1、考研数学一（高等数学）模拟试卷 155 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 f(x)在 一 1，1上连续，则 x=0 是函数 g(x)= 的( )（A）可去间断点（B）跳跃间断点（C）连续点（D）第二类间断点2 设f(x)dx=x 2+C，则xf(1 一 x2)dx 等于( ) 3 设 fx(x0，y 0)，f y(x0，y 0)都存在，则( )（A）f(x，y)在(x 0，y 0)处连续（B） f(x，y) 存在（C） f(x，y)在(x 0，y 0)处可微（D） f(x，y 0)存在4 设区域 D 由 x=0，y=0 ，xy= ，x+y=1 围成，
2、若 I1= ln(x+y)3dxdy,I2=(x+y)3dxdy，I 3= sin3(x+y)dxdy，则( )（A）I 1I 2 I3（B） I2I 3I 1（C） I1I 2I 3（D）I 2I 3 I15 设 f(x)在 x=a 处二阶可导，则 等于( )（A）一 f(a) （B） f(a)（C） 2f(a) （D） f(a)6 设 1(x)， 2(x)， 3(x)为二阶非齐次线性方程 y+a1(x)y+a2(x)y=f(x)的三个线性无关解，则该方程的通解为( )（A）C 11(x)+2(x)+C23(x)（B） C11(x)一 2(x)+C23(x)（C） C11(x)+2(x)+C
3、21(x)一 3(x)（D）C 11(x)+C22(x)+C33(x)，其中 C1+C2+C3=1二、填空题7 =_8 01sinx2xtdt=_9 点 M(1，一 1，2)到平面 ：2xy+5z 一 12=0 的距离为 d=_10 幂级数 的收敛半径为_11 微分方程 xy= +y 的通解为 _12 =_13 设 f(，)一阶连续可偏导， f(tx，ty)=t 3f(x，y) ，且 f1(1，2)=1 ，f 2(1，2)=4，f(1，2)=_14 设级数 条件收敛，则 p 的取值范围是_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 求 16 设 f(x)= ，求 df(x) x=1
4、17 求 y=0x(1 一 t)arctantdt 的极值18 求 19 设 f(2)= ，f (2)=0,02f(x)dx=1，求 01x2f(2x)dx20 计算 L(x3+y2)ds，其中 L：x 2+y2=a221 设级数 收敛，又 a nb nc n(n=1，2，)证明：级数 bn 收敛22 设 f(x)在0，+)上连续，且 f(0)0，设 f(x)在0 ，x上的平均值等于 f(0)与 f(x)的几何平均数，求 f(x)23 求 23 设 f(x)在0，1上连续，在 (0，1)内可导，f(0)=0，f( )=1，f(1)=0 证明：24 存在 ( ，1)，使得 f()=；25 对任意
5、的 k(一，+) ，存在 (0，)，使得 f()一 kf()一 =126 设 f(x)在 x0 的邻域内四阶可导，且f (4)(x)M(M0) 证明：对此邻域内任一异于 x0 的点 x，有 ，其中 x为 x 关于 x0 的对称点27 设 f(x)在( 一，+)上有定义，且对任意的 x，y (一 ，+)有f(x)一f(y)x y证明： abf(x)dx 一(b 一 a)f(a) (b 一 a)228 计算 dxdy，其中 D 为单位圆 x2y 2=1 所围成的第一象限的部分考研数学一（高等数学）模拟试卷 155 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答
6、案】 A【试题解析】 显然 x=0 为 g(x)的间断点，因为 =f(0)，所以 x=0 为 g(x)的可去间断点，选(A) 【知识模块】 高等数学2 【正确答案】 B【试题解析】 xf(1-x 2)dx= f(1-x2)d(1 一 x2)= (1-x2)2+C，选(B)【知识模块】 高等数学3 【正确答案】 D【试题解析】 多元函数在一点可偏导不一定在该点连续，(A)不对；【知识模块】 高等数学4 【正确答案】 B【试题解析】 故 I2I3I1，应选(B) 【知识模块】 高等数学5 【正确答案】 D【试题解析】 【知识模块】 高等数学6 【正确答案】 D【试题解析】 因为 1(x)， 2(x
7、)， 3(x)为方程 y+a1(x)y+a2(x)y=f(x)的三个线性无关解，所以 1(x)一 3(x)， 2(x)一 3(x)为方程 y+a1(x)y+a2(x)y=0 的两个线性无关解，于是方程 y+a1(x)y+a2(x)y=f(x)的通解为 C11(x)一 3(x)+C22(x) 3(x)+3(x) 即 C11(x)+C22(x)+C33(x)，其中 C3=1 一 C1 一 C2 或 C1+C2+C3=1，选(D)【知识模块】 高等数学二、填空题7 【正确答案】 e【试题解析】 【知识模块】 高等数学8 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学9 【正确答案】 【试题解析】
8、 【知识模块】 高等数学10 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学11 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学12 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学13 【正确答案】 3【试题解析】 f(tx，ty)=t 3f(x，y)两边对 t 求导数得 xf 1(tx，ty)+yf 2(tx，ty)=3t2f(x，y)， 取 t=1，x=1，y=2 得 f1(1，2)+2f 2(1，2)=3f(1，2)，故 f(1，2)=3 【知识模块】 高等数学14 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正
9、确答案】 【知识模块】 高等数学16 【正确答案】 由 f(x)= =xex 得 f(x)=(x+1)ex，从而 f(1)=2e，故df(x) x=1=2edx【知识模块】 高等数学17 【正确答案】 令 y=(1x)arctanx=0 ，得 x=0 或 x=1，y =arctanx ，因为y(0)=10， y(1)= 0，所以 x=0 为极小值点，极小值为 y=0；x=1 为极大值点，极大值为 y(1)=01(1 一 t)arctantdt=01arctantdt 一 01tarctantdt【知识模块】 高等数学18 【正确答案】 【知识模块】 高等数学19 【正确答案】 【知识模块】 高
10、等数学20 【正确答案】 根据对称性， L(x3+y2)ds=Ly2ds=Lx2ds，则 L(x3+y2)ds= =a3【知识模块】 高等数学21 【正确答案】 由 anbncn，得 0bn 一 ancn 一 an因为 (cna n)收敛，根据正项级数的比较审敛法得 (bn 一 an)收敛，又 bn=(bn 一 an)+an，则 bn 收敛【知识模块】 高等数学22 【正确答案】 【知识模块】 高等数学23 【正确答案】 【知识模块】 高等数学【知识模块】 高等数学24 【正确答案】 令 (x)=f(x)一 x，(x)在0，1上连续， 0，(1)= 一 10，由零点定理，存在 ( ，1)，使得 ()=0，即 f()=【知识模块】 高等数学25 【正确答案】 设 F(x)=ekx (x)，显然 F(x)在0，上连续，在(0，)内可导，且F(0)=F()=0， 由罗尔定理，存在 (0，)，使得 F()，整理得 F()KF()一 =1【知识模块】 高等数学26 【正确答案】 【知识模块】 高等数学27 【正确答案】 因为(b 一 a)f(a)=abf(a)dx，所以 abf(x)dx 一(b 一 a)f(a)= abf(x)一 f(a)dx abf(x) 一 f(a)dx ab(x-a)dx= 【知识模块】 高等数学28 【正确答案】 【知识模块】 高等数学
