1、考研数学一（高等数学）模拟试卷 160 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f(x)连续，且 =一 2，则( )（A）f(x)在 x=0 处不可导（B） f(x)在 x=0 处可导且 f(0)0（C） f(x)在 x=0 处取极小值（D）f(x)在 x=0 处取极大值2 曲线 y=x(x 一 1)(2 一 x)与 x 轴所围成的图形面积可表示为( )（A）一 02x(x 一 1)(2 一 x)dx（B） 01x(x 一 1)(2 一 x)dx 一 12x(x 一 1)(2 一 x)dx（C）一 01x(x 一 1)(2 一 x)dx+12x(x 一
2、 1)(2 一 x)dx（D） 02x(x 一 1)(2 一 x)dx3 若正项级数 ( )（A）发散（B）条件收敛（C）绝对收敛（D）敛散性不确定4 设三阶常系数齐次线性微分方程有特解 y1=ex，y 2=2xex，y 3=3ex ，则该微分方程为( )（A）y 一 y一 y+y=0（B） y+y一 y一 y=0（C） y+2y一 y一 2y=0（D）y 一 2y一 y+2y=05 设 f(x)为二阶可导的奇函数，且 x0 时有 f(x)0，f (x)0，则当 x0 时有( )（A）f (x)0，f (x)0（B） f(x)0，f (x)0（C） f(x)0，f(x)0（D）f (x)0，f
3、 (x)06 对二元函数 z=f(x，y)，下列结论正确的是( )（A）z=f(x，y)可微的充分必要条件是 z=f(x，y)有一阶连续的偏导数（B）若 z=f(x，y)可微，则 z=f(x，y)的偏导数连续（C）若 z=f(x，y)偏导数连续，则 z=f(x，y)一定可微（D）若 z=f(x，y)的偏导数不连续，则 z=f(x，y)一定不可微二、填空题7 =_8 曲面 z=x2(1 一 siny)+y2(1 一 sinx)在点(1，0，1) 处的切平面方程为_9 =_10 设 a2ln2 ，则 a=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。11 求 12 求 13 设 y=x2ln
4、x，求 y(n)(n3)14 当 0x 时，证明： sinxx15 求 16 求函数 f(x)=0x2(2 一 t)et dt 的最大值与最小值17 求函数 = 的梯度方向的方向导数18 改变积分次序并计算 19 计算 I=L(ex+1)cosydx 一(e x+x)sinyxdy，其中 L 为由点 A(2，0)沿心形线r=1+cos 上侧到原点的有向曲线段20 若正项级数 都收敛，证明下列级数收敛：21 设 a1=1，当 n1 时，a n1 = ，证明：数列a n收敛并求其极限22 设 f(x)二阶可导， =1 且 f(x)0证明：当 x0 时，f(x) x22 设函数 f(x)= 其中 g
5、(x)二阶连续可导，且 g(0)=123 确定常数 a，使得 f(x)在 x=0 处连续；24 求 f(x)；25 讨论 f(x)在 x=0 处的连续性26 设 f(x)在0，1 上连续且 f(x)M证明： 27 设 f(x)在0，a(a0)上非负、二阶可导，且 f(0)=0，f (x)0， 为 y=f(x)，y=0，x=a 围成区域的形心，证明： 28 设二阶常系数线性微分方程 y+ay+by=cex 有特解 y=e2x+(1+x)ex，确定常数a，b，c，并求该方程的通解考研数学一（高等数学）模拟试卷 160 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正
6、确答案】 D【试题解析】 由 =2 得 f(0)=1，由极限的保号性，0，当 0x 时，0，即 f(x)1=f(0)，故 x=0 为 f(x)的极大点，应选(D)【知识模块】 高等数学2 【正确答案】 C【试题解析】 曲线 y=x(x1)(2 一 x)与 x 轴的三个交点为 x=0，x=1 ，x=2，当0x1 时，Y0；当 1x2 时，y0，所以围成的面积可表示为 (C)的形式，选(C)【知识模块】 高等数学3 【正确答案】 C【试题解析】 【知识模块】 高等数学4 【正确答案】 A【试题解析】 由 y1=ex，y 2=2xex，y 3=3ex 为三阶常系数齐次线性微分方程的特解可得其特征值为
7、 1=2=1， 3=一 1，其特征方程为( 一 1)2(+1)=0，即 3 2 一+1=0，所求的微分方程为 y一 y一 y+y=0，选(A)【知识模块】 高等数学5 【正确答案】 A【试题解析】 因为 f(x)为二阶可导的奇函数，所以 f(一 x)=一 f(x)，f (一 x)=f(x)，f(一 x)=一 f(x)，即 f(x)为偶函数，f (x)为奇函数，故由 x0 时有 f(x)0，f (x)0，得当 x0 时有 f(x)0，f (x)0，选(A)【知识模块】 高等数学6 【正确答案】 C【试题解析】 因为若函数 f(x，y)一阶连续可偏导，则 f(x，y)一定可微，反之则不对，所以若函
8、数 f(x，y) 偏导数不连续不一定不可微，选(C)【知识模块】 高等数学二、填空题7 【正确答案】 -2【试题解析】 【知识模块】 高等数学8 【正确答案】 切平面为 ：2(x 一 1)一 y 一(z 一 1)=0，即 ：2xyz 一 1=0【试题解析】 F=x 2(1 一 siny)+y2(1 一 sinx)一 z，n=2x(1 一 siny)一 y2cosx，2y(1一 sinx)一 x2cosy，一 1，在点(1，0，1)处的法向量为 n=2，一 1，一 1，切平面为 ：2(x 一 1)一 y 一 (z 一 1)=0，即 ：2x yz 一 1=0【知识模块】 高等数学9 【正确答案】
9、1【试题解析】 【知识模块】 高等数学10 【正确答案】 ln2【试题解析】 【知识模块】 高等数学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。11 【正确答案】 【知识模块】 高等数学12 【正确答案】 【知识模块】 高等数学13 【正确答案】 y (n)=Cn0x2(lnx)(n)+Cn12x(lnx) (n1) +Cn22(lnx) n2【知识模块】 高等数学14 【正确答案】 令 f(x)=xsinx，f(0)=0 ，【知识模块】 高等数学15 【正确答案】 【知识模块】 高等数学16 【正确答案】 因为 f(x)为偶函数，所以只研究 f(x)在0 ，+) 内的最大值与最小值即可
10、令 f(x)=2x(2 一 x2)ex2 =0，得 f(x)的唯一驻点为 x= ， 因为 f(+)=f(-)=0 (2 一 t)et dt=1 及 f(0)=0，所以最小值为 0【知识模块】 高等数学17 【正确答案】 【知识模块】 高等数学18 【正确答案】 改变积分次序得【知识模块】 高等数学19 【正确答案】 令 L1：y=0(起点 x=0，终点 x=2，则 L1(ex1)cosydx(e x x)sinyxdy=(e x1)dx= 02e21，所以原式 = 一 e21【知识模块】 高等数学20 【正确答案】 (1) (2)因为 收敛【知识模块】 高等数学21 【正确答案】 令 f(x)
11、= 0(x0)，所以数列a n单调又因为a1=1，0a n1 1，所以数列 an有界，从而数列a n收敛，令 =A，则有A= 【知识模块】 高等数学22 【正确答案】 由 =1，得 f(0)=0，f (0)=1，又由 (x)0 且 x0，所以 f(x)f(0)+f (0)x=x【知识模块】 高等数学【知识模块】 高等数学23 【正确答案】 =f(0)，当 a=g(0)时，f(x)在 x=0 处连续【知识模块】 高等数学24 【正确答案】 当 x0 时，f (x)= 【知识模块】 高等数学25 【正确答案】 【知识模块】 高等数学26 【正确答案】 【知识模块】 高等数学27 【正确答案】 【知识模块】 高等数学28 【正确答案】 将 y=e2x+(1+x)ex 代入原方程得(4+2a+b)e 2x+(3+2a+b)ex+(1+a+b)xex=cex，则有 原方程为 y一 3y+2y=一 ex原方程的特征方程为 2 一3+2=0，特征值为 1=1， 2=2，则 y一 3y+2y=0 的通解为 y=C1ex+C2e2x，于是原方程的通解为 y=C1ex+C2e2x+e2x+(1+x)ex【知识模块】 高等数学
