cos2(a0)绕极轴旋转所成的旋转面的面积17 求功：(I)设半径为 1 的球正好有一半沉入水中，球的比重为 1，现将球从水中取出，问要做多少功?(II)半径为 R 的半球形水池，其中充满了水，要把池内的水全部取尽需做多少功?18 求引力：(I)在 x 轴上有一线密度为常数 ，长度为 l 的细杆，在杆的延长线上离杆右端为口处有
4、一质量为 m 的质点 P，求证：质点与杆间的引力为F (M 为杆的质量)(II) 设有以 O 为心，r 为半径，质量为 M 的均匀圆环，垂直圆面， b，质点 P 的质量为 m，试导出圆环对 P 点的引力公式19 过曲线 yx 2(x0)上某点 A 作一切线，使之与曲线及 x 轴围成图形面积为 ，求：(I)切点 A 的坐标；(II)过切点 A 的切线方程； (III)由上述图形绕 x 轴旋转的旋转体的体积20 设常数 ab，曲线 P：y (x，)的弧长为 1()求证： ；()求定积分 21 设 f(x)为非负连续函数，且满足 f(x) f(xt)dtsin 4x，求 f(x)在0， 上的平均值2
5、2 已知抛物线 yax 2bx c 经过点 P(1，2) ，且在该点与圆相切，有相同的曲率半径和凹凸性，求常数 abc 23 设 a0， f(x)在(0 ，) 连续，求证：24 设 f(x)在a，b上连续，f(x)0 且 f(x)dx0，求证：在 a，b上 f(x)025 证明 ，其中 n 为自然数考研数学一（高等数学）模拟试卷 140 答案与解析一、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。1 【正确答案】 【知识模块】 高等数学2 【正确答案】 ()min2，x 2 于是【知识模块】 高等数学3 【正确答案】 【知识模块】 高等数学4 【正确答案】 【试题解析】 由于题目只给出了 f(
6、x)在区间0 ，)上的具体表达式，为计算在，3 一 上的积分值，就应该通过换元法使其积分区间落到0 ，)上另外，也可以通过 f(x)f(x )sinx 及 f(x)在0，) 上的表达式，求出 f(x)在，3)上的表达式，然后再求积分值这里所采用的是第一种方法，读者可采用第二种方法计算【知识模块】 高等数学5 【正确答案】 J ln(1x)lnx dx，而 ln(1x)lnx dxln(1x)lnxdx xln(1x)lnx dxxln C，因此【知识模块】 高等数学6 【正确答案】 当 x0 时，f(x)sin2xdx cos2xC 1 当 x0 时，f(x)ln(2x1)dxxln(2x1)
7、 xln(2x 1)dx xln(2x1)x ln(2x1) C 2，为了保证 F(x)在 x0 点连续，必须 C2 C 1 (*)特别，若取 C10，C 2 就是 f(x)的一个原函数因此f(x)dxF(x)C【试题解析】 本题的被积函数是分段定义的连续函数，则 f(x)存在原函数，相应的原函数也应该分段定义然而按照原函数的定义，F(x)f(x)，即 F(x)必须是可导的，而且导数是 f(x)这样，F(x) 首先就应该连续，下面就是按照这一要求，利用连续拼接法把分段定义的原函数黏合在一起，构成一个整体的原函数【知识模块】 高等数学7 【正确答案】 01f(x)dx 01f(x)d(x1)(x
8、 1)f(x) 01-01(x1)f(x)dxf(0)01(x1)f(x)dx- 01(x1)arcsin(x1)2dx arcsin(x1)2d(x12)【知识模块】 高等数学8 【正确答案】 【解法一】记 I(a) f(ta)f(ta)dt，由积分中值定理可得 I(a) f(a)f( a)2a f(a)f(a)，aa因为 f(x)有连续导数，应用拉格朗日中值定理可得 I(a) f()2af()，aa于是f(0)【解法二】【知识模块】 高等数学9 【正确答案】 (x)f(t)dt(x)f(x)(x)(x)f(x)(x) (x) f(t)dt【知识模块】 高等数学10 【正确答案】 (I)由变
9、上限积分性质知 F(x)在 x0 时连续为使其在 x0 处连续，只要 F(x)A而 故令A0 即可() 当 x0 时 F(x)在 x0 处，由导数定义和洛必达法则可得故 F(x)在( 一 ，)上连续【知识模块】 高等数学11 【正确答案】 因 f(x) f2(x) dt， (*)由 f(x)连续及 x2 可导知f2(x)可导，又 f(x)0，从而 f(x)可导，且f 2(x) 2f(x)f(x)，故将上式两边对 x 求导，得 2f(x)f(x)f(x)2x f(x)x在(*)式中令 x0 可得 f(0)0于是(*)式两边积分 得【知识模块】 高等数学12 【正确答案】 若 f(x)在a ，b上
10、连续，其最大(小)值的求法是：求出 f(x)在(a，b)内的驻点及不可导点处的函数值，再求出 f(a)与 f(b)，上述各值中最大(小)者即最大(小)值；若 f(x)单调，则最大 (小)值必在端点处取得由可知 f(x)在e，e 2上单调增加，故【知识模块】 高等数学13 【正确答案】 图形关于 x，y 轴均对称，第一象限部分：0xx，0y，【知识模块】 高等数学14 【正确答案】 (I)如图 32，交点(0 ，0)，(1，1)，则所求体积为()如图33，所求体积为 V2 02ayxdx2 02aa(1cost)a(tsint)a(1 cost)dt2a 302(1cost)2(tsint)dt
11、2a 302(1cost)2tdt2a3-(1cost)2sintdt2a 302(1cost)2tdt 1cos(u) 2(u)du 2a 3-(1cosu) 2udu2 2a3-(1cosu) 2du4 2a30(1cosu)2du4 2a30(12cosucos 2u)du4 2a3( ) 63a3 【知识模块】 高等数学15 【正确答案】 直线方程： 上任意点(x，y， z)与 z 轴的距离的平方为：x 2y 2(1 一 t)2t 2z 2(1 一 z)2，则 S(z)z 2(1z) 2，从而 V S(z)dz z2(1z) 2dz 【试题解析】 这是截面积已知的立体与 z 轴垂直的平
12、面截此旋转体所得截面即此平面与 的交点绕 z 轴旋转所得的圆，其面积记为 S(x)，则 V S(z)dz关键求 方程，再求 上点与 z 轴的距离【知识模块】 高等数学16 【正确答案】 双纽线如图 34 所示由对称性，只需考察 0， 面积由 r2a 2cos2【知识模块】 高等数学17 【正确答案】 (I)方法 1 (微元法)以球心为原点， x 轴垂直向上，建立坐标系取下半球中的微元薄片，即 取小区间x，xdx 一 1，0，相应的球体小薄片，其重量(即体积) 为 (1 一 x2)dx，在水中浮力与重力相符，当球从水中移出时，此薄片移动距离为(1x) ，故需做功 dw1(1x)(1 一 x2)d
13、x因此，对下半球做的功 w1 -10(1x)(1x 2)dx 取上半球中的微元薄片，即 取小区间x，xdx0， 1，相应的小薄片，其重量为 (1 一 x2)dx，当球从水中移出时，此薄片移动距离为 1所受力为重力，故需做功 dw2(1 一 x2)dx因此，对上半球做的功w2 01(1x2)dx于是，对整个球做的功为 w w1w 2 -10(1x)(1x 2)dx 01(1x2)dx -1-1(1x2)dx -10x(1x2)dx方法 2 把球的质量 集中于球心球从水中取出作的功可以看成质量为 的质点向上移动距离为 1 时变力的做功问题归结为求变力 F(重力与浮力的合力 )球受的重力球的体积，球
14、受的浮力沉在水中的球的体积，它们的合力球露出水面部分的体积当球心向上移距离 h(0h1)时，球露出水面部分的体积：因此，取出球时需做功 ()建立坐标系如图36取 x 为积分变量，x0，R x，xdx相应的水薄层，看成圆柱体，其体积为 (R2x2)dx，又比重 1，于是把这层水抽出需做功 dwx(R 2 一 x2)dx因此，所求的功【知识模块】 高等数学18 【正确答案】 (I)如图 37 建立坐标系，取杆的右端为原点，x 轴正向指向质点P任取杆的一段 x，xdx，它对质点 P 的引力为 因此，杆与质点 P 间的引力大小为 其中M 是杆的质量 ( )如图 38，由对称性，引力沿方向取环上某点为计
15、算弧长的起点，任取弧长为 s 到 sd5 的一段微元 ，它的质量为 ，到 P 点的距离为 与 的夹角为， cos ，则微元 对 P 点的引力沿 方向的分力为 dFk，于是整个圆环对 P 点的引力为【知识模块】 高等数学19 【正确答案】 如图 39(I)设点 A(x0，x 02)，点 A 处的切线方程yx 022x 0(xx0)，即 y2x 0xx02令 y0 截距 x 按题意解得 x01 A(1，1)()过 A 点的切线 y2x 一 1() 旋转体体积【知识模块】 高等数学20 【正确答案】 ()：y 2(xa)(bx)x 2(ab)xab ，两边对 x 求导得2yy 2xa b， y2(1
16、y 2)y 2x 2y 2(ab)x ()曲线 ：是以 为圆心，半径为的半圆周由题()：a ， ，则对应的 长【知识模块】 高等数学21 【正确答案】 令 xtu，则 ，于是两边积分，故 f(x)在0， 上的平均值为 【知识模块】 高等数学22 【正确答案】 圆 的半径为 ，所以在圆上任何一点的曲率为 由于点 P(1，2)是下半圆上的一点，可知曲线在点 P(1，2)处为凹的，所以由确定的连续函数 yy(x)在 P(1，2)处的 y0又经过计算，可知在点 P(1，2)处的 y1由题设条件知，抛物线经过点 P(1，2)，于是有 abc2抛物线与圆在点 P(1，2) 相切，所以在点 P(1，2)处
17、y1，即有2ab1又抛物线与圆在点 P(1，2)有相同的曲率半径及凹凸性，因此有解得 a2，从而 b一 3，c 2 一 a 一 b3【知识模块】 高等数学23 【正确答案】 (I)按要证的等式，将等式左端改写可得(II)按题设，对左端作变换【知识模块】 高等数学24 【正确答案】 由定积分的性质【知识模块】 高等数学25 【正确答案】 利用被积函数的结合性，原式改写成 In cosn1xcosxsinnxdx，两式相加得 2I ncosnn1(cosxsinnx 一 sinxcosnx)dx cosnn1xsin(n1)xdx现得递推公式 令 Jn2 nIn，得由此进一步得【知识模块】 高等数学
