1、考研数学一（高等数学）模拟试卷 158 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f(x)=x 3 一 1g(x)，其中 g(x)连续，则 g(1)=0 是 f(x)在 x=1 处可导的( ) （A）充分条件（B）必要条件（C）充分必要条件（D）非充分非必要条件2 下列广义积分发散的是( )3 f(x，y)=arctan 在(0 ，1)处的梯度为( )（A）i（B）一 i（C） j（D）一 j4 极坐标下的累次积分 d02cosf(rcos，rsin)rdr 等于( )5 f(x)g(x)在 x0 处可导，则下列说法正确的是 ( )（A）f(x)，g(x
2、) 在 x0 处都可导（B） f(x)在 x0 处可导，g(x)在 x0 处不可导（C） f(x)在 x0 处不可导，g(x) 在 x0 处可导（D）f(x)，g(x) 在 x0 处都可能不可导6 设幂级数 an(x 一 2)n 在 x=6 处条件收敛，则幂级数 (x 一 2)2n 的收敛半径为( )（A）2（B） 4（C）（D）无法确定二、填空题7 当 x0 时，3x 一 4sinx+sinxcosx 与 xn 为同阶无穷小，则 n=_8 由曲线 L： 绕 y 轴旋转一周所得到的旋转曲面在点 (0， )处的指向外侧的单位法向量为_9 设函数 f(x)=x+x2(一 x) 的傅里叶级数为 (a
3、ncosnx+bnsinnx)，则b3=_10 设 y一 3y+ay=一 5ex 的特解形式为 Axex ，则其通解为_11 设 f(x)满足等式 xf(x)一 f(x)= ，且 f(1)=4，则 01f(x)dx=_12 函数 =x22yz 在点(1，一 2，2)处的方向导数最大值为 _三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。13 求 14 求 15 设 y=y(x)由方程 ey+6xy+x2 一 1=0 确定，求 y(0)16 证明：当 0x1 时， 17 求arcsinxarccosxdx18 设 f(t)=1t dx，求 01t2f(t)dt19 利用格林公式计算 L(eXs
4、iny+xy)dx(e xcosy+y)dy，其中 L 是圆周y= (a0)上从点 A(2a，0)到点 O(0，0)的弧段20 设 a1=2，a n1 = (n=1，2，)证明：21 一半球形雪堆融化速度与半球的表面积成正比，比例系数为 k0，设融化过程中形状不变，设半径为 r0 的雪堆融化 3 小时后体积为原来的 ，求全部融化需要的时间22 设 f(x)在1，+)内可导，f (x)0 且 f(x)=a0，令 an= f(k)一 1nf(x)dx证明：a n收敛且 0 anf(1)22 设 f(x)在 一 a，a(a0)上有四阶连续的导数， 存在23 写出 f(x)的带拉格朗日余项的麦克劳林公
5、式。24 证明：存在 1， 2一 a，a，使得 a5f(4)(1)=60a af(x)dx，a 4f(4)(1)=120f(2)25 设 f(x)二阶可导，f(0)=0，且 f(x)0证明：对任意的 a0，b0，有 f(a+b)f(a)+f(b)26 设 f(x)在(0，+)内连续且单调减少证明： 1n1 f(x)dx f(k)f(1) 1nf(x)dx27 设 f(x)在a，b上连续，证明： abf(x)dxxbf(y)dy= abf(x)dx228 利用变换 x=arctant 将方程 化为 y 关于 t 的方程，并求原方程的通解考研数学一（高等数学）模拟试卷 158 答案与解析一、选择题
6、下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 设 g(1)=0，f (1)= (x 2+x+1)g(x)=0， 因为 f (1)=f (1)=0，所以 g(1)=0，故 g(1)=0 为 f(x)在 x=1 处可导，应选(C)【知识模块】 高等数学2 【正确答案】 B【试题解析】 由 发散，应选(B)【知识模块】 高等数学3 【正确答案】 A【试题解析】 【知识模块】 高等数学4 【正确答案】 D【试题解析】 累次积分所对应的二重积分的积分区域为 D：x 2+y22x(y0)，则D=(x，y) 0x2，0y ，选(D)【知识模块】 高等数学5 【正确答案
7、】 D【试题解析】 令 f(x)= 显然 f(x)，g(x)在每点都不连续，当然也不可导，但 f(x)g(x)一 1 在任何一点都可导，选(D)【知识模块】 高等数学6 【正确答案】 A【试题解析】 因为【知识模块】 高等数学二、填空题7 【正确答案】 5【试题解析】 【知识模块】 高等数学8 【正确答案】 【试题解析】 曲线 L 绕 y 轴旋转一周所得的旋转曲面为：3x 2+2y2+3z2 一 12=0【知识模块】 高等数学9 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学10 【正确答案】 y=C 1ex +C2e4x+xex【试题解析】 因为方程有特解 Axex ，所以一 1 为特征
8、值，即(一 1)2 一 3(一 1)+a=0 a=一 4，所以特征方程为 2 一 3 一 4=0 1=一 1， 2=4，齐次方程 y一 3y+ay=0 的通解为 y=C1ex +C2e4x，再把 Axex 代入原方程得 A=1，原方程的通解为 y=C1ex +C2e4x+xex 。【知识模块】 高等数学11 【正确答案】 2-【试题解析】 【知识模块】 高等数学12 【正确答案】 6【试题解析】 函数 =x2 一 2yz 在点(1，一 2，2)处的方向导数的最大值即为函数=x2 一 2yz 在点 (1，一 2，2)处的梯度的模，而 grad (1，2，2) =2x，一 2z，一2y (1，一
9、2，2) =2，4，4，方向导数的最大值为 =6【知识模块】 高等数学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。13 【正确答案】 【知识模块】 高等数学14 【正确答案】 【知识模块】 高等数学15 【正确答案】 将 x=0 代入得 y=0，e y+6xy+x2 一 1=0 两边对 x 求导得ey +2x=0，将 x=0，y=0 代入得 y(0)=0 将 x=0，y=0，y (0)=0 代入得 y(0)=一 2【知识模块】 高等数学16 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学17 【正确答案】 【知识模块】 高等数学18 【正确答案】 【知识模块】 高等数学19 【正确答
10、案】 【知识模块】 高等数学20 【正确答案】 (1) (2)由(1)得 0 ana n1 ，对级数 (ana n1 )，Sn=(a1a 2)(a 2a 3) (a na n1 )=2a n1 ，【知识模块】 高等数学21 【正确答案】 设 t 时刻雪堆的半径为 r，则有【知识模块】 高等数学22 【正确答案】 因为 f(x)0，所以 f(x)单调减少又因为 an1 一 an=f(n+1)一nn 1f(x)dx=f(n+1)一 f()0(n，n+1)，所以a n单调减少因为an= kk1 f(k)f(x)dxf(n)，而 kk1 f(k)一 f(x)dx0(k=1，2，n 一 1)且=a0，所
11、以存在 X 0，当 xX 时，f(x)0由 f(x)单调递减得 f(x)0(x1，+) ，故 anf(n)0，所以 存在由 an=f(1)f(2) 一 12f(x)dxf(n) n1 nf(x)dx，而 f(k) k1 kf(x)dx0(k=2，3，n)，所以 anf(1)，从而 0 f(1)【知识模块】 高等数学【知识模块】 高等数学23 【正确答案】 由 存在，得 f(0)=0，f (0)=0，f (0)=0，则 f(x)的带拉格朗日余项的麦克劳林公式为 f(x)= ，其中 介于 0 与 x 之间【知识模块】 高等数学24 【正确答案】 上式两边积分得 a af(x)dx= a af(4)
12、()x4dx因为 f(4)(x)在一a，a 上为连续函数，所以 f(4)(x)在一 a，a上取到最大值 M 和最小值 m，于是有mx4f(4)()x4Mx4， a5f(4)(1)=60a af(x)dx再由积分中值定理，存在 2一a，a ，使得 a5f(4)(1)=60a af(x)dx=120af(2)，即 a4f(4)(1)=120f(2)【知识模块】 高等数学25 【正确答案】 不妨设 ab，由微分中值定理，存在 1(0，a) ， 2(b，a+b)，使得 两式相减得 f(a+b)一 f(a)一 f(b)=f(2)一 f(1)a因为 f(x)0，所以 f(x)单调增加，而 1 2，所以 f
13、(1)f (2)，故 f(a+b)f(a)一 f(b)=f(2)一 f(1)a0，即 f(a+b)f(a)+f(b)【知识模块】 高等数学26 【正确答案】 1n1 f(x)dx=12f(x)dx+23f(x)dx+ nn1 f(x)dx，当 x1，2时，f(x)f(1)，两边积分得 12f(x)dxf(1)，同理 23f(x)dxf(2)， nn1 f(x)dxf(n)，相加得 1n1 f(x)dx f(k)；当 x1，2 时，f(2)f(x)，两边积分得 f(2)12f(x)dx，同理 f(3)23f(x)dx，f(n) n1 nf(x)dx，相加得 f(2)+f(n) 1nf(x)dx，于是f(k)f(1)+1nf(x)dx【知识模块】 高等数学27 【正确答案】 令 F(x)=axf(t)dt，则 abf(x)dxxbf(y)dy=abf(x)F(b)一 F(x)dx=F(b)abf(x)dx abf(x)F(x)dx=F2(b) abF(x)dF(X)=F2(b)- 【知识模块】 高等数学28 【正确答案】 故原方程通解为 y=(C1+C2tanx)etanx +tanx 一 2【知识模块】 高等数学
