1、考研数学一（高等数学）模拟试卷 171 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f(x)在0，+)上连续，在(0，+)内可导，则( )2 设级数 都发散，则( )3 设 f(x)二阶连续可导，且 =一 1，则( )（A）f(0)是 f(x)的极小值（B） f(0)是 f(x)的极大值（C） (0，f(0)是曲线 y=f(x)的拐点（D）x=0 是 f(x)的驻点但不是极值点4 设函数 f(x)连续，下列变上限积分函数中，必为偶函数的是( )（A） 0xtf(t)一 f(一 t)dt（B） 0xtf(t)+f(一 t)dt（C） 0xf(t2)dt（D）
2、 0xf2(t)dt二、填空题5 设 x0 时，ln(cosax) 一 2xb(a0)，则 a=_，b=_6 =_7 =_8 设向量场 A=2x3yzix2y2zj 一 x2yz2k，则其散度 divA 在点 M(1，1，2)沿方向l= 2， 2，一 1的方向导数 =_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。9 求 10 确定常数 a，b 的值，使得 ln(1+2x)+ =x+x2+o(x2)11 证明曲线 上任一点的切线的横截距与纵截距之和为 212 求 13 设 f(x2 一 1)=ln ，且 f(x)=lnx，求(x)dx14 设 f(t)在0，上连续，在(0，) 内可导，且
3、0f(x)cosxdx=0f(x)sinxdx=0，证明：存在 (0，) ，使得 f()=015 求过点 A(一 1，2，3) 垂直于 L： 且与平面 ：7x+8y+9z+10=0 平行的直线方程16 设 z=z(x，y)由方程 z+lnz 一 yx dt=1 确定，求 17 求 02adx0 (xy) 2dy18 设： +z2=1(z0)，点 P(x，y，z) ， 为曲面 在点 P 处的切平面，d(x，y ，z) 为点 O(0，0， 0)到平面 的距离，计算 ds19 求幂级数 xn 的和函数20 求微分方程 cosy 一 cosxsin2y=siny 的通解21 设 f(x)=a1ln(1
4、+x)+a2ln(1+2x)+anln(1+nx)，其中 a1，a 2，a n 为常数，且对一切 x 有f(x)e x 一 1证明：a 1+2a2+nan122 就 k 的不同取值情况，确定方程 x3 一 3x+k=0 根的个数23 计算 I= 23 设 =(x，y，z) 连续可偏导，令 24 若 =0，证明： 仅为 与 的函数25 若 ，证明： 仅为 r 的函数26 求二元函数 z=f(x，y)=x 2y(4 一 xy)在由 x 轴、 y 轴及 x+y=6 所围成的闭区域D 上的最小值和最大值27 设 f(x)在 x=0 的某邻域内二阶连续可导，且 =0证明：级数 绝对收敛28 质量为 1g
5、 的质点受外力作用作直线运动，外力和时间成正比，和质点的运动速度成反比，在 T=10s 时，速度等于 50cms ，外力为 392cms 2，问运动开始1min 后的速度是多少?考研数学一（高等数学）模拟试卷 171 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 【知识模块】 高等数学2 【正确答案】 D【试题解析】 因为 ( n n)为正项级数，若 ( n n)收敛，因为0 n n+ n，0 n n+ n，根据正项级数的比较审敛法知， n 都收敛，矛盾【知识模块】 高等数学3 【正确答案】 C【试题解析】 【知识模块】 高等数学4
6、【正确答案】 B【试题解析】 因为 tf(t)一 f(一 t)为偶函数，所以 0xtf(t)一 f(t)dt 为奇函数，(A)不对；因为 f(t2)为偶函数，所以 0xf(t2)dt 为奇函数，(C)不对；因为不确定 f2(t)的奇偶性，所以(D) 不对；令 F(x)=0xtf(t)+f(一 t)dt，F(一 x)=0x tf(t)+f(一 t)dt=0x(-)f()+f(一 )(一 d)=F(x)，选(B)【知识模块】 高等数学二、填空题5 【正确答案】 a=2，b=2【试题解析】 【知识模块】 高等数学6 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学7 【正确答案】 2【试题解析】
7、【知识模块】 高等数学8 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。9 【正确答案】 【知识模块】 高等数学10 【正确答案】 【知识模块】 高等数学11 【正确答案】 【知识模块】 高等数学12 【正确答案】 【知识模块】 高等数学13 【正确答案】 【知识模块】 高等数学14 【正确答案】 令 F(x)=0xf(t)sintdt，因为 F(0)=F()=0，所以存在 x1(0，)，使得 F(x1)=0，即 f(x1)sinx1=0，又因为 sinx10，所以 f(x1)=0设 x1 是 f(x)在(0，)内唯一的零点，则当 x(0，
8、 )且 xx1 时，有 sin(x 一 x1)f(x)恒正或恒负，于是0sin(xx1)f(x)dx0而 0sin(x 一 x1)f(x)dx=cosx10f(x)sinxdx-sinx10f(x)cosxdx=0，矛盾，所以 f(x)在(0，) 内至少有两个零点，不妨设 f(x1)=f(x2)=0，x 1，x 2(0，)且 x1 x2，由罗尔中值定理，存在 (x1，x 2) (0，)，使得f()=0【知识模块】 高等数学15 【正确答案】 直线 L： 的方向向量为 s=4，5，6，平面：7x+8y+9z+10=0 的法向量为 s=7，8，9，因为所求直线与已知直线垂直及与已知平面平行，所以所
9、求直线与 s=4，5，6及 n0=7，8，9都垂直，于是所求直线的方向向量为 T=sn0=一 3，6，一 3，所求直线为 【知识模块】 高等数学16 【正确答案】 当 x=0，y=0 时，z=1 【知识模块】 高等数学17 【正确答案】 【知识模块】 高等数学18 【正确答案】 【知识模块】 高等数学19 【正确答案】 【知识模块】 高等数学20 【正确答案】 【知识模块】 高等数学21 【正确答案】 =a1+2a2+nn，且 =1，根据极限保号性得a 12a 2+nan1【知识模块】 高等数学22 【正确答案】 令 f(x)=x3 一 3x+k， =+由 f(x)=3x23=0，得驻点为 x
10、1=一 1，x 2=1， f(x)=6x，由 f(一 1)=一 6，f (1)=6，得 x1=一 1，x 2=1 分别为 f(x)的极大值点和极小值点，极大值和极小值分别为 f(一 1)=2+k，f(1)=k 一 2(1)当 k一2 时，方程只有一个根；(2)当 k=一 2 时，方程有两个根，其中一个为 x=一 1，另一个位于(1 ，+)内；(3)当一 2k2 时，方程有三个根，分别位于(一，一 1)，(1， 1)，(1，+)内；(4)当 k=2 时，方程有两个根，一个位于 (一，一 1)内，另一个为 x=1； (5)当 k2 时，方程只有一个根【知识模块】 高等数学23 【正确答案】 【知识
11、模块】 高等数学【知识模块】 高等数学24 【正确答案】 所以 是不含 r 的函数，即 仅为 与 的函数【知识模块】 高等数学25 【正确答案】 【知识模块】 高等数学26 【正确答案】 (1)求 f(x，y)在区域 D 的边界上的最值，在 L1：y=0(0x6) 上，z=0；在 L2： x=0(0y6)上，z=0；在 L3：y=6 一 x(0x6)上，z=一 2x2(6 一 x)=2x312x2，由 =6x2 24x=0 得 x=4，因为 f(0，6)=0,f(6，0)=0,f(4 ，2)=一 64，所以 f(x，y)在 L3 上最小值为一 64，最大值为 0(2)在区域 D 内，由 得驻点
12、为(2，1)， ，因为 ACB20 且 A0，所以(2，1)为 f(x，y)的极大点，极大值为 f(2，1)=4，故 z=f(x， y)在 D 上的最小值为 m=f(4，2)一 64，最大值为M=f(2，1)=4【知识模块】 高等数学27 【正确答案】 由 =0，得 f(0)=0，f (0)=0，由泰勒公式得 f(x)=f(0)+f(0)x+，其中 介于 0 与 x 之间，又 f(x)在 x=0 的某邻域内连续，从而可以找到一个原点在其内部的闭区间，在此闭区间内有f (x)M，其中 M0 为 f(x)在该闭区间上的上界，所以对充分大的 n，有【知识模块】 高等数学28 【正确答案】 【知识模块】 高等数学
