1、考研数学一（高等数学）模拟试卷 162 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f(x)二阶连续可导，f (0)=0，且 =一 1，则( )（A）x=0 为 f(x)的极大点（B） x=0 为 f(x)的极小点（C） (0，f(0)为 y=f(x)的拐点（D）x=0 不是 f(x)的极值点，(0，f(0)也不是 y=f(x)的拐点2 设 f(x)，g(x) 在区间a，b上连续，且 g(x)f(x) m，则由曲线 y=g(z)，y=f(x)及直线 x=a，x=b 所围成的平面区域绕直线 y=m 旋转一周所得旋转体体积为( )（A） ab2m 一 f(x)
2、+g(x)f(x)一 g(x)dx（B） ab2m 一 f(x)一 g(x)f(x)一 g(x)dx（C） abm 一 f(x)+g(x)f(x)一 g(x)dx（D） abmf(x)一 g(x)f(x)一 g(x)dx3 设直线 L1： ，L 2： 则直线 L1，L 2 的夹角为( )4 级数 ( )（A）发散（B）条件收敛（C）绝对收敛（D）收敛性与 a 有关5 设 y=y(x)为微分方程 2xydx+(x2 一 1)dy=0 满足初始条件 y(0)=1 的解，则0 y(x)dx 为( )（A）一 ln3（B） ln3（C）一 ln3（D） ln36 设 f(x)在 x=a 的邻域内有定义
3、，且 f (a)与 f (a)都存在，则( )（A）f(x)在 x=a 处不连续（B） f(x)在 x=a 处连续（C） f(x)在 x=a 处可导（D）f(x)在 x=a 处连续可导二、填空题7 =_8 =_9 设连续非负函数 f(x)满足 f(x)f(-x)=1，则 =_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。10 求 11 求 12 设 f(x)=x(x 一 1)(x+2)(x 一 3)(x+100)，求 f(0)13 证明方程 lnx= 在(0 ，+) 内有且仅有两个根14 求 15 计算 3 16 设 f(x，y)= ，讨论函数 f(x，y)在点(0，0) 处的连续性与可偏
4、导性17 设 f(x，y)= ，其中 D=(x，y) ax+yb(0ab)18 设 Q(x，y)在平面 xOy 上具有一阶连续的偏导数，且 L2xydxQ(x ，y)dy 与路径无关，且对任意的 t 有 (0，0) (t，1) 2xydx+Q(x，y)dy= (0，0) (1，t) 2xydx+Q(x，y)dy，求Q(x，y)19 20 设 f(x)在0，1上有定义，且 exf(x)与 ef(x) 在0，1上单调增加证明：f(x)在0，1上连续21 设 f(x)在a，b上二阶可导，且 f(x)0，取 xia，b(i=1，2，n)及ki0(i=1，2，n)且满足 k1+k2+kn=1证明：f(k
5、 1x1+k2x2+knxn)k1f(x1)+k2f(x2)+knf(xn)21 设平面曲线 L 上一点 M 处的曲率半径为 ，曲率中心为 A，AM 为 L 在点 M 处的法线，法线上的两点 P，Q 分别位于 L 的两侧，其中 P 在 AM 上，Q 在 AM 的延长线 AN 上，若 P，Q 满足APAQ= 2，称 P，Q 关于 L 对称设 22 求点 M，使得 L 在 M 点处的法线经过点 P，并写出法线的参数方程；23 求点 P 关于 L 的对称点 Q 的坐标24 设 f(x)在0，1 上连续，且 f(1)一 f(0)=1证明： 01f2(x)dx125 设 =f(x，y，xyz)，函数 z
6、=z(x，y)由 exyz=xyzh(xyzt)dt 确定，其中 f 连续可偏导，h 连续，求 26 设 f(x)连续，F(t)= z2+f(x2+y2)d，其中 V=(x，y，z)x 2+y2t2，0zh (t0)，求 27 ，哪个级数一定收敛?28 设 y=y(x)二阶可导，且 y0，x=x(y)是 y=y(x)的反函数(1)将 x=x(y)所满足的微分方程 =0 变换为 y=y(x)所满足的微分方程；(2) 求变换后的微分方程满足初始条件 y(0)=0，y (0)= 的解考研数学一（高等数学）模拟试卷 162 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【
7、正确答案】 A【试题解析】 因为 =一 10，所以由极限保号性，存在 0，当0x 时， 0，注意到 x3=o(x)，所以当 0x 时，f (x)0，从而 f(x)在( 一 ，) 内单调递减，再由 f(0)=0 得 故 x=0 为 f(x)的极大点，应选(A)【知识模块】 高等数学2 【正确答案】 B【试题解析】 由元素法的思想，对x，x+dx a，b，d=m 一 g(x)2m 一 f(x)2dx=2m f(x)一 g(x)f(x)一 g(x)dx，则 V=abd=ab2mf(x)一g(x)f(x)g(x)dx ，选(B)【知识模块】 高等数学3 【正确答案】 C【试题解析】 s 1=1，一 2
8、，1，s 2=1，一 1，00，2，1= 一 1，一1，2，设直线 L1，L 2 的夹角为 ，则 cos= ，正确答案为(C) 【知识模块】 高等数学4 【正确答案】 C【试题解析】 【知识模块】 高等数学5 【正确答案】 D【试题解析】 【知识模块】 高等数学6 【正确答案】 B【试题解析】 因为 f (a)存在，所以 ，即 f(x)在 x=a 处右连续，同理由 f (a)存在可得 f(x)在 x=a 处左连续，故 f(x)在 x=a 处连续，选 (B)【知识模块】 高等数学二、填空题7 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学8 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学
9、9 【正确答案】 1【试题解析】 【知识模块】 高等数学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。10 【正确答案】 【知识模块】 高等数学11 【正确答案】 【知识模块】 高等数学12 【正确答案】 方法一由 f(x)=(x 一 1)(x+2)(x+100)+x(x+2)(x+100)+x(x 一1)(x 一 99)得 f(0)=(一 1)2(一 3)100=100！方法二 f(0)= (x 一 1)(x+2)(x+100)=100！【知识模块】 高等数学13 【正确答案】 【知识模块】 高等数学14 【正确答案】 【知识模块】 高等数学15 【正确答案】 【知识模块】 高等数学16
10、 【正确答案】 【知识模块】 高等数学17 【正确答案】 令 D1=(x，y)0xa，a 一 xybx，D2=(x，y) axb，0ybx，则 f(x，y)dxdy=0aex ax bx ey +abex dx0bx ey =0aex (exa exb )dx+abex (1 一 exb )dx=(a+1)(ea eb )一(b 一 a)eb 【知识模块】 高等数学18 【正确答案】 因为曲线积分与路径无关，所以 =2x，于是 Q(x，y)=x2+(y)由 (0，0) (t，1) 2xydx+Q(x，y)dy= (0，0) (1，t) 2xydx+Q(x，y)dy，得 t2+01(y)dy=t
11、+0t(y)dy，两边对 t 求导数得 1(t)=2t，(t)=2t1，所以 Q(x，y)=x 2+2y 一1【知识模块】 高等数学19 【正确答案】 (1) (2)【知识模块】 高等数学20 【正确答案】 对任意的 x00，1 ，因为 exf(x)与 ef(x) 在0 ，1上单调增加，所以当 xx 0 时，有 ，故 f(x0)f(x)ex0x f(x0)，令 xx 0 ，由夹逼定理得 f(x0 一0)=f(x0)；当 xx 0 时，有 故 ex0x f(x0)f(x)f(x0)，令 xx 0 ，由夹逼定理得f(x0+0)=f(x0)，故 f(x0 一 0)=f(x0+0)=f(x0)，即 f
12、(x)在 x=x0 处连续。由 x0 的任意性得f(x)在0，1 上连续【知识模块】 高等数学21 【正确答案】 令 x0=k1x1+k2x2+knxn，显然 x0a，b因为 f(x)0，所以f(x)f(x0)+f(x0)(x 一 x0)，分别取 x=xi(i=1，2，n)，得 由ki0(i=1，2，n)，上述各式分别乘以 ki(i=1，2，n)，得 将上述各式分别相加，得 f(x0)k1f(x1)+k2f(x2)+knf(xn)，即 f(k1x1+k2x2+knxn)k1f(x1)+k2f(x2)+knf(xn)【知识模块】 高等数学【知识模块】 高等数学22 【正确答案】 设点 M(x，y
13、)L ，则【知识模块】 高等数学23 【正确答案】 【知识模块】 高等数学24 【正确答案】 由 1=f(1)一 f(0)=01f(x)dx，得 12=1=(01f(x)dx)20112dx01f2(x)dx=01f2(x)dx，即 01f2(x)dx1【知识模块】 高等数学25 【正确答案】 【知识模块】 高等数学26 【正确答案】 F(t)= 02d0trdr0hz2f(r 2)dz=20tr hf(r 2)dr，【知识模块】 高等数学27 【正确答案】 【知识模块】 高等数学28 【正确答案】 (1) ，代入原方程得 y一 y=sinx，特征方程为 r21=0，特征根为 r1，2 =1，因为 i 不是特征值，所以设特解为 y*=acosx+bsinx，代入方程得a=0， ，于是方程的通解为 y=C1ex+C2ex 一 sinx；(2)由初始条件得C1=1，C 2=一 1，满足初始条件的特解为 y=exex 一 sinx【知识模块】 高等数学
