1、考研数学一（高等数学）模拟试卷 157 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f(x)连续，且 F(x)= lnxf(t)dt，则 F(x)=( )2 设 f(x)= ，F(x)= 0xf(t)dt(x0，2) ，则( )3 在曲线 x=t，y= 一 t2，z=t 3 的所有切线中，与平面 x+2y+z 一 4=0 平行的切线有( )（A）只有一条（B）只有两条（C）至少有三条（D）不存在4 设 x2+y22ay(a0)，则 f(x，y)dxdy 在极坐标下的累次积分为( )（A） 0d02acosf(rcos，rsin)rdr（B） 0d02asi
2、nf(rcos， rsin)rdr（C） d02acosf(rcos，rsin)rdr（D） d02asinf(rcos，rsin)rdr5 设 f(x)在 x=a 处的左右导数都存在，则 f(x)在 x=a 处( )（A）一定可导（B）一定不可导（C）不一定连续（D）连续6 设 n=(一 1)nln(1+ )，则( )二、填空题7 =_8 点 M(3，一 4，4)到直线 的距离为_9 =_10 以 y=C1e2x +C2ex+cosx 为通解的二阶常系数非齐次线性微分方程为_11 =_12 设(ay 一 2xy2)dx+(bx2y+4x+3)dy 为某个二元函数的全微分，则a=_，b=_三、
3、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。13 求下列极限：14 求 15 设 y=ln(2+3x )，求 dy x=016 求函数 Y=(X 一 1) 的单调区间与极值，并求该曲线的渐近线17 求 18 设 y=arctan(x 一 1)2，y(0)=0，求 01y(x)dx19 计算 L(3x+2y+1)dx dy，其中 L 为 x2y 2=4 第一象限逆时针方向部分20 设 an 为发散的正项级数，令 Sn=a1+a2+an(n=1，2，)证明： 收敛21 在上半平面上求一条上凹曲线，其上任一点 P(X，y)处的曲率等于此曲线在该点的法线段 PQ 的长度的倒数(Q 为法线与 x 轴的
4、交点) ，且曲线在点(1，1)处的切线与 x 轴平行22 设 f(x)连续，f(0)=0，f (0)0，F(x)= 0xtf(t2 一 x2)dt，且当 x0 时，F(x) x n，求n 及 f(0)22 设 f(x)在0，1上二阶可导，且 f(x)a，f (x)b，其中 a，b 都是非负常数，c 为(0，1)内任意一点23 写出 f(x)在 x=c 处带拉格朗日型余项的一阶泰勒公式；24 证明：f (c)2a+ 25 设 f(x)在a，b上连续，在(a，b) 内二阶可导，f(a)=f(b)=0，且 f (a)0证明：存在 (a，b)，使得 f()026 设 f(x)在a，b上连续且单调增加，
5、证明： abxf(x)dx abf(x)dx27 设半径为 R 的球面 S 的球心在定球面 x2+y2+z2=a2(a0)上，问 R 取何值时，球面 S 在定球面内的面积最大?28 设 f(x)二阶连续可导，f(0)=0，f (0)=1，且xy(x+y)一 f(x)ydx+f(x)+x2ydy=0 为全微分方程，求 f(x)及该全微分方程的通解考研数学一（高等数学）模拟试卷 157 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】 F (x)=f(lnx)(lnx) 一 ，应选(A)【知识模块】 高等数学2 【正确答案】 B【试题解析】
6、当 0x1 时，F(x)= 0xt2dt= ；当 1x2 时，F(x)= 0xf(t)dt=01t2dt 1x(2t)dt= ，选(B)【知识模块】 高等数学3 【正确答案】 B【试题解析】 T=1，一 2t，3t 2，平面的法向量为 n=1，2，1，令 14t+3t2=0，解得 t=1，t= ，故曲线 x=t，y=t 2，z=t 3 的所有切线中，与平面x2yz 一 4=0 平行的切线有两条，选(B)【知识模块】 高等数学4 【正确答案】 B【试题解析】 令 其中 0，0r2asin ，则 f(x，y)dxdy=0d02asinf(rcos，rsin)rdr 选(B) 【知识模块】 高等数学
7、5 【正确答案】 D【试题解析】 因为 f(x)在 x=a 处右可导，所以 ，即 f(x)在 x=a 处右连续，同理由 f(x)在 x=a 处左可导，得 f(x)在 x=a 处左连续，故 f(x)在 x=a 处连续，由于左右导数不一定相等，选(D) 【知识模块】 高等数学6 【正确答案】 B【试题解析】 【知识模块】 高等数学二、填空题7 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学8 【正确答案】 【试题解析】 点 M0(4，5 ，2) 在直线上，s=2 ，一 2，1为直线的方向向量【知识模块】 高等数学9 【正确答案】 2【试题解析】 【知识模块】 高等数学10 【正确答案】 y +
8、y一 2y=一 sinx 一 3cosx【试题解析】 特征值为 1=一 2， 2=1，特征方程为 2+ 一 2=0，设所求的微分方程为 y+y一 2y=Q(x)，把 y=cosx 代入原方程，得 Q(x)=一 sinx 一 3cosx，所求微分方程为 y+y一 2y=一 sinx 一 3cosx【知识模块】 高等数学11 【正确答案】 4-【试题解析】 【知识模块】 高等数学12 【正确答案】 a=4，b=-2【试题解析】 令 P(x，y)=ay 一 2xy2，Q(x，y)=bx 2y+4x+3，因为(ay 一 2xy2)dx+(bx2y+4x+3)dy 为某个二元函数的全微分，所以 =a 一
9、 4xy，于是 a=4，b=一 2【知识模块】 高等数学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。13 【正确答案】 【知识模块】 高等数学14 【正确答案】 【知识模块】 高等数学15 【正确答案】 【知识模块】 高等数学16 【正确答案】 【知识模块】 高等数学17 【正确答案】 【知识模块】 高等数学18 【正确答案】 01zdx=xy(x) 01 01xarctan(x1) 2dx=y(1)一 01(x 一 1)arctan(x 一1)2d(x 一 1)一 01arctan(x 一 1)2dx= 01arctan(x 一 1)2d(x 一 1)2= 01arctantdt=【知
10、识模块】 高等数学19 【正确答案】 【知识模块】 高等数学20 【正确答案】 【知识模块】 高等数学21 【正确答案】 【知识模块】 高等数学22 【正确答案】 则 n2=2，n=4 ，且 ，于是 f(0)=4【知识模块】 高等数学【知识模块】 高等数学23 【正确答案】 f(x)=f(c)+f (c)(xc)+ 2713(x-c)2，其中 介于 c 与 x 之间【知识模块】 高等数学24 【正确答案】 分别令 x=0，x=1 ，得【知识模块】 高等数学25 【正确答案】 【知识模块】 高等数学26 【正确答案】 【知识模块】 高等数学27 【正确答案】 设球面 S：x 2+y2+(za)2
11、=R2【知识模块】 高等数学28 【正确答案】 令 P(x，y)=xy(xy)f(x)y，Q(x，y)=f (x)+x2y，因为xy(x+y)一f(x)ydx+f(x)+x2ydy=0 为全微分方程，所以 ，即 f(x)+f(x)=x2，解得 f(x)=C1cosx+C2sinx+x2 一 2，由 f(0)=0，f (0)=1 得 C1=2，C 2=1，所以 f(x)=2cosx+sinx+x2 一 2原方程为 xy2(2cosx+sinx)y+2ydx+(一 2sinx+cosx+2x+x2y)dy=0，整理得(xy 2dx+x2ydy)+2(ydx+xdy)一 2(ycosxdx+sinxdy)+(-ysinxdx+cosxdy)=0，即 d( x2y2+2xy 一 2ysinx+ycosx)=0，原方程的通解为x2y2+2xy2ysinx+ycosx=C【知识模块】 高等数学
