1、考研数学一（高等数学）模拟试卷 176 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f(x)，g(x)(axb) 为大于零的可导函数，且 f(x)g(x)一 f(x)g(x)0，则当axb 时，有 ( )（A）f(x)g(b) f(b)g(x)（B） f(x)g(a)f(a)g(x)（C） f(x)g(x)f(b)g(b)（D）f(x)g(x) f(a)g(a)2 设 k0，且级数 ( )（A）发散（B）条件收敛（C）绝对收敛（D）敛散性与 k 的取值有关3 设 f(x)=0xdt0ttln(1+2)d，g(x)= 0sinx2(1 一 cost)dt，则
2、当 x0 时，f(x)是 g(x)的( )（A）低阶无穷小（B）高阶无穷小（C）等价无穷小（D）同阶但非等价的无穷小4 设函数 f(x)在(一，+)内连续，其导数的图形如图，则 f(x)有( )（A）两个极大点，两个极小点，一个拐点（B）两个极大点，两个极小点，两个拐点（C）三个极大点，两个极小点，两个拐点（D）两个极大点，三个极小点，两个拐点二、填空题5 设 f(x)连续可导，f(0)=0 且 f(0)=b，若 F(x)= 在 x=0 处连续，则A=_6 =_7 =_8 设两曲线 y=x2ax b 与2y=lxy 3 在点(一 1，1)处相切，则a=_，b=_三、解答题解答应写出文字说明、证
3、明过程或演算步骤。9 求 10 设 x1=2， xn1 =2+ ，求 xn11 设 =0xcos(xt)2dt 确定 y 为 x 的函数，求 12 求 13 求 arcsinxdx14 设 C1，C 2 是任意两条过原点的曲线，曲线 C 介于 C1，C 2 之间，如果过 C 上任意一点 P 引平行于 x 轴和 y 轴的直线，得两块阴影所示区域 A，B 有相等的面积，设 C 的方程是 y=x2，C 1 的方程是 y= x2，求曲线 C2 的方程15 设 =f(x，y，z)有连续的偏导数，y=y(x)，z=z(x) 分别由方程 exy 一 y=0 与 ez 一xz=0 确定，求 16 计算 (x2
4、+y2)dxdy，其中 D=(x，y)x 2+y24x，0yx17 计算 I= (x+3z2)dydz(x 3z2yz)dzdx 一 3y2dxdy，其中为 z=2 在 z=0上方部分的下侧18 求幂级数 的和函数 S(x)及其极值19 求微分方程 的通解20 设 f(x)在0，2上三阶连续可导，且 f(0)=1，f (1)=0，f(2)= 证明：存在(0， 2)，使得 f()=221 求 22 设 f(x)在a，b上连续，且对任意的 t0，1 及任意的 x1，x 2a，b满足：ftx1+(1 一 t)x2tf(x1)+(1 一 t)f(x2)证明： 23 已知二元函数 f(x，y)满足 且
5、f(x，y)=g(，)，若 =2+2，求 a，b24 设 f(x，y)dx+xcosydy=t 2，f(x，y)有一阶连续偏导数，求 f(x，y)25 求幂级数 的和函数25 设 f(x)= xn，且 a0=1，a n1 =an+n(n=01，2，)26 求 f(x)满足的微分方程；27 求 28 飞机在机场开始滑行着陆，在着陆时刻已失去垂直速度，水平速度为 0(ms)，飞机与地面的摩擦系数为 ，且飞机运动时所受空气的阻力与速度的平方成正比，在水平方向的比例系数为 kx(kgs2m 2)，在垂直方向的比例系数为 ky(kgs2m 2)，设飞机的质量为 m(kg)，求飞机从着陆到停止所需要的时间
6、考研数学一（高等数学）模拟试卷 176 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】 由 f(x)g(x)f(x)g (x)0 得 ，从【知识模块】 高等数学2 【正确答案】 C【试题解析】 【知识模块】 高等数学3 【正确答案】 A【试题解析】 【知识模块】 高等数学4 【正确答案】 C【试题解析】 设当 x0 时，f (x)与 x 轴的两个交点为(x 1，0)，(x 2，0)，其中x1x 2；当 x0 时，f (x)与 x 轴的两个交点为(x 3，0)，(x 4，0)，其中 x3x 4，当xx 1 时，f (x)0，当 x(x1，
7、x 2)时，f (x)0，则 x=x1 为 f(x)的极大点；当x(x2，0)时，f (x)0，则 x=x2 为 f(x)的极小点；当 x(0，x 3)时，f (x)0，则 x=0为 f(x)的极大点；当 x(x3，x 4)时，f (x)0，则 x=x3 为 f(x)的极小点；当 xx 4 时，f(x)0，则 x=x4 为 f(x)的极大点，即 f(x)有三个极大点，两个极小点，又 f(x)有两个零点，根据一阶导数在两个零点两侧的增减性可得，y=f(x)有两个拐点，选(C)【知识模块】 高等数学二、填空题5 【正确答案】 A=ab【试题解析】 【知识模块】 高等数学6 【正确答案】 C【试题解
8、析】 【知识模块】 高等数学7 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学8 【正确答案】 a=3，b=3【试题解析】 因为两曲线过点(一 1，1)，所以 b 一 a=0，又由 y=x2+ax+b 得=a2，再由一 2y=一 1+xy3 得 ，且两曲线在点(一 1，1)处相切，则 a 一2=1，解得 a=b=3【知识模块】 高等数学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。9 【正确答案】 【知识模块】 高等数学10 【正确答案】 【知识模块】 高等数学11 【正确答案】 0xcos(x t)2dt x0cos2(d)= 0xcot2dt，【知识模块】 高等数学12 【正确答案
9、】 【知识模块】 高等数学13 【正确答案】 【知识模块】 高等数学14 【正确答案】 【知识模块】 高等数学15 【正确答案】 【知识模块】 高等数学16 【正确答案】 【知识模块】 高等数学17 【正确答案】 令 0：z=0(x 2+y24)取上侧，则 I= (x+3z2)dydz+(x3z2+yz)dzdx3y 2dxdy 由高斯公式得 所以原式=8 【知识模块】 高等数学18 【正确答案】 【知识模块】 高等数学19 【正确答案】 令 x+y=，则 ，于是有 =dx 两边积分得 一arctan=x+C，所以原方程的通解为 yarctan(x+y)=C【知识模块】 高等数学20 【正确答
10、案】 方法一 先作一个函数 P(x)=ax3+bx2+cx+d使得 P(0)=f(0)=1，P (1)=f(1)=0，P(2)=f(2)= ， P(1)=f(1)，则 P(x)= ，令 g(x)=f(x)一 P(x)，则 g(x)在0，2上三阶可导，且 g(0)=g(1)=g(2)=0，所以存在 c1(0，1)，c 2(1，2)，使得g(c1)=g(1)=g(c2)=0，又存在 d1(c1，1)，d 2(1，c 2)使得 g(d1)=g(d2)=0，再由罗尔定理，存在 (d1，d 2) (0，2)，使得 g()=0，而 g(x)=f(x)一 2，所以 f()=2方法二 由泰勒公式，得【知识模块
11、】 高等数学21 【正确答案】 【知识模块】 高等数学22 【正确答案】 【知识模块】 高等数学23 【正确答案】 【知识模块】 高等数学24 【正确答案】 因为曲线积分与路径无关，所以有 cosy=fy(x，y)，则 f(x，y)=siny+C(x)，而 =t2，两边对 t 求导数得 C(t)=2tsint2 一 2t2cost2，于是 f(x，y)=siny+2xsinx2 一 2x2cosx2【知识模块】 高等数学25 【正确答案】 显然该幂级数的收敛区间为一 1，1，【知识模块】 高等数学【知识模块】 高等数学26 【正确答案】 【知识模块】 高等数学27 【正确答案】 【知识模块】 高等数学28 【正确答案】 水平方向的空气阻力 Rx=kx2，垂直方向的空气阻力 Ry=ky2，摩擦力为 W=(mg-Ry)，由牛顿第二定律，有【知识模块】 高等数学
