1、考研数学一（高等数学）模拟试卷 151 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f(x)= ，则 x=0 是 f(x)的( )（A）连续点（B）第一类间断点（C）第二类间断点（D）不能判断连续性的点2 设 (x+y0)为某函数的全微分，则 a 为( )（A）一 1（B） 0（C） 1（D）2二、填空题3 设 a0，且 =1，则 a=_，b=_4 设 f(x)二阶连续可导，且 =1，f (0)=e，则 =_5 1 =_6 设 L1： ，L 2： ，则过 L1 平行于 L2 的平面方程为_7 设 f(x，y)可微，且 f1(一 1，3)=一 2，f 2(一
2、 1，3)=1，令 z=f(2xy， )，则dz (1， 3)=_8 设 f(x，y)在点(0，0)的邻域内连续， F(t)= =_9 级数 的收敛域为_，和函数为_10 微分方程(2x+3)y =4y的通解为 _11 设 f(x，y)可微，f(1 ，2)=2，f x(1，2)=3 ，f y(1，2)=4，(x)=fx，f(x，2x) ，则(1)=_12 =_13 以 y=C1ex+ex(C2cosx+C3sinx)为特解的三阶常系数齐次线性微分方程为_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。14 设 f(x)=0tanxarctant2dt，g(x)=xsinx ，当 x0 时，比
3、较这两个无穷小的关系15 设 y=y(x)由 ln(x2+y)=x3y+sinx 确定，求 16 设 f(x)在0，1上二阶连续可导且 f(0)=f(1)，又f (x)M，证明：f (x)17 求 18 设 f(x)=1xet2 dt，求 01x2f(x)dx18 计算 Lxdy 一(2y+1)dx ，其中19 L 从原点经过直线 y=x 到点(2 ，2)；20 L 从原点经过抛物线 y= 到点(2 ，2)21 判断级数 的敛散性22 求微分方程 y+y=x2+3+cosx 的通解23 确定常数 a，b，C ，使得 =c24 设 f(x)在0，1上二阶可导，且 f(x)1(x0，1)，又 f(
4、0)=f(1)，证明：f (x) (x0，1)25 设 f(x)在0，+)上连续，非负，且以 T 为周期，证明： 26 求过直线 且与点(1，2，1)的距离为 l 的平面方程27 计算 I= ，其中 D=(x，y)一 1x1，0y228 设曲线 L 的长度为 l，且 =M证明： LPdx+QdyMl考研数学一（高等数学）模拟试卷 151 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 【知识模块】 高等数学2 【正确答案】 D【试题解析】 【知识模块】 高等数学二、填空题3 【正确答案】 a=4，b=1【试题解析】 【知识模块】 高等数
5、学4 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学5 【正确答案】 【试题解析】 1【知识模块】 高等数学6 【正确答案】 所求平面为 ：(x 一 1)一 3(y 一 2)+(z 一 3)=0 或 ：x 一 3y+z+2=0【试题解析】 因为所求平面 经过 L1，所以点 M(1，2，3)在平面 上，因为 与 L1， L2 都平行，所以所求平面的法向量为 n= 1，0，一 12，1，1=1，一 3，1，所求平面为 ：(x 一 1)一 3(y 一 2)+(z 一 3)=0 或 ：x 一3y+z+2=0【知识模块】 高等数学7 【正确答案】 -7dx3dy【试题解析】 【知识模块】 高等数学8
6、 【正确答案】 2f(0，0)【试题解析】 【知识模块】 高等数学9 【正确答案】 -2，2)，S(x)=【试题解析】 【知识模块】 高等数学10 【正确答案】 y= C1x3+6C1x2+9C1x+C2【试题解析】 令 y=p，则 dx，两边积分得 lnp=ln(2x+3)2+lnC1，或y=C1(2x+3)2，于是 y= C1x3+6C1x2+9C1x+C2【知识模块】 高等数学11 【正确答案】 47【试题解析】 因为 (x)=fxx，f(x，2x)+f yx，f(x，2x)f x(x，2x)+2f y(x，2x)， 所以 (1)=fx1，f(1 ，2)+f y1，f(1，2)f x(1
7、，2)+2f y(1，2)=3+4(3+8)=47【知识模块】 高等数学12 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学13 【正确答案】 y 一 3y+4y一 2y=0【试题解析】 特征值为 1=1， 2，3 =1i，特征方程为( 一 1)( 一 1+i)(1 一 i)=0，即 3 一 32+4 一 2=0，所求方程为 y一 3y+4y一 2y=0【知识模块】 高等数学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。14 【正确答案】 所以当 x0 时，f(x)= 0tanxarctant2dt 与 g(x)=xsinx 是同阶非等价的无穷小【知识模块】 高等数学15 【正确答案】
8、 x=0 入得 y=1，ln(x 2+y)=x3y+sinx 两边关于 x 求导得=3x2y+x3y+cosx，将 x=0，y=1 代入得 x=0=1【知识模块】 高等数学16 【正确答案】 由泰勒公式得 因为 x2x，(1 一 x)21x，所以 x2+(1-x)21，故f (x) 【知识模块】 高等数学17 【正确答案】 【知识模块】 高等数学18 【正确答案】 【知识模块】 高等数学【知识模块】 高等数学19 【正确答案】 Lxdy (2y1)dx= 02xdx(2x1)dx= 02(x1)dx=4【知识模块】 高等数学20 【正确答案】 Lxdy 一 (2y+1)dx=02xxdx 一(
9、x 2+1)dx=一 2【知识模块】 高等数学21 【正确答案】 【知识模块】 高等数学22 【正确答案】 特征方程为 2+1=0，特征值为 1=一 i， 2=i，方程 y+y=0 的通解为 y=C1cosx+C2sinx，对方程 y+y=x2+3，特解为 y1=x2+1；对方程 y+y=cosx，特解为 xsinx，原方程的特解为 x2+1+ xsinx，则原方程的通解为y=C1cosx+C2sinx+x2+1+ xsinx【知识模块】 高等数学23 【正确答案】 方法一【知识模块】 高等数学24 【正确答案】 由泰勒公式得 f(0)=f(x)一 f(x)x+ f(1)x2， 1(0，x)，
10、f(1)=f(x)+f(x)(1 一 x)+ f(2)(1 一 x)2， 2(x，1)，两式相减，得 f(x)= f(2)(1 一 x)2两边取绝对值，再由f (x)1，得f (x) 【知识模块】 高等数学25 【正确答案】 对充分大的 x，存在自然数 n，使得 nTx(n+1)T ，因为 f(x)0，所以 0nTf(t)dt0xf(t)dt0(n1)T f(t)dt，【知识模块】 高等数学26 【正确答案】 过直线 的平面束方程为 ：(3x 一 2y+2)+(x 一 2yz+6)=0，或 ：(3+)x 一 2(1+)y 一 z+2+6=0，点(1，2，1)到平面 的距离为 解得 =一 2 或 =一 3，于是所求的平面方程为 ：x2y+2z 一 10=0，或 ：4y+3z 一16=0【知识模块】 高等数学27 【正确答案】 令 D1= (x，y)一 1x1，0yx 2，D 2=(x，y)一1x1，x 2y2，【知识模块】 高等数学28 【正确答案】 Pdx+Qdy=P，Qdx，dy，因为ab ab，所以有Pdx+Qdy Mds，于是 LPdx+Qdy LPdx+Qdy LMds=MLds=Ml【知识模块】 高等数学
