1、考研数学一（高等数学）模拟试卷 148 及答案与解析一、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。0 计算下列三重积分或将三重积分化成累次积分1 I x3y2zdV，其中 是由 x1，x2，y0，yx 2，z0 及 z 所围成的区域2 I (lx2 my2nz 2)dV，其中 ：x 2y 2z 2x2，l，m，n 为常数3 I zdV，其中 ：x 2y 2z 22，x 2y 2z4 I (xy z)dV ，其中 ：x 2y 2z 22az， z(a0) 5 I xyzdV 其中 ：x 2y 2z 21位于第一卦限的部分6 将三重积分 f(x，y，z)dV 在三种坐标系下化成累次积分，其中
2、是由x2y 2z 2R2，x 2y 2z2，z0 所围成的区域( 如图 919 所示)7 f(x，y，z)dy ，变成由 z 至 y 再至 x 的顺序8 f(x，y，z)dz，改换成先 y 最后 x 的顺序 9 考虑柱坐标系下的三重累次积分，I 3rdz(I)将 I 用直角坐标(Oxyz)化为累次积分；( )将 I 用球坐标化为累次积分；()求 I 的值10 11 (I)设 L 为抛物线 yx 2 上，从点 A(一 1，1)到 B(1，1) 的一段，求 I (x2 一2xy)dx(y 2 一 2xy)dy( )求积分，I ，其中C：y 1，x4，y 逆时针一周12 设 L 为曲线 求积分 I
3、(x23y3z)ds13 计算曲面积分，I (xyz)dS，其中为左半球：x 2y 2z 2R 2，y0 14 计算曲面积分 ，其中为圆柱面 x2y 2R 2 界于 z0 及 zH 之间的部分，r 为曲面上的点到原点的距离(H0)15 设 S 为柱面 x2y 2a 2(0zh)的外侧，满足 x0的部分，求I zdydz xyzdzdxydxdy16 求曲面积分 I (xcosy)dydz(ycosz)dzdx(z cosx)dxdy，其中 S 为xyz 在第一卦限部分，取上侧17 求曲线积分 I xydxyzdxxzdz，C 为椭圆周：x 2y 21，xyz1，逆时针方向18 求下列区域 的体
4、积： (I)：x 2y 2a2，z0，zmx(m0)； ()：由 y2a 2一 az，x 2y 2ax，z0(a0) 围成； ()：由 zx 2y 2，xyz1 所围成； ()：由曲面 zy 2(y0)，z4y 2(y0)，zx，z2x，z 4 所围成19 设曲面 S 是上半球面 x2y 2z 2a 2(z0，a0)被柱面 x2y 2ax 所割下部分，求 S 的面积20 设曲面 z (x2y 2)，其面密度 为常数，求该曲面在 0z 部分 S 的质量与质心21 设质点 P 沿以 为直径的下半圆周，从点 A(1，2)运动到 B(3，4)的过程中，受变力 F 的作用， F 的大小等于点 P 到原点
5、 0 之距离，方向垂直于线段 ，与 y轴正向的夹角小于 ，求变力 F 对质点 P 做的功22 设有平面光滑曲线 l：xx(t)，yy(t) ，z0，t ，以及空间光滑曲线L：xx(t) ，yy(t) ，zf(x(t)，y(t) ，t， ， t ，t ；分别是起点与终点的参数(I)试说明 l，L 及曲面 S：z f(x，y)的关系；( )若 P，Q，R 连续，f(x，Y)有连续的偏导数，求证： P(x，y，z)dx Q(x ，y，z)dyR(x，y，z)dxP(x，y，f(x，y) R(x，y，f(x，y)dxQ(x，y，f(x，y) R(x，y，f(x，y)dy23 设 P(x，y，z)，Q(
6、x， y，z) ，R(x，y，z)在区域 连续，：xx(t)，yy(t) ，zz(t)是 中一条光滑曲线，起点 A，终点 B 分别对应参数 tA 与 tB，又设在 上存在函数 u(x，y，z)，使得 duPdx QdyRdz (称为 PdxQdy Rdz 在 的原函数)求证：I PdxQdyRdz24 设 f(x)在区间0，1上连续，请用重积分方法证明： f(x)dx f(y)dy f(x)dx225 设半径为 R 的球面的球心在定球面 x2y 2z 2a 2(aO) 上，问 R 为何值时球面在定球面内部的那部分面积最大?考研数学一（高等数学）模拟试卷 148 答案与解析一、解答题解答应写出文
7、字说明、证明过程或演算步骤。【知识模块】 高等数学1 【正确答案】 (I)区域 由平面 x1，x2，y0，z0 及抛物柱面 yx 2 与双曲柱面 围成，易求出 在 xy 平面(或 zx 平面)上的投影区域 Dxy(或Dzx) Dxy 由 x1，x2，y0，yx 2 围成，D xy(x ，y) 1x2，0yx 2，见图 917 一(a)D zx 由 x1，x2，z 0，z 围成，即 Dzx(z，x) 1x2，0z ，见图 917 一(6).于是 (x，y，z)0z ，(x，y)D xy，或 (x，y，z)0yx 2，(z ，x)D zx()根据 的表示，宜选择先对 z(或y)积分后对 xy(或
8、zx)积分的顺序若先对 z 积分得若先对 y 积分得【知识模块】 高等数学2 【正确答案】 由变量的轮换对称性，可得 方法 1。用球坐标变换求【知识模块】 高等数学3 【正确答案】 是旋转体(如图 918)，选用柱坐标变换先求交线由选择先 z 后 r， 的积分顺序， 的柱坐标表示：02，0r1， r 2z ，【知识模块】 高等数学4 【正确答案】 关于 yz 平面与 zx 平面均对称用球坐标变换，球面 x2y 2z 22az 与锥面的球坐标方程分别为 2acos ， 的球坐标表示 ：O2 ，0，02acos ，于是【知识模块】 高等数学5 【正确答案】 积分域 是球的一部分，球也可以看成是旋转
9、体，所以使用球坐标系与柱坐标系都可以利用球坐标系使用柱坐标系【知识模块】 高等数学6 【正确答案】 使用柱坐标系【知识模块】 高等数学7 【正确答案】 这里每个二重积分都是矩形区域上二重积分的积分次序的交换【知识模块】 高等数学8 【正确答案】 I f(x，y，z)dV f(x， y，z)dydz其中 D(x)：0y1，0zx 2y 2现改为先 y 后 z 的顺序，将 D(x)分成两块：0zx2，0y1；x 2z1x 2， y1，如图 920则【知识模块】 高等数学9 【正确答案】 (I)积分区域 ： ， (x，y)D xy，其中 Dxy(x，y)x 2y 22于是(II)是由锥面 z (球坐
10、标方程为 )与上半球面 z (球坐标方程是 2)围成 的球坐标表示是：02，0 ，02，于是【知识模块】 高等数学10 【正确答案】 其中 ：1z1 (x，y) Dxy，如图 921 一(a)它是由半球面：(z 一 1)21 一 x2 一 y2 (z1)与平面 z1 所围成的 y0部分作球坐标变换z1 对应 ，半球面对应 2cos 的球坐标表示(如图 921 一(b) ：0，0 2cos，【知识模块】 高等数学11 【正确答案】 (I)L：yx 2，x一 1，1I 11(x22x3)(x 42x3)2xdx 11(x24x4)dx0 () (直接计算) 【知识模块】 高等数学12 【正确答案】
11、 在 L 上 yz0 I L(x23y 3z)ds Lx2ds3 L(yz)ds Lx2ds易写出 L 的参数方程：又adt 于是I 02a2cos2tadta 302cos2tdta 3【知识模块】 高等数学13 【正确答案】 关于 xy 平面，yz 平面对称(如图 923)投影到 zx 平面，由 x2y 2z 2R 2， y0 投影区域 Dzx：x 2z 2R2，于是dxdzRR 2R 3【知识模块】 高等数学14 【正确答案】 r 2x 2y 2z 2 关于 zx 平面，yz 平面均对称，则，如图 924 1：x 2y 2R 2，x，y0，投影区域Dzx：0xR ， 0zH，【知识模块】
12、 高等数学15 【正确答案】 S 如图 925，S 垂直 xy 平面，于是ydxdy0，I zdydz xyzdzdx投影到 yz 平面直接计算较为方便S 表示为x ，(y，z)D yz，其中 Dyz：0zh，一 aya代公式得 Iyz(x y)dydz (zzy 2)dydz (1y 2)dy【知识模块】 高等数学16 【正确答案】 I xdydzydzdx zdxdy cosydydzcoszdzdxcosxdxdyI1I 2平面 S 的单位法向量 n(cos，cos，cos) (1，1，1)，由第一、二类曲面积分的关系，可得下面求 I2由变量的轮换对称性： cosydydz coszdz
13、dx cosxdxdyS 在 xy 平面上投影区域为 Dxy，如图 926，则有因此 II 1I 2 6【知识模块】 高等数学17 【正确答案】 C 的参数方程为 t0，2I 02costsint(一 sint)sint(1cost sint)costcosc(1costsint)(sint 一 cost)dt 02 costcos2tcostsint)(sintcost)dt02cos2tdt 02cos3tdt 02(1sin2t)dsint 【知识模块】 高等数学18 【正确答案】 (I)D xy： x2y 2a2， x0， (x ，y，z) 0zmx， (x，y)Dxy()由 消去 z
14、 得 x2xy 2y1，即 于是在 Oxy 平面上的投影区域(如图 928)是 D(x ，y)，围成 区域的上曲面是 z1 一 xy，下曲面是zx 2y 2，因此 的体积 如图 929，(x，y，z) ， (z，x)D zx，Dzx(x，y，z) xz，0z4.【知识模块】 高等数学19 【正确答案】 【知识模块】 高等数学20 【正确答案】 质量 M ，其中 S：z (x2y 2)， (x，y)Dxy： x2y 23又 ，于是【知识模块】 高等数学21 【正确答案】 如图 932(I)先求作用于 P(x， y)的力 F：F与 x，y 垂直的向量 y，x，其中与 Y 轴正向成锐角的是一 y，x
15、 ，于是 ()F 对 P 所做的功 ()写出 的参数方程：【知识模块】 高等数学22 【正确答案】 (I)l 是 L 在 xy 平面上的投影曲线，定向相同以 l 为准线，母线平行于 z 轴的柱面与曲面 S 相交得曲线 L()按线积分化定积分公式得三式相加即得证【知识模块】 高等数学23 【正确答案】 由 duPdxQdyRdz 由曲线积分化定积分公式 再由复合函数求导公式得【知识模块】 高等数学24 【正确答案】 先将累次积分表示成二重积分，则有其中 D(x，y) 0z1，xy1，如图 933，它与 D(x，y) 0x1，0yx 关于 yx 对称于是【知识模块】 高等数学25 【正确答案】 可设的球心为(0，0，a)， 的方程是 x2y 2(z 一 a)2R 2，与定球的交线为 a2 一 z2R 2 一(z 一 a)2，x 2y 2R 2 一(z 一 a)2，即在定球内部那部分在 Oxy 平面上的投影区域为这部分球面的方程是 za 一，(x，y) D它的面积是现计算由 S(R)0 得 R 因 S(0)S(2a)0，所以 R 时 S(R)取最大值，即 R 时， 在定球内部的那部分面积最大【知识模块】 高等数学
