1、考研数学一（高等数学）模拟试卷 143 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 方程 ysinxylny 满足条件 的特解是2 设 C，C 1， C2，C 3 是任意常数，则以下函数可以看作某个二阶微分方程的通解的是（A）yC 1x2C 2xC3 （B） x2y 2C （C） yln(C 1x)ln(C 1xsinx)（D）yC 1xsin2xC 2cos2x3 方程 y一 2y3ye xsin 的特解的形式为（A）e xAcos Bsin （B） xexAcos Bsin （C） Aexsin （D）Ae xcos 4 设 y1(x)，y 2(x)为二阶
2、变系数齐次线性方程 yp(x)yq(x)y0 的两个特解，则C1y1(x)C 2y2(x)(C1，C 2 为任意常数)是该方程通解的充分条件为（A）y 1(x)y2(x)一 y2(x)y1(x)0（B） y1(x)y2(x)一 y2(x)y1(x)0（C） y1(x)y2(x)y 2(x)y1(x)0（D）y 1(x)y2(x)y 2(x)y1(x)0二、填空题5 下列微分方程中(填序号)_是线性微分方程6 已知(x 一 1)y一 xyy0 的一个解是 y1x，又知 ye x 一(x 2x1)，y *一x21 均是(x 一 1)y一 xyy(x 一 1)2 的解，则此方程的通解是 y_三、解答
3、题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。7 求从点 A(10，0) 到抛物线 y24x 的最短距离8 求圆 x2y 21 的一条切线，使此切线与抛物线 yx 2 一 2 所围面积取最小值，并求此最小值9 要建一个圆柱形无盖水池，使其容积为 V0m3底的单位面积造价是周围的两倍，问底半径 r 与高 h 各是多少，才能使水池造价最低?10 设 f(x)在0，b可导，f(x)0( x(0，b)，t 0，b，问 t 取何值时，图中阴影部分的面积最大? 最小? 11 求下列函数的带皮亚诺余项至括号内所示阶数的麦克劳林公式：()f(x)e xcosx(x3)； ()f(x) ()f(x) ，其中 a0(
4、x 2)12 求下列函数的带皮亚诺余项的麦克劳林公式：(I) f(x)sinx 3； () f(x)xln(1一 x2)13 确定下列无穷小量当 x0 时关于 x 的阶数：()f(x)e x1x xsinx；()f(x) cosx114 求下列极限：15 确定常数 a 和 b 的值，使得 16 设 f(x)x 2sinx，求 f(n)(0)17 设 f(x)在 x0 处二阶可导，又 ，求 f(0)，f(0)，f(0) 18 设 f(x)在 x0 处 n(n2)阶可导，且当 xa 时是 x 一 a 的 n 阶无穷小，求证：f(x)的导函数 f(x)当 xa 时是 x 一 a 的 n1 阶无穷小1
5、9 设 f(x)在 xa 处四阶可导，且 f(a)f(a)f(a)0，但 f(4)(a)0，求证：当 f(4)(a)O(0) 时 xa 是 f(x)的极小(大)值点20 设 f(x)，g(x) 在 xx 0 某邻域有二阶连续导数，曲线 yf(x) 和 yg(x)有相同的凹凸性求证： 曲线 yf(x)和 yg(x) 在点(x 0，y 0)处相交、相切且有相同曲率的充要条件是：f(x)一 g(x) o(x 一 x0)2)(xx 0)21 求 f(x)3 x 带拉格朗日余项的 n 阶泰勒公式22 设 f(x)在a，b上连续，在(a，b) 内二阶可导，证明： (a，6)使得23 设 f(x)为 n1
6、阶可导函数，求证：f(x) 为 n 次多项式的充要条件是 f(n1) (x)0，f n(x)024 设 f(x)在(0，)二阶可导且 f(x)，f(x) 在(O ，)上有界，求证：f(x)在(0， )上有界25 设 f(x)在a，b二阶可导，f(x)0，f(x)0(x(a，6)，求证：考研数学一（高等数学）模拟试卷 143 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 这是变量可分离的方程【知识模块】 高等数学2 【正确答案】 D【试题解析】 仅有(D) 含有两个独立的任意常数 C1 与 C2，选(D) 【知识模块】 高等数学3 【正
7、确答案】 B【试题解析】 关键是求特征根：由 2230 非齐次项 f(x)e xsinx， ai1 是特征根选(B)【知识模块】 高等数学4 【正确答案】 B【试题解析】 根据题目的要求，y 1(x)与 y2(x)应该线性无关，即 (常数)反之，若这个比值为常数，即 y1(x)y 2(x)，那么 y1(x)y 2(x)，利用线性代数的知识，就有 y1(x)y2(x)一 y2(x)y1(x)0所以，(B)成立时，y 1(x)，y 2(x)一定线性无关，应选(B) 【知识模块】 高等数学二、填空题5 【正确答案】 、【试题解析】 这四个方程中只有、 对未知函数 y 及其各阶导数作为总体是一次的，因
8、而是线性的【知识模块】 高等数学6 【正确答案】 C 1xC 2ex 一 x2 一 1【试题解析】 由非齐次方程(x 一 1)y一 xyy (x 一 1)2 的两个特解 与 y*可得它的相应齐次方程的另一特解 一 y*e x 一 x，事实上 y2(e 2 一 x)xe x 也是该齐次方程的解，又 ex 与 x 线性无关，因此该非齐次方程的通解是 yC 1xC 2ex 一x2 一 1，其中 C1，C 2 为任意常数【知识模块】 高等数学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。7 【正确答案】 抛物线上点 P( ，y)到 A(10，0)的距离的平方(如图 44)为问题是求 d(y)在0，
9、)上的最小值(d(y)在(一，)为偶函数)由于 在(0，)解 d(y)0 得y 于是 d( )36，d(0)100又 d(y) d(y)在0，)的最小值为 36，即最短距离为 6【知识模块】 高等数学8 【正确答案】 如图 45，圆周的参数方程为 xcos，ysin圆周上 点(cos， sin)处切线的斜率是 ，于是切线方程是它与 yx 2 一 2 交点的横坐标较小者为 ，较大者为 ，则 ，是方程 x2xcot 2 一 0 的根，并且切线与抛物线所围面积为 为求 ( 一 )3 最小值，只要求( 一 )2 最小值，由一元二次方程根与系数关系得所以，当 20 时取最小值3由 因此，所围面积最小值为
10、所求切线有两条：【知识模块】 高等数学9 【正确答案】 先求出水池总造价的表达式设水池周围单位面积造价为 a 元/m2，水池总造价为 y，则 y2rha2ar 2又知 V0r 2h，代入上式得 y2a，0r现求 y(r)在(0)上的最小值点求 y(r)因此，当时，y 取最小值，即水池造价最低【知识模块】 高等数学10 【正确答案】 由于 在0，b可导，且 S(t)tf(t)f(t)f(t) f(t)f(t)(tb)f(t)则 S(t)在 ，因此t 时，S(t)取最小值S(t)在0，b连续，也一定有最大值，且只能在 t0 或 tb处取得S(0) 0bf(x)dxbf(0)，S(b)bf(b) 0
11、bf(x)dx，不能肯定即 t 取何值时 S(t)最大不能确定，但只能在 t0 或 tb 处取得【知识模块】 高等数学11 【正确答案】 () 相乘得 (II)()【知识模块】 高等数学12 【正确答案】 【知识模块】 高等数学13 【正确答案】 () 用泰勒公式确定无穷小的阶。所以x0 时 ex1x sxinx 是 x 的 3 阶无穷小()用泰勒公式确定无穷小的阶。所以 x0 时 cosx cosx1 是 x 的 4 阶无穷小【知识模块】 高等数学14 【正确答案】 用洛必达法则(I)(II)由于 f(x)arctanx 在点 x0 有如下导数 因此当 x0 时于是原式【知识模块】 高等数学
12、15 【正确答案】 (用泰勒公式)因为由此即得 a 一 20，b1 6，故 a2，b5【知识模块】 高等数学16 【正确答案】 【知识模块】 高等数学17 【正确答案】 用洛必达法则(否则该极限为 0)f(0)1因此 f(0)0，f(0)0，f(0) 一 1【知识模块】 高等数学18 【正确答案】 连续用 n 一 2 次洛必达法则【知识模块】 高等数学19 【正确答案】 连续用三次洛必达法则，及 f(4)(a)的定义得再由极限的不等式性质0，当 0x 一 a 时因此 f(4)(a)0(0)时f(a)为极小( 大)值【知识模块】 高等数学20 【正确答案】 相交与相切即 f(x0)g(x 0)，
13、f(x 0)g(x 0)若又有曲率相同，即由二阶导数的连续性及相同的凹凸性得，或 f(x0)g(x 0)0 或 f(x0)与 g(x0)同号，于是 f(x0)g(x 0)因此，在所设条件下，曲线 yf(x)，y g(x)在(x 0，y 0)处相交、相切且有相同曲率即当xx 0 时 f(x)一 g(x)是比(x 一 x0)2 高阶的无穷小【知识模块】 高等数学21 【正确答案】 由于 f(m)(x)3 x(ln3)m，f (m)(0)(ln3) m，得【知识模块】 高等数学22 【正确答案】 在 处展开成由导函数的中间值定理 在 1， 2 之间(a，b)，使得【知识模块】 高等数学23 【正确答
14、案】 由带拉格朗日余项的 n 阶勒公式得 f(x)f(0)f(0)x 若 f(n1) (x)0，f (n1) (x)0，由上式 f(x)f(0)f(0)x fn(0)xn 是 n 次多项式反之，若 f(x)a nxn a n1xn1a 1xa 0 (an0)是 n 次多项式，显然 fn(x)a nn!0， f (n1) (x)0【知识模块】 高等数学24 【正确答案】 按条件，联系 f(x)，f(x)与 f(x)的是带拉格朗日余项的 n 阶泰勒公式 x0，h0 有 f(xh)f(x) f(x)h f()h2，其中 (x，xh)特别是，取 h1， (x，x1)，有 f(x1)f(x) f(x) f()，即 f(x)f(x1)f(x) f()由题设，f(x)M 0，f(x)M 2( x(0，)，M 0，M 2 为常数，于是有即 f(x)在(0， )上有界【知识模块】 高等数学25 【正确答案】 联系 f(x)与 f(x)的是泰勒公式 x0a，b，f(x 0) f(x)将f(x0)在 xa，b 展开，有 f(x0)f(x)f(x)(x 0 一 x) f()(x0 一 x)2( 在 x0 与 x 之间)f(x)f(x)(x 0 一 x) ( xa，b，xx 0)两边在a ，b 上积分得因此 f(x0)(b 一 a)2 f(x)dx，即【知识模块】 高等数学
