1、考研数学一（高等数学）模拟试卷 153 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f(x)= ，则 f(x)( )（A）无间断点（B）有间断点 x=1（C）有间断点 x=一 1（D）有间断点 x=02 设 f(x，y)在(0，0)的某邻域内连续，且满足 =一 3，则 f(x，y)在(0，0)处( )（A）取极大值（B）取极小值（C）不取极值（D）无法确定是否取极值3 设：x 2+y2+z2=1(z0)， 1 为在第一卦限的部分，则( )4 设 f(x)在 x=a 处可导，且 f(a)0，则f(x)在 x=a 处( )（A）可导 （B）不可导 （C）不一定
2、可导 （D）不连续5 设 y(x)是微分方程 y+(x 一 1)y+x2y=ex 满足初始条件 y(0)=0，y (0)=1 的解，则( )（A）等于 1（B）等于 2（C）等于 0（D）不存在二、填空题6 =_7 设曲线 y=lnx 与 y=k 相切，则公共切线为_8 曲线 y=x4ex2 (x0)与 x 轴围成的区域面积为_9 一平面经过点 M1(2，1，3)及点 M2(3，4，一 1)，且与平面 3xy+6z 一 6=0 垂直，则该平面方程为_10 设 f(x)= ，D 为一 x ，一y，则 f(y)f(xy)dxdy=_11 函数 f(x)= 展开成 x 的幂级数为_12 设 y=y(
3、x)过原点，在原点处的切线平行于直线 y=2x+1，又 y=y(x)满足微分方程y一 6y+9y=e3x，则 y(x)=_13 =_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。14 设 f(x)二阶连续可导，f =4， 15 设 y=y(x)由 x1xy dt=0 确定，求 16 证明：当 x0 时，x 2(1+x)ln 2(1+x)17 求 18 19 判断级数 的敛散性，若收敛是绝对收敛还是条件收敛19 设有幂级数 2+ 20 求该幂级数的收敛域；21 证明此幂级数满足微分方程 y一 y=一 1；22 求此幂级数的和函数23 求微分方程 x2y一 2xy+2y=2x 一 1 的通解2
4、4 求 25 f(x)在 1，1上三阶连续可导，且 f(-1)=0，f(1)=1，f (0)=0证明：存在 (一1，1)，使得 f()=326 设 27 设 A(一 1，0，4) ， ： 3X 一 4y+z+10=0，L： 1005，求一条过点 A 与平面 平行，且与直线 L 相交的直线方程28 计算 I= 考研数学一（高等数学）模拟试卷 153 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 当x1 时，f(x)=1+x；当x1 时，f(x)=0；当 x=一 1 时，f(x)=0，当 x=1 时，f(x)=1于是 f(x)= 显然 x
5、=1 为函数 f(x)的间断点，选(B)【知识模块】 高等数学2 【正确答案】 A【试题解析】 【知识模块】 高等数学3 【正确答案】 C【试题解析】 【知识模块】 高等数学4 【正确答案】 A【试题解析】 不妨设 f(a)0，因为 f(x)在 x=a 处可导，所以 f(x)在 x=a 处连续，于是存在 0，当x a 时，有 f(x)0，于是 =f(a)，即f(x)在 x=a处可导，同理当 f(a)0 时，f(x) 在 x=a 处也可导，选(A)【知识模块】 高等数学5 【正确答案】 A【试题解析】 微分方程 y+(x 一 1)y+x2y=ex 中，令 x=0，则 y(0)=2，于是=1，选(
6、A)【知识模块】 高等数学二、填空题6 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学7 【正确答案】 【试题解析】 设当 x=a 时，两条曲线相切，由 得 a=e2两条曲线的公共切线为 y 一 lne2= 【知识模块】 高等数学8 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学9 【正确答案】 7x 一 9y 一 5z+10=0【试题解析】 且与平面 3xy+6z 一 6=0 垂直，所求平面的法向量为n= 1，3，一 43，一 1，6=14，一 18，一 10，所求的平面方程为14(x 一 2)一 18(y 一 1)一 10(z 一 3)=0，即 7x 一 9y 一 5z+10=0【
7、知识模块】 高等数学10 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学11 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学12 【正确答案】 2xe 3x+ x2e3x【试题解析】 由题意得 y(0)=0，y (0)=2，y 一 6y+9y=e3x 的特征方程为 2 一6+9=0，特征值为 1=2=3，令 y一 6y+9y=e3x 的特解为 y0(x)=ax2e3x 代入得 a=故通解为 y=(C1+C2)e3X+ x2e3x由 y(0)=0，y (0)=2 得 C1=0，C 2=2，则y(x)=2xe3x+ x2e3x【知识模块】 高等数学13 【正确答案】 【试题解析】 【知识模
8、块】 高等数学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。14 【正确答案】 因为 =0，所以 f(0)=0，f (0)=0，又 f(x)二阶连续可导且 f(0)=4，所以 f(x)=2x2+o(x2)，所以 =e2【知识模块】 高等数学15 【正确答案】 x=0 时，y=1 x 1xy et2 dt=0 两边关于 x 求导得 【知识模块】 高等数学16 【正确答案】 令 f(x)=x2 一(1+x)ln 2(1+x)，f(0)=0；f (x)=2xln2(1+x)一 2ln(1+x)，f(0)=0；【知识模块】 高等数学17 【正确答案】 【知识模块】 高等数学18 【正确答案】 【知
9、识模块】 高等数学19 【正确答案】 【知识模块】 高等数学【知识模块】 高等数学20 【正确答案】 因为 =0，所以收敛半径为 R=+，故幂级数的收敛域为(一，+)【知识模块】 高等数学21 【正确答案】 故该幂级数满足微分方程 y一 y=一 1【知识模块】 高等数学22 【正确答案】 由 f(x)一 f(x)=一 1 得 f(x)=C1ex +C2ex+1，再由 f(0)=2，f (0)=0 得，所以 f(x)=chx+1【知识模块】 高等数学23 【正确答案】 【知识模块】 高等数学24 【正确答案】 【知识模块】 高等数学25 【正确答案】 由泰勒公式得 两式相减得 f(1)+f(2)
10、=6因为 f(x)在一1，1上三阶连续可导，所以 f(x)在 1， 2上连续，由连续函数最值定理，f (x)在1， 2上取到最小值 m 和最大值 M，故 2mf(1)+f(2)2M，即 m3M由闭区间上连续函数介值定理，存在 1， 2 (一 1，1) ，使得 f()=3【知识模块】 高等数学26 【正确答案】 【知识模块】 高等数学27 【正确答案】 过 A(1，0，4)且与平面 ：3x 一 4y+2+10=0 平行的平面方程为1：3(x+1)一 4y+(z 一 4)=0，即 1：3x 一 4y+z 一 1=0令 ，代入 1：3x 一4y+z 一 1=0，得 t=16，则直线 L 与 1 的交点为 M0(15，19，32)，所求直线的方向向量为 s=16，19，28，所求直线为 【知识模块】 高等数学28 【正确答案】 【知识模块】 高等数学
