1、考研数学一（高等数学）模拟试卷 166 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f(x)在 x=0 的某邻域内连续，若 =2，则 f(x)在 x=0 处( )（A）不可导（B）可导但 f(0)0（C）取极大值（D）取极小值2 设 n=(一 1)n ，则( )3 设 f(x)连续可导，g(x) 连续，且 =0，又 f(x)=一 2x2+0xg(xt)dt，则( )（A）x=0 为 f(x)的极大点（B） x=0 为 f(x)的极小点（C） (0，f(0)为 y=f(x)的拐点（D）x=0 既不是 f(x)极值点，(0，f(0)也不是 y=f(x)的拐点4
2、 设 f(x)，g(x) 是连续函数，当 x0 时，f(x)与 g(x)是等价无穷小，令 F(x)=0xf(x-t)dt，G(x)= 01xg(xt)dt，则当 x0 时，F(x)是 G(x)的( )（A）高阶无穷小（B）低阶无穷小（C）同阶但非等价无穷小（D）等价无穷小二、填空题5 =_6 设 = atetdt，则 a=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。7 求 8 设 x 一(a+bcosx)sinx 为 x0 时 x 的 5 阶无穷小，求 a，b 的值9 设 f(x)二阶连续可导，且 f(0)=f(0)=0，f (0)0，设 (x)为曲线 y=f(x)在点(x，f(x)处
3、的切线在 x 轴上的截距，求 10 设 0a 1，证明：方程 arctanx=ax 在(0，+)内有且仅有一个实根11 求 12 求 13 证明： 0 sinnxcosnxdx=2n 0 sinnxdx14 设点 A(1，一 1，1) ， B(-3，2，一 1)，C(5，3，一 2)，判断三点是否共线，若不共线求过三点的平面的方程15 设 z= 16 计算 及 x 轴和 y 轴围成，其中 a0，b017 计算 I= ，其中 S 是平面 =1 在第一卦限的部分18 求幂级数 的收敛域19 求微分方程 xy+2y=ex 的通解20 设 f(x)= ，求 f(x)的间断点并指出其类型21 求由方程
4、x2+y3 一 xy=0 确定的函数在 x0 内的极值，并指出是极大值还是极小值22 设 f(x)在0，1上二阶可导，且 f(x)0证明： 01f(x2)dxf( )22 设点 A(1，0，0) ，B(0 ，1，1)，线段 AB 绕 x 轴一周所得旋转曲面为 S23 求旋转曲面的方程；24 求曲面 S 介于平面 z=0 与 z=1 之间的体积25 设函数 f(x，y，z) 一阶连续可偏导且满足 f(tx，ty，tz)=t kf(x，y，z)证明：=kf(x，y ，z)26 设 f(x)在0，1上连续且单调减少，且 f(x)0证明： 27 设 an0(n=1，2，)且 的敛散性28 细菌的增长率
5、与总数成正比，如果培养的细菌总数在 24 小时内由 100 增长到400，求前 12 小时后的细菌总数考研数学一（高等数学）模拟试卷 166 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 由 =2 得 f(0)=0，由极限保号性，存在 0，当 0x 时，0，从而 f(x)0=f(0)，由极值的定义得 f(0)为极小值，应选(D)【知识模块】 高等数学2 【正确答案】 C【试题解析】 由交错级数审敛法， an 收敛，而 n时， n2=ln2 an2 发散，选(C)【知识模块】 高等数学3 【正确答案】 C【试题解析】 由 0xg(x 一
6、 t)dt=0xg(t)dt 得 f(x)=一 2x2+0xg(f)dt，f (x)=一 4x+g(x)，因为 =一 40，所以存在 0，当 0x 时， 0，即当 x(一，0)时，f (x)0；当 x(0，)时，f (x)0，故(0，f(0)为 y=f(x)的拐点，应选(C)【知识模块】 高等数学4 【正确答案】 D【试题解析】 F(x)= 0xf(xt)dt=一 0xf(xt)d(x-t) 0xf()d，G(x)= =1，选(D)【知识模块】 高等数学二、填空题5 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学6 【正确答案】 2【试题解析】 =ea， atet= atd(et)=tet
7、 a aetdt=aeaea，由 ea=aea一 ea 得 a=2【知识模块】 高等数学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。7 【正确答案】 【知识模块】 高等数学8 【正确答案】 【知识模块】 高等数学9 【正确答案】 曲线 y=f(x)在点(x，f(x)的切线为 Y 一 f(x)=f(x)(Xx)，【知识模块】 高等数学10 【正确答案】 【知识模块】 高等数学11 【正确答案】 【知识模块】 高等数学12 【正确答案】 【知识模块】 高等数学13 【正确答案】 【知识模块】 高等数学14 【正确答案】 【知识模块】 高等数学15 【正确答案】 【知识模块】 高等数学16 【
8、正确答案】 【知识模块】 高等数学17 【正确答案】 【知识模块】 高等数学18 【正确答案】 【知识模块】 高等数学19 【正确答案】 【知识模块】 高等数学20 【正确答案】 首先 f(x)= ，其次 f(x)的间断点为 x=k(k=0，1，) ，因为=e，所以 x=0 为函数 f(x)的第一类间断点中的可去间断点，x=k(k=1，)为函数 f(x)的第二类间断点【知识模块】 高等数学21 【正确答案】 【知识模块】 高等数学22 【正确答案】 【知识模块】 高等数学【知识模块】 高等数学23 【正确答案】 ，设对任意的 M(x，y，z)S，过 M 垂直于 z 轴的截口为圆，其与直线 AB
9、 及 z 轴的交点为 M0(x0，y 0，z) ，T(0，0，z)，由MT=M 0T，得 x2+y2=x02+y02，因为 M0 在直线 AB 上，所以有 ，从而 代入x2+y2=x02+y02 中得曲面方程为 S：x 2+y2=(1 一 z)2+z2，即 S：x 2+y2=2z22z+1【知识模块】 高等数学24 【正确答案】 对任意的 z0，1，垂直于 z 轴的截口圆面积为 A(z)=(x2+y2)=(2z2 一 2z+1)于是 V=01A(z)dz= 【知识模块】 高等数学25 【正确答案】 【知识模块】 高等数学26 【正确答案】 等价于 01f2(x)dx01xf(x)dx01f(x
10、)dx01xf2(x)dx，等价于 01f2(x)dx01yf(y)dy01f(x)dx01yf2(y)dy，或者 01dx01yf(x)f(y)f(x)一 f(y)dy0 令I=01dx01yf(x)f(y)f(x)一 f(y)dy，根据对称性，I= 01dx01xf(x)f(y)f(y)一 f(x)dy，2I= 01dx01f(x)f(y)(yx)f(x)一 f(y)dy，因为 f(x)0 且单调减少，所以(yx)f(x)一 f(y)0，于是 2I0，或 I0，所以 【知识模块】 高等数学27 【正确答案】 【知识模块】 高等数学28 【正确答案】 设 t 时刻细菌总数为 S，则有 =kS，S(0)=100，S(24)=400，【知识模块】 高等数学
