1、考研数学一（高等数学）模拟试卷 145 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 下列函数在点(0，0) 处不连续的是2 设 zf(x，y) ，则 f(x，y)在点(0，0)处（A）可微（B）偏导数存在，但不可微（C）连续，但偏导数不存在（D）偏导数存在，但不连续3 设 则 f(x，y)在点(0，0)处（A）偏导数存在且连续（B）偏导数不存在，但连续（C）偏导数存在，可微（D）偏导数存在，但不可微4 设 f(x，y)x 一 y(x，y)，其中 (x，y)在点(0，0)处连续且 (0，0)0，则 f(x，y)在点(0，0)处（A）连续，但偏导数不存在（B）不连
2、续，但偏导数存在（C）可微（D）不可微5 在下列二元函数中，f xy(0，0)f yx(0，0)的二元函数是（A）f(x，y)x 42x 22 y10（B） f(x，y)ln(1x 2 y2)cosxy（C）（D）6 设 u(x，y) 在 M0 取极大值，且 ，则二、填空题7 设 f(x，y)在(x 0，y 0)邻域存在偏导数 且偏导数在点(x 0，y 0)处不连续，则下列结论中正确的是8 设 ，其中 f 是二元连续函数，则 dz_9 设 zz(x， y)满足方程 2zez2xy3 且 z(1，2)0，则 _10 设 zyf(x 2y2)，其中 f(u)可微，则 _11 设 f(x，y)有连续
3、偏导数，满足 f(1，2)1，f x(1，2)2，f y(1，2)3， (x)f(x，2f(x，2f(x，2x)，则 (1)_12 设 xx(y ，z)，yy(z，x)，zz(x ，y)都是由方程 F(x，y，z)0 所确定的隐函数，并且 F(x，y，z)满足隐函数存在定理的条件，则 _13 函数 z1 (x22y 2)在点 处沿曲线 C： x22y 21 在该点的内法钱方向n 的方向导数为_14 过曲面 zez2xy3 上点 M0(1，2，0)处的切平面方程为_15 过曲面 z 4 一 x2 一 y2 上点 P 处的切平面平行于 2x2yz 一 10，则 P 点的坐标为_16 曲线 在 M0
4、(1，1，2)处的切线方程为_，法平面方程为_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17 直线 L1：x 一 1 ， L 2：xly 一 1z ，(I)若 L1L2，求 ；()若 L1 与 L2 相交，求 18 与直线 ，及直线 都平行且经过坐标原点的平面方程是_19 设平面经过平面 1：3x 一 4y60 与 2：2yz 一 110 的交线，且和 1垂直，求的方程20 已知平面：x 一 4y2z90，直线 ，试求在平面内，经过 L 与的交点且与 L 垂直的直线方程21 求点 M1(1，2，3)到直线 的距离22 求点 M1(2，1，3)到平面：2x 一 2yz 一 30 的距离与
5、投影23 求直线 绕 z 轴旋转一周所得旋转面的方程24 求以曲线 为准线，l，m，n为母线方向的柱面方程25 求曲线 在 yOz 平面上的投影方程考研数学一（高等数学）模拟试卷 145 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 直接证(C) 中 f(x，y)在点(0，0)处不连续当(x，y)沿直线 yx 趋于点(0， 0)时 因此 f(x，y)在点(0，0) 处不连续故选(C) 【知识模块】 高等数学2 【正确答案】 B【试题解析】 设z f(x，y)一 f(0，0) ，则可知 z ，因此 z0 这表明 f(x，y) 在点(0
6、，0)处连续因 f(x，0)0 ，所以 fx(0，0) f(x，0) x0 ，同理 fy(0，0)0 令 z fx(0，0)xf y(0，0)，当(x，y)沿 yx 趋于点(0，0)时即 不是 的高阶无穷小，因此 f(x，y)在点(0，0)处不可微，故选 (B)【知识模块】 高等数学3 【正确答案】 C【试题解析】 由偏导数定义可知这说明 fx(0，0)存在且为 0，同理 fy(0，0)存在且为 0所以 f(x，y)在点(0，0)处可微分故选 (C)【知识模块】 高等数学4 【正确答案】 C【试题解析】 逐项分析：(I)x 一 y在(0，0)连续，(x，y)在点(0，0)处连续f(x，y)在点
7、(0，0)处连续f(x，y)在点(0，0)处可微选 (C)【知识模块】 高等数学5 【正确答案】 C【试题解析】 对于(A) ，(B) ：f(x ，y)均是二元初等函数， 均连续，所以因而(C) ， (D)中必有一个是 fxy(0，0) f yx(0，0)，而另一个是fxy(0，0)f xy(0，0)现考察 (C)(x，y)(0，0)时，(x，y)(0，0) 时，f(x，y) 利用对称性 (x，y)(0， 0)时， 因此，fxy(0，0)f yx(0，0)选 (C)【知识模块】 高等数学6 【正确答案】 C【试题解析】 偏导数实质是一元函数的导数，把二元函数的极值转化为一元函数的极值由一元函数
8、的极大值的必要条件可得相应结论令 f(x)u(x ，y 0)xx 0 是 f(x)的极大值点 (若0，则 xx 0 是 f(x)的极小值点，于是得矛盾) 同理，令 g(y)u(x 0，y) yy 0是 g(y)的极大值点【知识模块】 高等数学二、填空题7 【正确答案】 D【试题解析】 当 f(x，y)在(x 0，y 0)邻域 偏导数，而 在(x 0，y 0)不连续时，不能确定 f(x，y) 在(x 0，y 0)是否可微，也不能确定它在 (x0，y 0)是否存在方向导数故(A) ，(B)，(C)不正确，只有(D)正确或直接考察曲线 参数方程为 它在点(x 0，y 0，f(x 0，y 0)处的切向
9、量是【知识模块】 高等数学8 【正确答案】 f(x 2y，e x2y)(2xydxx 2dy)【试题解析】 先求偏导数【知识模块】 高等数学9 【正确答案】 -4dx-2dy【试题解析】 将方程分别对 x，y 求偏导数，得令 x1，y2，z0 得【知识模块】 高等数学10 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学11 【正确答案】 302【试题解析】 (x) f(x，u(x)，u(x)2f(x ，v(x)，v(x)2f(x，2x)，v(1)2f(1，2)2，u(1)2f(1，v(1)2f(1，2) 2，(1)f 1(1，2)f 2(1，2)u(1)23u(1)，u(1)2f 1(1，
10、2) f 2(1，2)v(1)223v(1)v(1) 2f 1(1，2)2f 2(1，2)2(223) 16 往回代 u(1)2(2 316)100，(1)23100302【知识模块】 高等数学12 【正确答案】 -1【试题解析】 由隐函数求导法知(如，由 F(x，y，z) 0 确定xx(y ，z) ，将方程对 y 求偏导数得 其余类似)将这三式相乘得【知识模块】 高等数学13 【正确答案】 【试题解析】 C 在 M0 的内法线方向 n 正是 gradz M0，按梯度向量的性质，Z 沿梯度方向时方向导数取最大值，就是gradz M0因此，【知识模块】 高等数学14 【正确答案】 0【试题解析】
11、 曲面方程 F(x，y，z) 0，F(x，y，z)z 一 ex2xy 一 3，gradF 2y ，2x，1e z，gradF 4， 2，022，1，0.点 M0的切平面方程为 2(x 一 1)(y 一 2)0，即 2xy 一 40【知识模块】 高等数学15 【正确答案】 (1，1，2)【试题解析】 P(x ，y，z)处一个法向量 n2x ，2y，1，平面 2x2yz 一 10的法向量 n0 2，2，1，由 nn 0 x，y，1 1，y1，z4112，因此 P 点是(1 ， 1，2)【知识模块】 高等数学16 【正确答案】 0【试题解析】 M 0 在曲线上， M0 处的切向量 M0 处切线方程
12、法平面方程 一(x 一 1)(y 一 1)0， 即 y 一 x0【知识模块】 高等数学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17 【正确答案】 (I)1，2，1，1，10 120 一 3(II)L 1通过点(1 ，1，1) ，以(1，2，)为方向向量，L 2 通过点 (一 1，1，0)，以(1，1，1)为方向向量，则 L1 与 L2 共面 此时 L1 与 L2 不平行因此， 【知识模块】 高等数学18 【正确答案】 同前，平面的法向量，nS 1S2，而用点法式，n 0，可得 x 一 yz0【知识模块】 高等数学19 【正确答案】 先求 1 与 2 交线的方向向量 1 的法向量为3，
13、一 4，0，过 1 与 2 交线上的点(一 2，0，11) 与向量一 4，一 3，6，3，一 4，0平行 的方程【知识模块】 高等数学20 【正确答案】 (I)先求 L 的方向向量 ()求 L与的交点 M0由 ()所求直线的方向向量所求直线方程为 或求出过 L与的交点 M0 且与 L 垂直的平面方程，它是 2(x3)3(y1)2(z5)0，即2x3y2z 190 于是，所求直线方程为【知识模块】 高等数学21 【正确答案】 直线 L 过 M0 点(0，4，3)，以 l1，一 3，一 2为方向向量，则点 M1 到直线 L 的距离为 其中 1，一 2，0，【知识模块】 高等数学22 【正确答案】
14、点 M1 到平面的距离 平面的法向量，n2，一 2，1 ，过 M1 点以 n 为方向向量的直线 L 的方程为代入的方程 2(22t)一 2(12t) (3t)一 30，解得 ，代入 L 的方程得 L 与的交点即点 M1 到平面的投影点 【知识模块】 高等数学23 【正确答案】 先写出 L 的参数方程 ，于是易得该旋转面的参数方程， 消去参数 t 与 得 x2y 24(1t 2)， 即【知识模块】 高等数学24 【正确答案】 曲线 的参数方程为 以l，m，n为方向向量的直线方程为由得 ，代入 得 ，最后代入得该柱面方程【知识模块】 高等数学25 【正确答案】 将方程组 消去 x先化简成代入原方程得 即(x2y 2)232(y 2x2)0 因此求得在 yOz 平面上的投影【知识模块】 高等数学
