[考研类试卷]考研数学一(高等数学)模拟试卷150及答案与解析.doc

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1、考研数学一(高等数学)模拟试卷 150 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。1 级数(A)绝对收敛(B)条件收敛(C)发散(D)敛散性与 a 有关2 设有级数 an,S n ak,则 Sn 有界是级数 an 收敛的(A)充分条件(B)必要条件(C)充分必要条件(D)既非充分条件也非必要条件3 已知 an0(n1,2,),且 (一 1)n1an 条件收敛,记 bn2a 2n1 一 a2n,则级数(A)绝对收敛(B)条件收敛(C)发散(D)收敛或发散取决于 an 的具体形式4 下列命题中正确的是(A)若幂级数 收敛半径 R0,则(B)若 ,则 不存在收敛半径(

2、C)若 的收敛域为一 R,R,则 的收敛域为一 R,R(D)若 的收敛区间(R,R)即它的收敛域,则 的收敛域可能是R,R5 对于任意 x 的值,(A)0(B) 1(C)(D)二、填空题6 设级数 的部分和 ,则 _7 级数 的和 S_8 幂级数 的收敛区间是_9 (n1)x 的和函数及定义域是_10 幂级数 的和函数及定义域是_11 设级数 收敛,则 p 的取值范围是_。12 设 anxn 满足 ,又 bnx2n 满足 ,则 的收敛半径 R_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。13 将下列函数在指定点展开成幂级数:(I)f(x)arcsinx,在 x0 处; ()f(c)lnx

3、,在 x1 及 x2 处;()f(x) ,在 x1 处14 将函数 f(x)sin(xa)展开成 x 的幂级数,并求收敛域15 将函数 f(x) 在点 x01 处展开成幂级数,并求 f(n)(1)16 已知 的收敛半径 RR 00,求证:级数 收敛域为(,)17 求 的收敛域及和函数18 求 的和 S19 设有级数 ,(I)若 0,又 (u2n1u 2n)(u 1u 2)(u 3u 4)收敛,求证: 收敛()设 u2n1 。u 2n (n1,2,),求证:(1)n1u2 收敛20 设 (anan1)收敛,又 bn 是收敛的正项级数,求证: anbn 绝对收敛21 设 f(x)在 一 2,2上有

4、连续的导数,且 f(0)0, F(x) f(xt)dt,证明级数绝对收敛22 设有级数U: un 与V: vn,求证:(I)若U ,y均绝对收敛,则 绝对收敛;()若U绝对收敛, V条件收敛,则条件收敛23 设 an0, bn0,(n 1,2,) ,且满足 试证:()若级数 收敛,则 收敛;()若级数 发散,则 发散24 考察级数 ,其中 ,p 为常数(I)证明:;()证明:级数 当 P2 时收敛,当 P2时发散25 设 an x2(1x)n,求 26 设有两条抛物线 ynx 2 和 y(n1)x 2 ,记它们交点的横坐标的绝对值为 an(I)求这两条抛物线所围成的平面图形的面积 Sn; ()

5、求级数 的和27 设 f(x)是区间一 , 上的偶函数,且满足 证明:f(x)在一 ,上的傅里叶级数展开式中系数 a2n0,n1,2,28 设 (I)求 f(x)以 2 为周期的傅氏级数,并指出其和函数S(x); () 求29 设 f(x)sinax,一 x,a0,将其展开为以 2 为周期的傅里叶级数考研数学一(高等数学)模拟试卷 150 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 由莱布尼兹法则知, 原级数收敛因此是条件收敛选(B) 【知识模块】 高等数学2 【正确答案】 B【试题解析】 由级数收敛性概念知 收敛,即部分和数列S

6、n收敛由数列收敛性与有界性的关系知,S n收敛 S n有界,因此选(B)【知识模块】 高等数学3 【正确答案】 C【试题解析】 由已知条件【知识模块】 高等数学4 【正确答案】 D【试题解析】 收敛半径,或 R ,或 0R ,或R0,三种情形必有一种成立因而(B)不正确,但 幂级数,不一定有(如缺项幂级数 收敛半径 ,这里a2n 2n,a 2n1 0,于是, ),因而 (A)也不正确(C)也是不正确的如 ,收敛域为1,1,但 的收敛域为一 1,1) 因此只有 (D)正确事实上,若取 的收敛区间即收敛域为(一 1,1) ,而 的收敛域为1,1【知识模块】 高等数学5 【正确答案】 A【试题解析】

7、 考虑级数 的敛散性由可知幂级数 的收敛半径R,因此此级数对任意的 x 值均收敛由级数收敛的必要条件得知,故选(A)【知识模块】 高等数学二、填空题6 【正确答案】 【试题解析】 因为 ,所以级数 收敛,那么由级数的基本性质有【知识模块】 高等数学7 【正确答案】 【试题解析】 考察部分和【知识模块】 高等数学8 【正确答案】 (一 2,2)【试题解析】 先求收敛半径 R: 有相同的收敛半径 R,R2,收敛区间为 (一 2,2)【知识模块】 高等数学9 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学10 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学11 【正确答案】 (1,)【试题解

8、析】 而,因此 p 的取值范围是(1,)【知识模块】 高等数学12 【正确答案】 【试题解析】 考察 的收敛半径为 的收敛半径 R 【知识模块】 高等数学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。13 【正确答案】 (I)f(x) ,又这里 f(x)arcsinx 在 x1(一 1)处右(左) 连续右端级数在 x1 均收敛,故展开式在 x1 也成立() 【知识模块】 高等数学14 【正确答案】 sin(xa)sinxcosa cosxsina由 sinx 与 cosx 的展开式得其中,m0,1,2,3,【知识模块】 高等数学15 【正确答案】 将 f(x)视为(x 一 1) ,因此只需

9、将 展开成即可因为 利用公式(1117),并以 代替其中的 x,则有由于 f(x)的幂级数 an(x1)n 的系数 ,所以 f(n)(1)(n!)an【知识模块】 高等数学16 【正确答案】 即证 x,幂级数 均收敛任取x 0R 00,考察与a nx0n的关系并利用比较判别法注意, 给定的 x,M(n0,1,2,) ,M0 为某常数,于是 由幂级数在收敛区间内绝对收敛 a nx0n收敛由比较原理 收敛 收敛因此,原幂级数的收敛域为(,) 【知识模块】 高等数学17 【正确答案】 (I)求收敛域:原幂级数记为 ,则由收敛域为(一,)(II)求和函数方法 2 逐项积分与逐项求导法我们也是为了利用

10、ex 的展开式,作如下变形:【知识模块】 高等数学18 【正确答案】 先分解由ln(1x)的展开式知, S1ln(11)ln2为求 S2 引进幂级【知识模块】 高等数学19 【正确答案】 (I)考察 的部分和 该级数的部分和 S2n (u2k1u 2k)收敛,*582(S 2nu2n)S 0S因此 收敛且和为 S( )显然, 方法 2 这是交错级数,已知 为证u n单调下降,只需证 因此原级数收敛【知识模块】 高等数学20 【正确答案】 级数 (anan1)收敛,即其部分和 Sm (an 一 an1)(a 1a0)(a 2 一 a1)(a m 一 am1)a m 一 a0 为收敛数列,从而a

11、n也是收敛数列我们知道数列收敛则一定有界,设a nM,n1,2,则a nbnMb nMb 2再由于 是收敛的正项级数,这样,利用比较判别法,即知 收敛,即 绝对收敛【知识模块】 高等数学21 【正确答案】 不必先求出 F(x),只须考察 【知识模块】 高等数学22 【正确答案】 (I)由u nv nu nv n,又收敛,再由比较原理(u nv n)绝对收敛() 由假设条件知,用反证法若v nu nv n 一 unu nv nu n,且收敛,与已知条件矛盾因此条件收敛【知识模块】 高等数学23 【正确答案】 由于根据比较判别法即知:【知识模块】 高等数学24 【正确答案】 (I)将 an2 改写

12、成再将 an2 改写成()容易验证比值判别法对级数 失效,因此需要用适当放大缩小法与比较原理来讨论它的敛散性题(I)已给出了a n上下界的估计,由注意当 p2 即收敛,当 p2 即 发散因此级数 当 p2 时收敛,当 P2 时发散【知识模块】 高等数学25 【正确答案】 先求 an【知识模块】 高等数学26 【正确答案】 (I)由 ynx 2 与 y(n 1)x 2 ,得 .又因为两条抛物线所围图形关于 y 轴对称,所以()利用(I)的结果【知识模块】 高等数学27 【正确答案】 由于 f(x)为偶函数,所以对于右端前一个积分,令 x 一 t,后一个积分,令 x t ,则根据假设,所以 a2n0,所以 a2n 1,2,【知识模块】 高等数学28 【正确答案】 该傅氏级数的和函数 其中 S(0) f(00)f(00),S() f(一 0)f( 0)【知识模块】 高等数学29 【正确答案】 由于 f(x)为奇函数,所以其展开式应为正弦级数如果 a 不是自然数,则故 f(x)sinax ,x ,在 x 时,右端为 0,即其傅里叶级数收敛于 sinasin(一 a)0当 a 为自然数时,根据三角函数系的正交性有 f(x)sinaxsinnx,na ,一 x【知识模块】 高等数学

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