1、考研数学一（高等数学）模拟试卷 159 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f(x)= ，其中 g(x)为有界函数，则 f(x)在 x=0 处( )（A）极限不存在（B）极限存在，但不连续（C）连续，但不可导（D）可导2 设在区间a，b上 f(x)0，f (x)0，f (x)0，令 S1=abf(x)dx，S 2=f(b)(b 一 a)，S3= f(a)+f(b)，则( )（A）S 1S 2S 3（B） S2S 1S 3（C） S3S 1S 2（D）S 2S 3S 13 f(x)在 x0 处可导，则f(x)在 x0 处( )（A）可导（B）不可导（
2、C）连续但不一定可导（D）不连续4 设 f(x，y)= ，则 f(x，y)在(0，0) 处( )（A）连续但不可偏导（B）可偏导但不连续（C）可微（D）一阶连续可偏导5 设 f(x)= ancosnx(n=0，1，2；一 x+)，其中 an=201f(x)cosnxdx，则S( )为( ) 二、填空题6 设 a ，则 =_7 曲面 zex+2xy=3 在点(1，2，0)处的切平面方程为 _8 f(x)为以 2 周期的函数，当一 x 时，f(x)= ，设其傅里叶级数的和函数为 S(x)，则 S(11)=_9 设 f(x)可导，且 01f(x)+xf(xt)dt=1，则 f(x)=_10 设函数
3、y=y(x)满足y= x+o(x)，且 y(1)=1，则 01y(x)dx=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。11 求 12 求 13 设 f(x)= ，求 f(n)(x)14 证明：当 0x1 时，e 2x 15 求xarctan dx16 设 f(x)=0xecostdt，求 0f(x)cosxdx17 设 = ，求 d18 改变积分次序 19 I= ,其中 L 为 x2+y2=a2 上从点 A(a，0)沿逆时针方向到点 B(一 a，0)的有向曲线段，其中 a020 设 n0(n=1，2，)，S n=1+2+ n证明： 收敛21 设 f(x)在0，1上连续且满足 f(0)
4、=1，f (x)一 f(x)=a(x 一 1)，y=f(x) ，x=0，x=1，y=0 围成的平面区域绕 x 轴旋转一周所得的旋转体体积最小，求 f(x)22 设 a0， x10，且定义 xn1 = (n=1，2，)，证明： xn 存在并求其值23 设 f(x)在a，b上连续，且 f(x)0，对任意的 x1，x 2a，b 及 0 1，证明：fx1+(1 一 )x2f(x1)+(1 一 )f(x2)23 设 fn(x)=x+x2+xn(n2)24 证明方程 fn(x)=1 有唯一的正根 xn；25 求 xn26 设 f(x)在a，b上连续且单调减少证明：当 0k1 时， 0kf(x)dxk01f
5、(x)dx27 设 f(x，y)，g(x，y)在平面有界闭区域 D 上连续，且 g(x，y)0证明：存在(，)D ，使得 28 设 f(x)为偶函数，且满足 f(x)+2f(x)一 30xf(tx)dt=一 3x+2，求 f(x)考研数学一（高等数学）模拟试卷 159 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 因为 f(00)= ，所以 f(x)在 x=0 处连续； =0，即 f (0)=0，=0，即 f =0，因为 f =f =0，所以 f(x)在 x=0 处可导，应选(D) 【知识模块】 高等数学2 【正确答案】 B【试题解析
6、】 因为函数辅导 f(x)在a ，b 上为单调减少的凹函数，根据几何意义，S2S 1S 3，选(B) 【知识模块】 高等数学3 【正确答案】 C【试题解析】 由 f(x)在 x0 处可导得f(x) 在 x0 处连续，但f(x) 在 x0 处不一定可导，如 f(x)=x 在 x=0 处可导，但f(x) = x在 x=0 处不可导，选(C)【知识模块】 高等数学4 【正确答案】 C【试题解析】 【知识模块】 高等数学5 【正确答案】 C【试题解析】 对函数 f(x)进行偶延拓，使 f(x)在(一 1，1)上为偶函数，再进行周期为 2 的周期延拓，然后把区间延拓和周期延拓后的函数展开成傅里叶级数，傅
7、里叶级数的和函数为 S(x)，则 ，选(C)【知识模块】 高等数学二、填空题6 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学7 【正确答案】 切平面为 ：4(x 一 1)+2(y 一 2)=0，即 ：2x+y 一 4=0【试题解析】 曲面 zez+2xy=3 在点(1，2，0)处的法向量为 n=2y，2x，1 一 ez(1，20) =4，2，0，则切平面为 ：4(x 一 1)+2(y 一 2)=0，即 ：2x+y 一 4=0【知识模块】 高等数学8 【正确答案】 【试题解析】 因为 f(x)的间断点为 x=(2k+1)(kZ)，所以【知识模块】 高等数学9 【正确答案】 e x【试题解析
8、】 由 01f(x)+xf(xt)dt=1 得 01f(x)dt+01f(xt)d(xt)=1， 整理得 f(x)+0xf()d=1，两边对 x 求导得 f(x)+f(x)=0， 解得 f(x)=Cex ，因为 f(0)=1，所以 C=1，故f(x)=ex 【知识模块】 高等数学10 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。11 【正确答案】 【知识模块】 高等数学12 【正确答案】 【知识模块】 高等数学13 【正确答案】 【知识模块】 高等数学14 【正确答案】 【知识模块】 高等数学15 【正确答案】 【知识模块】 高等数学16
9、 【正确答案】 0f(x)cosxdx=0f(x)d(sinx)=f(x)sinx 0一 0f(x)sixdx = 0f(x)sinxdx=一 0ecosxsinxdx=0ecosxd(cosx) =ecosx 0=e 1 一 e【知识模块】 高等数学17 【正确答案】 【知识模块】 高等数学18 【正确答案】 【知识模块】 高等数学19 【正确答案】 【知识模块】 高等数学20 【正确答案】 【知识模块】 高等数学21 【正确答案】 【知识模块】 高等数学22 【正确答案】 因为正数的算术平均数不小于几何平均数，所以有【知识模块】 高等数学23 【正确答案】 令 x0=x1+(1 一 )x2
10、，则 x0a，b，由泰勒公式得 f(x)=f(x0)+f(x0)(xx0)+ (xx 0)2，其中 介于 x0 与 x 之间，因为 f(x)0，所以 f(x)f(x0)f (x0)(xx0)，于是 两式相加，得 fx1+(1 一 )x2f(x1)+(1 一 )f(x2)【知识模块】 高等数学【知识模块】 高等数学24 【正确答案】 令 n(x)=fn(x)一 1，因为 n(0)=一 10， n(1)=n 一 10，所以n(x)在(0，1) (0，+)内有一个零点，即方程 fn(x)=1 在(0，+)内有一个根因为 n(x)=1+2x+nxn1 0，所以 n(x)在(0，+) 内单调增加，所以
11、n(x)在(0， +)内的零点唯一，所以方程 fn(x)=1 在(0 ， +)内有唯一正根，记为 xn。【知识模块】 高等数学25 【正确答案】 由 fn(xn)一 fn1 (xn1 )=0，得(x n 一 xn1 )+(xn2 一 xn1 2)+(xnn 一xn1 n)=xn1 n1 0，从而 xnx n1 ，所以x n n=1单调减少，又xn0(n=1，2，)，故 =A，显然 Axnx1=1，由【知识模块】 高等数学26 【正确答案】 方法一 0kf(x)dxk 01f(x)dx=0kf(x)dxk 0kf(x)dx k1f(x)dx=(1 一k)0kf(x)dxkk1f(x)dx=k(1
12、 一 k)f(1)一 f(2)其中 10，k， 2k，1，因为0k1 且 f(x)单调减少，所以 0kf(x)dxk01f(x)dx=k(1 一 k)f(1)一 f(2)0，故0kf(x)dxk01f(x)dx方法二 0kf(x)dx k01f(kt)dt=k01f(kx)dx，当 x01时，因为 0k1，所以 kxx，又因为 f(x)单调减少，所以 f(kx)f(x)，两边积分得01f(kx)dx01f(x)dx，故 k01f(kx)dxk01f(x)dx，即 0kf(x)dxk01f(x)dx【知识模块】 高等数学27 【正确答案】 因为 f(x，y)在 D 上连续，所以 f(x，y)在
13、D 上取到最大值 M 和最小值 m，故 mf(x，y)M，又由 g(x，y)0 得 mg(x，y)f(x，y)g(x ，y)Mg(x ，y)积分得【知识模块】 高等数学28 【正确答案】 0x(t 一 x)dt=一 0xf(tx)d(xt) 一 x0f()d= 0xf()d，则有f(x)2f(x)一 30xf()d=3x+2，因为 f(x)为偶函数，所以 f(x)是奇函数，于是 f(0)=0，代入上式得 f(0)=1将 f(x)+2f(x)一 30xf()d=一 3x+2 两边对 x 求导数得 f(x)+2f(x)一 3f(x)=一 3，其通解为 f(x)=C1ex+C2e3x +1，将初始条件代入得 f(x)=1【知识模块】 高等数学
