1、考研数学一（高等数学）模拟试卷 142 及答案与解析一、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。1 设 P(x)在0，) 连续且为负值，yy(x)在0，) 连续，在(0 ，) 满足y P(x)y0 且 y(0)0，求证：y(x) 在0，) 单调增加2 设 g(x)在a，b 连续，f(x)在a ，b二阶可导，f(a)f(b)0，且对 x(axb)满足f(x)g(x)f(x)一 f(x)0求证：f(x)0(xa ，b)3 设 f(x)在a，b连续，在(a，b) 可导，f(a) f(b) ，且 f(x)不恒为常数，求证：在(a， b)内存在一点 ，使得 f()04 证明方程 xasinxb(0
2、0，b0 为常数)至少有一个正根不超过 ab5 求证：e x ex2cosx 5 恰有两个根6 设当 x0 时，方程 kx 1 有且仅有一个解，求 k 的取值范围7 讨论曲线 y2lnx 与 y2xln 2k 在(0，)内的交点个数(其中 k 为常数)8 证明： ln(1x)( x0) 9 已知不等式：当 x0 时(1x)ln 2(1x) x 2(见例 423)，求证：x(0，1)时10 设 f(x)在1，)可导， xf(x)kf(x)(x 1)，在(1，)的 子区间上不恒等，又 f(1)M，其中 k，M 为常数，求证：f(x) (x1)11 设 ae，0xy ，求证：a ya x(cosx
3、cosy)axlna12 设 0x 1x 2，f(x)在x 1，x 2可导，证明：在(x 1，x 2)内至少 一个 c，使得13 设 f(x)在0，1可导且 f(1) f(x)dx，求证： (0，1)，使得 f()2f()14 已知以 2 为周期的周期函数 f(x)在(一 ，) 上有二阶导数，且 f(0)0设F(x)(sinx1) 2f(x)，证明： x0 使得 F(x0)015 设 ba0，f(x)在a，b上连续，在(a ，b)内可导，f(a)f(b) ，求证：存在， (a，b)使得 16 设 f(x)在 x0 的某邻域内有连续的一阶导数，且 f(0)0，f(0)存在，求证：17 设有参数方
4、程 0t( )求证该参数方程确定 yy(x)，并求定义域； () 讨论 yy(x) 的可导性与单调性；()讨论 yy(x) 的凹凸性18 设 f(x)nx(1x) n(n 为自然数)，()求 f(x)；()求证：19 (I)设 f(x)在x 0，x 0)(x 0 ，x 0)连续，在(x 0，x 0)(x 0，x 0)可导，又，求证：f (x0)A(ff (x0)A)()设 f(x)在(x 0 ，x 0)连续，在(x 0 ，x 0) x 0可导，又 A，求证：f(x0)A()设 f(x)在(a，b)可导，x 0(a，b)是 f(x)的间断点，求证：xx 0 是f(x)的第二类间断点20 设 f(
5、x)在(a，)内可导，求证：(I)若 x0(a，)，f(x) 0(xx 0)，则；() 若 f(x)A0，则 f(x)21 证明奇次方程 a0x2n1 a1x2na 2nxa 2n1 0 一定有实根，其中常数 a0022 设 f(x)在( 一，) 可导，且 f(x) f(x)A，求证： c(，)，使得 f(c)0 23 设 f(x) (I)求 f(x)； ()证明：x0 是 f(x)的极大值点；() 令 xn ，考察 f(xn)是正的还是负的，n 为非零整数；()证明：对0，f(x)在(，0上不单调上升，在0， 上不单调下降24 求函数 f(x) (x(一，) 的最小值25 将长为 a 的一段
6、铁丝截成两段，用一段围成正方形，另一段围成圆，为使两段面积之和最小，问两段铁丝各长多少?考研数学一（高等数学）模拟试卷 142 答案与解析一、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。1 【正确答案】 由 yP(c)y0(x 0) 0 (x0)，又y(x)在0，)连续， y(x)在0，)单调y(x)0(x0)y(x)一 P(x)y(x)0 (X0) y(x)在O ，) 单调增加【知识模块】 高等数学2 【正确答案】 若 f(x)在a ，b上不恒为零，则 f(x)在a，b取正的最大值或负的最小值不妨设 f(x0 f(x)0，则 x0(a，b) 且 f(x0)0，f(x 0)0 f(x0)g(
7、x 0)f(x0)一 f(x0)O 与已知条件矛盾同理，若 f(x1) f(x)0，同样得矛盾因此 f(x)0 ( xa，b)【知识模块】 高等数学3 【正确答案】 若不然 x(a，b)，f(x)0 f(x)在a，b单调不增 xa，b，f(a)f(x)f(b) f(x)f(a) f(b)在a，b为常数，矛盾了【知识模块】 高等数学4 【正确答案】 考察 f(x)x 一 asinxb，即证它在(0，a b 有零点显然，f(x)在0，ab连续，且 f(0)一 b0，f(ab)a1 一 sin(ab)0若 f(ab)0，则该方程有正根 xa b若 f(ab)0，则由连续函数零点存在性定理c(0，ab
8、)，使得 f(c)0【知识模块】 高等数学5 【正确答案】 即证 f(x)e xe x2cosx 一 5 在(一 ，)恰有两个零点由于f(x)e x 一 ex 一 2sinx，f(x)e xe x 一 2cosx22cosx0 (x0)， f(x)在(一，) 又因 f(0)0 f(x)在(一 ，0 单调下降，在0， )单调上升又 f(0)一 10， f(x)，因此 f(x)在(一，0)与(0， )各 唯一零点，即在(一 ，)恰有两个零点【知识模块】 高等数学6 【正确答案】 设 f(x)kx 1(x0)，则 f(x)k 一 ，f(x) 0(I)当 k0 时，f(x)0，f(x)单调减少，又故
9、f(x)此时只有一个零点() 当 k0 时，由 f(x)0 得 x ，由于 f(x)O，x是极小值点，且极小值为 当极小值为零时，即当时，有 k ，此时方程有且仅有一个根；当 k时，方程无根或有两个根因此，k 的取值范围为 k0 及 k 【知识模块】 高等数学7 【正确答案】 令 f(x)2xln 2k 一 2lnx(x(0，)，于是本题两曲线交点个数即为函数 f(x)的零点个数由 令 g(x)xlnx 一 1 令 f(x)0 可解得唯一驻点 x01(0，)当 0x1 时 f(x)0，f(x) 在(0，1单调减少；而当 x1 时 f(x)0，f(x)在1，)单调增加于是 f(1)2k 为 f(
10、x)在(0， )内唯一的极小值点，且为(0，)上的最小值点因此 f(x)的零点个数与最小值 f(1)2k 的符号有关当 f(1)0 即 k一 2 时 f(x)在(0，)内恒为正值函数，无零点当 f(1)0 即 k一 2 时 f(x)在(0，) 内只有一个零点 x01当f(1)0 即 k一 2 时需进一步考察 f(x)在 x0 与 x的极限： f(x) 2xklnx(lnx 一 2) ， f(x) (2xk)lnx(lnx 一 2)，由连续函数的零点定理可得， x1(0，1)与 x2(1，)使得 f(x1)f(x 2)0，且由 f(x)在(0，1)与 (1，)内单调可知 f(x)在(0 ，1)内
11、与(1，)内最多各有一个零点，所以当 k一 2 时，f(x)在(0 ，) 内恰有两个零点【知识模块】 高等数学8 【正确答案】 (I)令 F(x)x 一 ln(1x) F(x) 1 0(x 0)又F(0)0，F(x)在0，)连续 F(x)在0，) F(x)F(0)0( xO)(II)令 G(x)ln(1x)一(x 一 )ln(1x)一 x 则故 G(x)在0，) ，即有 G(x)G(0)0【知识模块】 高等数学9 【正确答案】 令 g(x) ，则由【例 423】知当 x0 时有故 g(x)在(0，1)内单调下降又 g(x)在(0 ，1 连续，且 g(1) 1，g(x) 在 x0 无定义，但若补
12、充定义g(0) ，则 g(x)在0，1上连续又 g(x)O，0 x1，因此 g(x)在0，1单调下降所以，当 0x1 时 g(1)g(x) g(0)，即 成立【知识模块】 高等数学10 【正确答案】 已知 xf(x)(k1)f(x)0(x1) ，在(1，) 子区间上不恒为零，要证 f(x)xk1 M(x1)令 F(x)f(x)x k1 F(x)x k1 f(x)(k1)x kf(x)x kxf(x) (k1)f(x)0(x1)，在(1，) 子区间上不恒为零，又 F(x)在1， )连续 F(x)在1，)单调下降 F(x)F(1) f(1)M (x1)【知识模块】 高等数学11 【正确答案】 把不
13、等式改写成 注意到(a x)a xlna，(cosx) 一 sinx，而sinx1对 f(t)a t，g(t)cost ，在区间x，y上应用柯西中值定理，即知存在满足 0xy ，使得由于axa ， 0sin1，故由上式可得 ayax(cosxcosy)a xlna【知识模块】 高等数学12 【正确答案】 要证 f(x)一 f(x)k 在(x 1，x 2) 零点 exf(x)f(x)ke x(f(x)k)在(x 1，x 2)零点令 F(x)e xf(x)一 k，则 F(x)在x 1，x 2可导考察因此，由罗尔定理c(x1，x 2)，F(c)0【知识模块】 高等数学13 【正确答案】 令 F(x)
14、 f(x)，则 F(x)在0 ， 1可导，且 F(1)e 1f(1)2e 1f(x)dx f()F() ， 0， 因此，由罗尔定理， (0，) (0，1)，使得 F() f()一 2f() 0， 即 f()2f()【知识模块】 高等数学14 【正确答案】 显然 F(0)F 0，于是由罗尔定理知， x1(0， )，使得F(x1)0.又 F(x)2(sinx 一 1)f(x)(sinx 一 1)2f(x)，对 F(x)应用罗尔定理，由于F(x)二阶可导，则存在 x0* ，使得 F(x0*)0.注意到 F(x)以 2 为周期，F(x)与 F(x)均为以 2 为周期的周期函数，于是 x02x 0*，即
15、x0(2， )，使得 F(x0)F(x 0*)0【知识模块】 高等数学15 【正确答案】 因为 f(x)在a ，b上满足拉格朗日中值定理条件，故至少存在(a， b)，使令 g(x)x 2，由柯西中值定理知， (a，b)，使将式代入式，即得 f()(ab)【知识模块】 高等数学16 【正确答案】 因为 ln(1x)x(x (一 1，)，故由拉格朗日中值定理可知，存在 (x)(ln(1x)，)，使得 由此可得由于当 x0 时，有； 当一 1x0 时，有 故由夹逼定理知， 于是【知识模块】 高等数学17 【正确答案】 (I) 3cos 2t(一 sint)0，(t0，) ，仅当 t0，是 t 的单调
16、(减)函数， 反函数 tt(x) ysin 3t(x)y(x)，x一1，1 注意yy(x)在1，1连续， t 与 x 的对应关系：0x1 时 y(x)单调下降，一 1x0 时 y(x)单调上升 yy(x)在一 1，0，0，1均是凹的yy(x)的图形如图 42【知识模块】 高等数学18 【正确答案】 () 先求 f(x)n(1x) n11(n1)x ，得唯一驻点xx n 又 f(0)f(1) 0，f(x n) 因此 f(x)f(x n) ()注意 已知数列 单调下降极限为 e【知识模块】 高等数学19 【正确答案】 (I)另一类似()由题(I) f (x0)f (x0)A f(x0)A或类似题(
17、I)，直接证明()即证 f(x)中至少一个不 若它们均存在， f(x)A ，由题(I) f(x0)A 因 f(x)在 x0 可导AA f(x 0)在 xx 0 连续，与已知矛盾因此，xx 0 是 f(x)的第二类间断点【知识模块】 高等数学20 【正确答案】 (I) xx 0，由拉格朗日中值定理， (x0，x)，f(x)f(x 0)f()(xx0)f(x 0)(x 一 x0)，又因 f(x0)(xx 0) f(x)()因 f(x)A 0，由极限的不等式性质 x0(a，)，当 xx 0 时 f(x)0，由题(I)得 f(x)【知识模块】 高等数学21 【正确答案】 不妨设 a00令 f(x)a
18、0x2n1 a 1x2na 2nxa 2n1 ，则又 f(x)在(一，)连续，因此在(一，)内 f(x)至少存在一个零点【知识模块】 高等数学22 【正确答案】 由极限不等式性质转化为有限区间的情形(如图 43)若 f(x)A，显然成立若 f(x)A，必存在 x0，f(x 0)A，不妨设 f(x0)A由极限不等式性质， bx 0，f(b)f(x 0)； ax 0，f(a)f(x 0)f(x)在a，b有最小值，它不能在 xa 或 x b 处达到，必在 (a，b)内某点 C 处达到，于是 f(c)0【知识模块】 高等数学23 【正确答案】 (I)当 x0 时按求导法则得当 x0 时按导数定义得 (
19、II)由于 f(x)一 f(0)一 x2(2sin )0(x0)，即 f(x)f(0)，于是由极值的定义可知 x0 是 f(x)的极大值点(III) 令 xN (N1，2，3，)，则 sin 0，cos (一 1)n，于是 ()对 0，当 n 为 负奇数且n充分大时 xn(一 ，0)，f(x n)0 f(x)在(一 ，0)不单调上升；当 n 为正偶数且 n 充分大时 xn(0，)，f(x n)0 f(x)在(0， )不单调下降【知识模块】 高等数学24 【正确答案】 先求导数并得驻点 由 f(x)0 即 2x 0 得唯一驻点 x 再求由于 f(x)在(一，)内可导，且有唯一的极小值点 x ，因而必是最小值点，f(x)的最小值为【知识模块】 高等数学25 【正确答案】 设围成圆的铁丝长为 x，则围成正方形的铁丝长为 a 一 x，于是圆的半径 r ，正方形边长 (a 一 x)，问题是求面积 S(x)，x(0，a) 的最小值点由时面积和最小【知识模块】 高等数学
