1、考研数学一（高等数学）模拟试卷 141 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f(x)在 xa 处连续， 2，则 f(x)在 xa 处（A）不可导（B）可导且 f(a)0（C）有极大值（D）有极小值2 若 xf(x)3xf(x) 21e x 且 f(0)0，f(x)在 x0 连续，则下列正确的是（A）(0 ，f(0) 是曲线 yf(x)的拐点（B） f(0)是 f(x)的极小值（C） f(0)不是 f(x)的极值， (0，f(0) 也不是 yf(x)的拐点（D）f(0)是 f(x)的极大值3 设 f(x)在(a ，b)定义，x 0(a，b)，则下列命
2、题中正确的是（A）若 f(x)在(a，b)单调增加且可导，则 f(x)0(x (a，b)（B）若 (x0，f(x 0)是曲线 yf(x)的拐点，则 f(x0)0（C）若 f(x0)0，f(x 0)0，f(x 0)0，则 x0 一定不是 f(x)的极值点 （D）若 f(x)在 xx 0 处取极值，则 f(x0)04 设 f(x)可导，恒正，且 0a xb 时恒有 f(x)xf(x)，则（A）bf(a) af(b)（B） abf(x)x 2f(b)（C） af(a) xf(x)（D）abf(x) x2f(a)5 若函数 f(x)在0，)上连续，在(0，)内可导，且 f(0)0，f(x)k0，则在(
3、0， )内 f(x)（A）没有零点（B）至少有一个零点（C）只有一个零点（D）有无零点不能确定6 曲线 yarctan 渐近线的条数是（A）1（B） 2（C） 3（D）47 曲线 yf(x) (x1)lnx1 (x1)ln x1的拐点有（A）1 个（B） 2 个（C） 3 个（D）4 个二、填空题8 的极大值点是 x_，极小值点是 x_9 曲线 y3x 1 的渐近线方程为_10 曲线 y (x27)(一x)的拐点是_11 数列 的最大项为_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。12 证明定积分 13 证明：14 证明 ，其中 p015 证明 16 已知一条抛物线通过 x 轴上两点
4、A(1，0)，B(3 ，0)，方程为 ya(x 1)(x 3)，求证：两坐标轴与该抛物线所围成的面积等于 x 轴与该抛物线所围成的面积17 设 f(x)在0，1连续，且对任意 x，y0，1均有f(x)f(y) M xy，M 为正的常数，求证： 18 设函数 f(x)与 g(x)在区间 a，b上连续，证明：19 设 f(x)在a，b有连续的导数，求证：20 设 讨论 f(x)与 g(x)的极值21 求函数 的单调区间，极值点，凹凸性区间与拐点 22 作函数 的图形23 设 f(x)，g(x) 在(a，b) 内可导，g(x)0 且 ( x(a，b)证明：存在常数 c，使得 f(x)cg(x)，x
5、(a，b)24 证明：arctanxarcsin (x(一 ，)25 设 f(x)在0，a二次可导且 f(0)0，f(x)0求证： 在(0，a 单调下降考研数学一（高等数学）模拟试卷 141 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 由 f(x)在 xa 连续 f(x)f(a)又根据极限的保号性0，当 0x 一 a 时 0，即 f(x)一 f(a)0因此 f(a)为极小值故选(D) 【知识模块】 高等数学2 【正确答案】 D【试题解析】 由 f(0)0 知 x0 是 f(x)的驻点为求 f(0)，把方程改写为 f(x)3f(x)
6、2 令 x0，得 f(0) 一 10 f(0)为极大值故选(D)【知识模块】 高等数学3 【正确答案】 C【试题解析】 【分析一】 (A)，(B)，(D) 涉及到一些基本事实若 f(x)在(a，b)可导且单调增加 f(x)0(x(a，b)若(x 0，f(x 0)是曲线 yf(x) 的拐点，则 f(x0)可能不存在若 xx 0 是 f(x)的极值点，则 f(x0)可能不存在因此(A)，(B)，(D) 均不正确(如图 41 所示) 选(C) 【分析二】 考察(C)f(x 0)0，不妨设 f(x0)0，则f(x)在(x 0 一，x 0单调下降，在x 0， x0)单调上升 f(x)f(x 0)0(x(
7、x 0，x 0)，xx0) f(x)在(x 0 一 ，x 0)单调上升，x 0 不是 f(x)的极值点选(C)【分析三】考察(C)不妨设 f(x0) 0由题设，f(x)在 xx 0 有如下三阶泰勒公式：f(x)一f(x0)f(x 0)(xx0) f(x0)(xx0)2 f(x0)(x 一 x0)3o(x 一 x0)3)(x 一 x0)3。 f(x0)o(1)(xx 0)，其中 o(1)为无穷小量(xx 0 时) 0，f(x)一 f(x0)因此 xx 0 不是 f(x)的极值点【知识模块】 高等数学4 【正确答案】 C【试题解析】 (A) ，(B)， (D)分别改写为因此要考察 的单调性因为又
8、在a，b 连续 在a，b单调上升 (A)(B)(C)均不对选(C)或由正值函数 在a，b单调上升 xf(x) 在a，b单调上升 (C)对选(C)【知识模块】 高等数学5 【正确答案】 C【试题解析】 讨论函数的零点，一般要用连续函数在闭区间上的介值定理根据拉格朗日中值定理，f(x)f(0) f()x(0x)，得 f(x)f(0)kx显然当 x 足够大时 f(x)0(事实上只需 x )，又 f(0)0，这就表明在 (0，x)内存在 f(x)的零点，又 f(x)0，即有 f(x)单调增加，从而零点唯一，故选(C)【知识模块】 高等数学6 【正确答案】 A【试题解析】 令 f(x) arctan ，
9、f(x)的定义域是(一，一 2)(2，1)(1，)，因f(x) ，从而 x1 与 x一 2 不是曲线 yf(x)的渐近线又因 故 y 是曲线 yf(x)的水平渐近线综合知曲线 yf(x)有且只有一条渐近线选(A)【知识模块】 高等数学7 【正确答案】 B【试题解析】 f(x)的定义域为( 一，一 1)(一 1， 1)(1，)，且在定义域内处处连续由 f(x)x lnx1 lnx1，令 f(x)0，解得x10，x 22；f(x)不存在的点是 x3一 1，x 41(也是 f(x)的不连续点) 方法 1 现列下表：由上表可知，f(x)在 x10 与 x22 的左右邻域内凹凸性不一致，因此它们都是曲线
10、 yf(x)的拐点，故选(B)方法 2 因此选(B)【知识模块】 高等数学二、填空题8 【正确答案】 0，【试题解析】 0x1 时 f(x)0，按定义 x0 是极大值点，x0 时是极小值点由于 f(x)是偶函数，x 也是极小值点【知识模块】 高等数学9 【正确答案】 y3x1【试题解析】 只有间断点 x0， (3x1 )*618x0 为垂直渐近线又有斜渐近线 y3x1【知识模块】 高等数学10 【正确答案】 (0，0)【试题解析】 这里 y(x)在(一， )连续， (y(0)， y(0)均不 )，y(x)在 x0 两侧凹凸性相反，(0，0)是拐点【知识模块】 高等数学11 【正确答案】 【试题
11、解析】 考察函数 f(x) (x1)，求 f(x)在1，) 上的最大值由f(x)在1，e单调上升，在e，)单调下降，f(x) 在 xe 取最大值，它的相邻两点是x2，3现比较 f(2) f(3) ，因此，最大项是： 【知识模块】 高等数学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。12 【正确答案】 先作变量替换 tx 2(x ) 被积函数在0，2上变号，t(0，)时取正值，t(，2) 时取负值，于是把后一积分转化为0，上积分，然后比较被积函数，即 被积函数，若补充定义 f(0)0，则 f(t)在0， 连续，且 f(t)0(t (0，) 【知识模块】 高等数学13 【正确答案】 ()由题
12、 ()与题()得【知识模块】 高等数学14 【正确答案】 【注】 由此不等式可知 sin(x2)dx0【试题解析】 要将积分作恒等变形，可供考虑的方法是分部积分法【知识模块】 高等数学15 【正确答案】 【证法一】 使用换元积分法令 x t，则这是由于被积函数是奇函数，积分区间是对称的【证法二】 使用和差化积公式由于sin2nxsin2xsin2xsin4xsin4xsin(2n 2)sin(2n2)xsin2nxsin2x2cos3xsinx2cos5xsinx2cos(2n3)xsinx2cos(2n1)xsinx，所以 I2 0cosxcos3xcos5xcos(2n1)xdx0【注】
13、与本题相类似，可以证明：【知识模块】 高等数学16 【正确答案】 1)抛物线方程 ya(x 一 1)(x 一 3)(a0 或 a0 为常数)，如图310 所示 2)求两坐标轴与抛物线所围面积 S1，即S1 01a(x 1)(x3)dxa 01(1x)(3x)dx a 01(3x)d(1x)2a(3) a 01(1x)2dx 3)求 x 轴与该抛物线所围面积 S2，即 S2 13a(x1)(x3)dxa 13(x1)(3x)dxa 13 (3x)d(x1)2 a 13(x1)2dx4)因此，S 1S 2【知识模块】 高等数学17 【正确答案】 将 分别表示成代入不等式左端，然后利用定积分性质与已
14、知条件得【知识模块】 高等数学18 【正确答案】 【证法一】 把证明定积分不等式转化为证明重积分不等式引入区域 D(x，y) axb ，ayb(*)式左端【证法二】引入参数，即考虑f(x) tg(x)2由于因此，其判别式 ，即(*)式成立【知识模块】 高等数学19 【正确答案】 可设 f(x)f(x 0)，即证故得证【知识模块】 高等数学20 【正确答案】 (I)对于 f(x)：当 x0 时 f(x)：e x0，从而 f(x)在(0，)内无极值 当 x0 时 f(x)(x1)e x，令 f(x)0，得 x一 1当 x一 1 时f(x)0，当一 1x0 时 f(x)0，故 f(一 1)一 e1
15、为极小值 再看间断点 x0 处，当x0 时 f(x)xe x0f(0)；当 x0 且 x 充分小时，f(x)e x 一 20，故 f(0)0 为极大值 (II)对于 g(x)：当 x0 时 g(x)一 ex0，从而 g(x)在(0，)内无极值 当 x0 时与 f(x)同，g( 一 1)一 e1 为极小值 在间断点 x0 处 g(0)一1当 x0 时 g(x)一 1；当 x0 且x充分小时 g(x)为负值且g(x)1，从而有 g(x)一 1故 g(0)非极值【知识模块】 高等数学21 【正确答案】 定义域：x1单调增区间(0，1) ；单调减区间(一，0)(1， )；极小值点 x0【知识模块】 高
16、等数学22 【正确答案】 定义域：x0()渐近线：只有间断点 x0由 一可知，有垂直渐近线 x0；由可知，有水平渐近线 y0图形略【知识模块】 高等数学23 【正确答案】 因为所以存在常数 c，使得 c ( (a，b) ，即 f(x)cg(x) ( x(a，b)【试题解析】 即证明 f(x)g(x) 在(a，b)为常数，只需证在(a，b)有f(x) g(x)0【知识模块】 高等数学24 【正确答案】 令 f(x)arctanx 一 arcsin ，则f(x)为常数又 f(0)0 f(x)0，x (一，)【知识模块】 高等数学25 【正确答案】 【证法一】 对 F(x)求导得 F(x) xf(x
17、)0 ( x(0，a)又 F(0)0，则 F(x)0( x(0， a)，即 xf(x)一 f(x)0(0xa)【证法二】 f(x)0 意味着 f(x)是凸函数，从而曲线在任一点切线的下方，即 t0，a有 f(t)f(x)f(x)(tx) ( x0，a，xt)特别地，令 t0 时，f(0)0f(x)一 f(x)x，即xf(x)一 f(x)0 (x(0，a)【证法三】 由微分中值定理， x(0，a， (0，x)使得 xf(x)一 f(x)xf(x)一f(x) 一 f(0)xf(x) 一 xf()xf(x)一 f()0(因为 f(x)单调减少)【证法四】 由泰勒公式， x(0，a， (0，x) ，有 0f(0)f(x)f(x)(一 x) f()(一 x)2由 f()0 f(x)一 xf(x)0，即 xf(x)一 f(x)0 ( x(0，a)【试题解析】 要证 在(0，a单调下降，只需证明导数为此令 F(x)xf(x)一 f(x)，则只需证 F(x)0( x(0，a)【知识模块】 高等数学
