1、考研数学一（高等数学）模拟试卷 150 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 级数（A）绝对收敛（B）条件收敛（C）发散（D）敛散性与 a 有关2 设有级数 an，S n ak，则 Sn 有界是级数 an 收敛的（A）充分条件（B）必要条件（C）充分必要条件（D）既非充分条件也非必要条件3 已知 an0(n1，2，)，且 (一 1)n1an 条件收敛，记 bn2a 2n1 一 a2n，则级数（A）绝对收敛（B）条件收敛（C）发散（D）收敛或发散取决于 an 的具体形式4 下列命题中正确的是（A）若幂级数 收敛半径 R0，则（B）若 ，则 不存在收敛半径（
2、C）若 的收敛域为一 R，R，则 的收敛域为一 R，R（D）若 的收敛区间(R，R)即它的收敛域，则 的收敛域可能是R，R5 对于任意 x 的值，（A）0（B） 1（C）（D）二、填空题6 设级数 的部分和 ，则 _7 级数 的和 S_8 幂级数 的收敛区间是_9 (n1)x 的和函数及定义域是_10 幂级数 的和函数及定义域是_11 设级数 收敛，则 p 的取值范围是_。12 设 anxn 满足 ，又 bnx2n 满足 ，则 的收敛半径 R_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。13 将下列函数在指定点展开成幂级数：(I)f(x)arcsinx，在 x0 处； ()f(c)lnx
3、，在 x1 及 x2 处；()f(x) ，在 x1 处14 将函数 f(x)sin(xa)展开成 x 的幂级数，并求收敛域15 将函数 f(x) 在点 x01 处展开成幂级数，并求 f(n)(1)16 已知 的收敛半径 RR 00，求证：级数 收敛域为(，)17 求 的收敛域及和函数18 求 的和 S19 设有级数 ，(I)若 0，又 (u2n1u 2n)(u 1u 2)(u 3u 4)收敛，求证： 收敛()设 u2n1 。u 2n (n1，2，)，求证：(1)n1u2 收敛20 设 (anan1)收敛，又 bn 是收敛的正项级数，求证： anbn 绝对收敛21 设 f(x)在 一 2，2上有
4、连续的导数，且 f(0)0， F(x) f(xt)dt，证明级数绝对收敛22 设有级数U： un 与V： vn，求证：(I)若U ，y均绝对收敛，则 绝对收敛；()若U绝对收敛， V条件收敛，则条件收敛23 设 an0， bn0，(n 1，2，) ，且满足 试证：()若级数 收敛，则 收敛；()若级数 发散，则 发散24 考察级数 ，其中 ，p 为常数(I)证明：；()证明：级数 当 P2 时收敛，当 P2时发散25 设 an x2(1x)n，求 26 设有两条抛物线 ynx 2 和 y(n1)x 2 ，记它们交点的横坐标的绝对值为 an(I)求这两条抛物线所围成的平面图形的面积 Sn； ()
5、求级数 的和27 设 f(x)是区间一 ， 上的偶函数，且满足 证明：f(x)在一 ，上的傅里叶级数展开式中系数 a2n0，n1，2，28 设 (I)求 f(x)以 2 为周期的傅氏级数，并指出其和函数S(x)； () 求29 设 f(x)sinax，一 x，a0，将其展开为以 2 为周期的傅里叶级数考研数学一（高等数学）模拟试卷 150 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 由莱布尼兹法则知， 原级数收敛因此是条件收敛选(B) 【知识模块】 高等数学2 【正确答案】 B【试题解析】 由级数收敛性概念知 收敛，即部分和数列S
6、n收敛由数列收敛性与有界性的关系知，S n收敛 S n有界，因此选(B)【知识模块】 高等数学3 【正确答案】 C【试题解析】 由已知条件【知识模块】 高等数学4 【正确答案】 D【试题解析】 收敛半径，或 R ，或 0R ，或R0，三种情形必有一种成立因而(B)不正确，但 幂级数，不一定有(如缺项幂级数 收敛半径 ，这里a2n 2n，a 2n1 0，于是， )，因而 (A)也不正确(C)也是不正确的如 ，收敛域为1，1，但 的收敛域为一 1，1) 因此只有 (D)正确事实上，若取 的收敛区间即收敛域为(一 1，1) ，而 的收敛域为1，1【知识模块】 高等数学5 【正确答案】 A【试题解析】
7、 考虑级数 的敛散性由可知幂级数 的收敛半径R，因此此级数对任意的 x 值均收敛由级数收敛的必要条件得知，故选(A)【知识模块】 高等数学二、填空题6 【正确答案】 【试题解析】 因为 ，所以级数 收敛，那么由级数的基本性质有【知识模块】 高等数学7 【正确答案】 【试题解析】 考察部分和【知识模块】 高等数学8 【正确答案】 (一 2，2)【试题解析】 先求收敛半径 R： 有相同的收敛半径 R，R2，收敛区间为 (一 2，2)【知识模块】 高等数学9 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学10 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学11 【正确答案】 (1，)【试题解
8、析】 而，因此 p 的取值范围是(1，)【知识模块】 高等数学12 【正确答案】 【试题解析】 考察 的收敛半径为 的收敛半径 R 【知识模块】 高等数学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。13 【正确答案】 (I)f(x) ，又这里 f(x)arcsinx 在 x1(一 1)处右(左) 连续右端级数在 x1 均收敛，故展开式在 x1 也成立() 【知识模块】 高等数学14 【正确答案】 sin(xa)sinxcosa cosxsina由 sinx 与 cosx 的展开式得其中，m0，1，2，3，【知识模块】 高等数学15 【正确答案】 将 f(x)视为(x 一 1) ，因此只需
9、将 展开成即可因为 利用公式(1117)，并以 代替其中的 x，则有由于 f(x)的幂级数 an(x1)n 的系数 ，所以 f(n)(1)(n!)an【知识模块】 高等数学16 【正确答案】 即证 x，幂级数 均收敛任取x 0R 00，考察与a nx0n的关系并利用比较判别法注意， 给定的 x，M(n0，1，2，) ，M0 为某常数，于是 由幂级数在收敛区间内绝对收敛 a nx0n收敛由比较原理 收敛 收敛因此，原幂级数的收敛域为(，) 【知识模块】 高等数学17 【正确答案】 (I)求收敛域：原幂级数记为 ，则由收敛域为(一，)(II)求和函数方法 2 逐项积分与逐项求导法我们也是为了利用
10、ex 的展开式，作如下变形：【知识模块】 高等数学18 【正确答案】 先分解由ln(1x)的展开式知， S1ln(11)ln2为求 S2 引进幂级【知识模块】 高等数学19 【正确答案】 (I)考察 的部分和 该级数的部分和 S2n (u2k1u 2k)收敛，*582(S 2nu2n)S 0S因此 收敛且和为 S( )显然， 方法 2 这是交错级数，已知 为证u n单调下降，只需证 因此原级数收敛【知识模块】 高等数学20 【正确答案】 级数 (anan1)收敛，即其部分和 Sm (an 一 an1)(a 1a0)(a 2 一 a1)(a m 一 am1)a m 一 a0 为收敛数列，从而a
11、n也是收敛数列我们知道数列收敛则一定有界，设a nM，n1，2，则a nbnMb nMb 2再由于 是收敛的正项级数，这样，利用比较判别法，即知 收敛，即 绝对收敛【知识模块】 高等数学21 【正确答案】 不必先求出 F(x)，只须考察 【知识模块】 高等数学22 【正确答案】 (I)由u nv nu nv n，又收敛，再由比较原理(u nv n)绝对收敛() 由假设条件知，用反证法若v nu nv n 一 unu nv nu n，且收敛，与已知条件矛盾因此条件收敛【知识模块】 高等数学23 【正确答案】 由于根据比较判别法即知：【知识模块】 高等数学24 【正确答案】 (I)将 an2 改写
12、成再将 an2 改写成()容易验证比值判别法对级数 失效，因此需要用适当放大缩小法与比较原理来讨论它的敛散性题(I)已给出了a n上下界的估计，由注意当 p2 即收敛，当 p2 即 发散因此级数 当 p2 时收敛，当 P2 时发散【知识模块】 高等数学25 【正确答案】 先求 an【知识模块】 高等数学26 【正确答案】 (I)由 ynx 2 与 y(n 1)x 2 ，得 .又因为两条抛物线所围图形关于 y 轴对称，所以()利用(I)的结果【知识模块】 高等数学27 【正确答案】 由于 f(x)为偶函数，所以对于右端前一个积分，令 x 一 t，后一个积分，令 x t ，则根据假设，所以 a2n0，所以 a2n 1，2，【知识模块】 高等数学28 【正确答案】 该傅氏级数的和函数 其中 S(0) f(00)f(00)，S() f(一 0)f( 0)【知识模块】 高等数学29 【正确答案】 由于 f(x)为奇函数，所以其展开式应为正弦级数如果 a 不是自然数，则故 f(x)sinax ，x ，在 x 时，右端为 0，即其傅里叶级数收敛于 sinasin(一 a)0当 a 为自然数时，根据三角函数系的正交性有 f(x)sinaxsinnx，na ，一 x【知识模块】 高等数学
