1、考研数学一（高等数学）模拟试卷 175 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 若 f(一 x)=一 f(x)，且在(0，+) 内 f(x)0，f (x)0，则在(一，0)内( )（A）f (x)0，f (x)0（B） f(x)0，f (x)0（C） f(x)0，f (x)0（D）f (x)0，f (x)02 级数 ( )（A）发散（B）条件收敛（C）绝对收敛（D）敛散性不确定3 设 f(x)=0sinxsint2dt，g(x)=x 3+x4，当 x0 时，f(x)是 g(x)的( )（A）等价无穷小（B）同阶但非等价无穷小（C）高阶无穷小（D）低阶无穷小
2、4 设 k0，则函数 f(x)=lnx 一 +k 的零点个数为( )（A）0 个（B） 1 个（C） 2 个（D）3 个二、填空题5 设 f(x)= 在 x=0 处连续，则 a=_6 =_7 由 x=zeyz 确定 z=z(x，y)，则 dz (e，0) =_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。8 设 9 设 a1=1，a n1 + =0，证明：数列a n收敛，并求 an10 求曲线 y= 的上凸区间11 求 12 求 13 设 f(x)=1 x(1-t)dt(x一 1)，求曲线 y=f(x)与 x 轴所围成的平面区域的面积14 设 z=f(x，y)由方程 zyzxe zyx =
3、0 确定，求 dz15 计算 dxdy，其中 D=(x ，y) x 2+y21，x0，y016 求曲面积分 x2dydz+y2dzdx，其中是 z=x2+y2 与 z=x 围成的曲面，取下侧17 求级数 的收敛域与和函数18 求微分方程 的通解19 设 f(x)在a，b上连续，任取 xia，b(i=1，2，n)，任取ki0(i=1，2，n)，证明：存在 a，b，使得 k1f(x1)+k2f(x2)+knf(xn)=(k1+k2+kn)f()20 设 f(x)在01上连续，在 (0，1)内可导，且 0tf(t)dt=0，证明：存在 (0，1)，使得 f()=0f(t)dt21 设 f(x)连续，
4、且 f(x)=20xf(xt)dt+ex，求 f(x)22 证明：当 x0 时，f(x)= 0x(t-t2)sin2ntdt 的最大值不超过 23 设 F：x=x(t)，y=y(t)( t 是区域 D 内的光滑曲线，即 x(t)，y(t) 在(，)内有连续的导数且 x2(t)+y2(t)0，f(x，y)在 D 内有连续的偏导数若 P0 是函数f(x，y)在 上的极值点，证明：f(x ，y)在点 P0 沿 的切线方向的方向导数为零24 设 f(x，y， z)连续，为曲面 2z=x2+y2 位于 z=2 与 z=8 之间部分的上侧，计算yf(x，y，z)+xdydz+xf(x，y，z) ydzdx
5、+2xyf(x，y，z)+zdxdy25 求幂级数 x2n 的和函数25 设 f(x)的一个原函数为 F(x)，且 F(x)为方程 xy+y=ex 的满足 y(x)=1 的解26 求 F(x)关于 x 的幂级数；27 求 的和28 设 A 从原点出发，以固定速度 0 沿 y 轴正向行驶， B 从(x 0，0)出发(x 00) ，以始终指向点 A 的固定速度 1 朝 A 追去，求 B 的轨迹方程考研数学一（高等数学）模拟试卷 175 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 因为 f(x)为奇函数，所以 f(x)为偶函数，故在(一，
6、0)内有 f(x)0因为 f(x)为奇函数，所以在(一 ，0)内 f(x)0，选(C) 【知识模块】 高等数学2 【正确答案】 B【试题解析】 【知识模块】 高等数学3 【正确答案】 B【试题解析】 因为 ，所以正确答案为(B)【知识模块】 高等数学4 【正确答案】 C【试题解析】 函数 f(x)的定义域为(0 ，+) ，由 f(x)= =0 得 x=e，当 0xe 时，f(x)0；当 xe 时，f (x)0，由驻点的唯一性知 x=e 为函数 f(x)的最大值点，最大值为 f(e)=k0，又 =，于是 f(x)在(0，+)内有且仅有两个零点，选(C)【知识模块】 高等数学二、填空题5 【正确答
7、案】 e -1【试题解析】 【知识模块】 高等数学6 【正确答案】 C【试题解析】 【知识模块】 高等数学7 【正确答案】 【试题解析】 x=e，y=0 时，z=1【知识模块】 高等数学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。8 【正确答案】 【知识模块】 高等数学9 【正确答案】 先证明a n单调减少，a 2=0，a 2a 1；设 ak1 a k，a k2 = ，由 ak1 a k 得 1 一 ak1 1 一 ak，【知识模块】 高等数学10 【正确答案】 【知识模块】 高等数学11 【正确答案】 【知识模块】 高等数学12 【正确答案】 【知识模块】 高等数学13 【正确答案】
8、【知识模块】 高等数学14 【正确答案】 对 zyx+xezyx =0 两边求微分，得 dz 一 dy 一dx+ezyx dx+xezyx (dzdydx)=0，解得 dz= dxdy【知识模块】 高等数学15 【正确答案】 由极坐标法得【知识模块】 高等数学16 【正确答案】 【知识模块】 高等数学17 【正确答案】 【知识模块】 高等数学18 【正确答案】 【知识模块】 高等数学19 【正确答案】 因为 f(x)在a ，b上连续，所以 f(x)在a，b上取到最小值 m 和最大值 M，显然有 mf(xi)M(i=1，2，n)，注意到 ki0(i=1，2，n)，所以有 kimkif(xi)ki
9、M(i=1，2 ，n) ，同向不等式相加，得(k 1+k2+kn)mk1f(x1)+k2f(x2)+knf(xn)(k1+k2+kn)M，即 m M，由介值定理，存在 a，b，使得 f()= ，即 k1f(x1)+k2f(x2)+knf(xn)=(k1+k2+kn)f()【知识模块】 高等数学20 【正确答案】 令 (x)=ex 0xf(t)dt， 因为 (0)=(1)=0，所以存在 (0，1)，使得 ()=0， 而 (x)=ex f(x)一 0xf(t)dt且 ex 0，故 f()=0f(t)dt【知识模块】 高等数学21 【正确答案】 0xf(xt)dt f()(一 d)=0xf()d，f
10、(x)=2 0xf()de x 两边求导数得 f(x)一 2f(x)=ex，则 f(x)= =Ce2x 一 ex，因为 f(0)=1，所以 C=2，故 f(x)=2e2x 一 ex【知识模块】 高等数学22 【正确答案】 当 x0 时，令 f(x)=(xx2)sin2nx=0 得 x=1，x=k(k=1，2，)，当 0x1 时，f (x)0；当 x1 时，f (x)0(除 x=k(k=1，2，)外 f(x)0)于是 x=1 为 f(x)的最大值点，f(x)的最大值为 f(1)，因为当 x0 时，sinxx，所以当x0，1时，(x x2)sin2nx(xx2)x2n=x2n1 一 x2n2 ，于是 f(x)f(1)=01(x-x2)sin2nxdx01(x2n1 x 2n2 )dx= 【知识模块】 高等数学23 【正确答案】 【知识模块】 高等数学24 【正确答案】 曲面 2z=x2+y2 上任一点(x，y，z)指向上侧的法向量为 n=一 x，一 y，1，法向量的方向余弦为【知识模块】 高等数学25 【正确答案】 级数 的收敛半径为 R=+，收敛区间为(一，+)【知识模块】 高等数学【知识模块】 高等数学26 【正确答案】 【知识模块】 高等数学27 【正确答案】 【知识模块】 高等数学28 【正确答案】 【知识模块】 高等数学
