1、考研数学一（高等数学）模拟试卷 156 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f(x)可导，且 F(x)=f(x)(1+sinx)在 x=0 处可导，则 ( )（A）f(0)=0（B） f(0)=0（C） f(0)=f(0)（D）f(0)=一 f(0)2 设 M= (x2sin3xcos 4x)dx，则有( )（A）NPM（B） MPN（C） NM P（D）PM N3 设可微函数 f(x，y)在点(x 0，y 0)处取得极小值，则下列结论正确的是 ( )（A）f(x 0，y)在 y=一 y0 处导数为零（B） f(x0，y)在 y=y0 处导数大于零
2、（C） f(x0，y)在 y=y0 处导数小于零（D）f(x 0，y)在 y=y0 处导数不存在4 设平面区域 D：1x 2+y24，f(x，y) 是区域 D 上的连续函数，则 等于( )（A）2 12rf(r)dr（B） 212rf(r)dr 01rf(r)dr（C） 212rf(r2)dr（D）2 02rf(r2)dr 一 01rf(r2)dr5 设 f(x)在 x=0 处二阶可导，f(0)=0 且 =2，则( )（A）f(0)是 f(x)的极大值（B） f(0)是 f(x)的极小值（C） (0，f(0)是曲线 y=f(x)的拐点（D）f(0)不是 f(x)的极值，(0，f(0)也不是曲线
3、 y=f(x)的拐点6 设 =r，则( ) （A）r1（B） r1（C） r=一 1（D）r=1二、填空题7 =_8 设平面 1：3x 一 2y+6z 一 2=0 与平面 2：3x 一 2y+6z+12=0，则两平行平面之间的距离为_9 幂级数 的收敛域为_10 设二阶常系数非齐次线性微分方程 y+y+qy=Q(x)有特解 y=3e4x +x2+3x+2，则Q(x)=_，该微分方程的通解为_11 02 =_12 设 z=f(x，y)二阶可偏导， =2，且 f(x，0)=1，f y(x，0)=x，则 f(x，y)=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。13 求 14 求 (其中 a
4、i0(i=1，2，n)15 设 f(x)可导且 f(0)0，且 16 设 PQ 为抛物线 y= 的弦，且 PQ 在此抛物线过 P 点的法线上，求 PQ 长度的最小值17 求 18 设 f(x)= 19 ds，其中 L 为由 x 轴，x 2+y2=4 及 y=x 所围成的第一封限内的区域的边界20 设正项级数 收敛，并说明反之不成立21 设曲线 L 位于 xOy 平面的第一象限内，L 上任意一点 M 处的切线与 y 轴总相交，交点为 A，已知MA=OA，且 L 经过点( )，求 L 的方程22 求 22 设 f(x)在( 一 1，1)内二阶连续可导，且 f(x)0证明：23 对(一 1，1)内任
5、一点 x0，存在唯一的 (x)(0， 1)，使得 f(x)=f(0)+xf(x)x；24 25 设 f(x)，g(x) 在a，b 上连续，在(a ，b)内二阶可导，f(a)=f(b)=0，f (a)f (b)0，且 g(x)0(xa，b，g (x)0(axb)，证明：存在 (a，b)，使得 26 设 f(x)在0，1上连续，且 0mf(x)M，对任意的 x0，1，证明： 27 计算二重积分 (x2+4x+y2)dxdy，其中 D 是曲线(x 2+y2)2=a2(x2 一 y2)围成的区域28 设有微分方程 y一 2y=(x)，其中 (x)= ，在(一 ，+)求连续函数 y(x)，使其在(一 ，
6、1)及(1，+)内都满足所给的方程，且满足条件 y(0)=0考研数学一（高等数学）模拟试卷 156 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】 F(0)=f(0) ， F (0)= =f(0)一 f(0)；F (0)= =f(0)+f(0)，因为F(x)在 x=0 处可导，所以 F (0)=F (0)，于是 f(0)=0，故应选(A)【知识模块】 高等数学2 【正确答案】 D【试题解析】 PMN，选(D) 【知识模块】 高等数学3 【正确答案】 A【试题解析】 可微函数 f(x，y)在点(x 0，y 0)处取得极小值，则有 fx(x
7、0，y 0)=0， fy(x0，y 0)=0，于是 f(x0，y)在 y=y0 处导数为零，选(A)【知识模块】 高等数学4 【正确答案】 A【试题解析】 =02d12rf(r)dr=212rf(r)dr，选(A) 【知识模块】 高等数学5 【正确答案】 B【试题解析】 由 得 f(0)+f(0)=0，于是 f(0)=0再由 =f(0)+f(0)=2，得f(0)=20，故 f(0)为 f(x)的极小值，选(B)【知识模块】 高等数学6 【正确答案】 C【试题解析】 【知识模块】 高等数学二、填空题7 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学8 【正确答案】 2【试题解析】 【知识模块
8、】 高等数学9 【正确答案】 (0，4)【试题解析】 【知识模块】 高等数学10 【正确答案】 Q(x)=2 2x312(x 2+3x+2)=一 12x234x 一 19， 通解为y=C1e4x C 2e3x+x23x2( 其中 C1，C 2 为任意常数)【试题解析】 显然 =一 4 是特征方程 2+q=0 的解，故 q=12， 即特征方程为2+ 一 12=0，特征值为 1=一 4， 2=3 因为 x2+3x+2 为微分方程 y+y一12y=Q(x)的一个特解， 所以 Q(x)=22x312(x 2+3x+2)=一 12x234x 一 19， 且通解为 y=C1e4x C 2e3x+x23x2
9、(其中 C1，C 2 为任意常数)【知识模块】 高等数学11 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学12 【正确答案】 y 1+xy+1【试题解析】 由 =2y+(x)，因为 fy(x，0)=x，所以 (x)=x，即=2y+x， z=y2+xy+C，因为 f(x，0)=1，所以 C=1，于是 z=y1+xy+1【知识模块】 高等数学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。13 【正确答案】 【知识模块】 高等数学14 【正确答案】 所以原式=a 1a2an【知识模块】 高等数学15 【正确答案】 【知识模块】 高等数学16 【正确答案】 【知识模块】 高等数学17 【正确
10、答案】 【知识模块】 高等数学18 【正确答案】 【知识模块】 高等数学19 【正确答案】 【知识模块】 高等数学20 【正确答案】 【知识模块】 高等数学21 【正确答案】 设点 M 的坐标为(x，y)，则切线 MA：Y 一 y=y(X 一 x)令X=0，则 Y=yxy，故 A 点的坐标为(0 ，yxy )【知识模块】 高等数学22 【正确答案】 【知识模块】 高等数学【知识模块】 高等数学23 【正确答案】 对任意 x(一 1，1) ，根据微分中值定理，得 f(x)=f(0)+xf (x)x，其中 0(x)1 因为 f(x)C(1，1)且 f(x)0，所以 f(x)在(一 1，1)内保号，
11、不妨设 f(x)0， 则 f(x)在(一 1，1)内单调增加，又由于 x0，所以 (x)是唯一的【知识模块】 高等数学24 【正确答案】 由泰勒公式，得 f(x)=f(0)+f(0)x+ x2，其中 介于 0 与 x 之间，而 f(x)=f(0)+xf(x)x，所以有 f(x)x= ，令 x0，再由二阶导数的连续性及非零性，得 【知识模块】 高等数学25 【正确答案】 设 f (a)0，f (6)0，由 f (a)0，存在 x1(a，b)，使得 f(x1)f(a)=0；由 f (b)0，存在 x2(a，b)，使得 f(x2)f(b)=0 ，因为 f(x1)f(x2)0，所以由零点定理，存在 c
12、(a，b)，使得 f(c)=0令 h(x)= ，显然 h(x)在a ，b上连续，由 h(a)=h(c)=h(b)=0，存在 1(a，c)， 2(c，b)，使得 h(1)=h(2)=0，而 h(x)= 令 (x)=f(x)g(x)一 f(x)g(x)， ( 1)=(2)=0，由罗尔定理，存在 (1， 2)(a，b)，使得 ()=0，而 (x)=f(x)g(x)一 f(x)g(x)，所以 【知识模块】 高等数学26 【正确答案】 【知识模块】 高等数学27 【正确答案】 【知识模块】 高等数学28 【正确答案】 当 x1 时，y 一 2y=2 的通解为 y=C1e2x 一 1，由 y(0)=0 得C1=1，y=e 2x 一 1；当 x1 时，y 一 2y=0 的通解为 y=C2e2x，根据给定的条件，y(1+0)=C2e2=y(10)=e2 一 1，解得 C2=1 一 e2 ，y=(1 一 e2 )ee2x，补充定义 y(1)=e2 一 1，则得在( 一，+)内连续且满足微分方程的函数【知识模块】 高等数学
