1、考研数学一（高等数学）模拟试卷 177 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 若 f(x)在 x=0 的某邻域内二阶连续可导， =1，则下列正确的是( )（A）x=0 是 f(x)的零点 （B） (0，f(0)是 y=f(x)的拐点（C） x=0 是 f(x)的极大点（D）x=0 是 f(x)的极小点2 设幂级数 bnxn 的收敛半径分别为 R1，R 2，且 R1R 2，设 (anb n)xn 的收敛半径为 R0，则有( )（A）R 0=R2（B） R0=R1（C） R0R 2（D）R 0R 23 设a n与 bn为两个数列，下列说法正确的是( )（A）
2、若a n与b n都发散，则a nbn一定发散（B）若 an与b n都无界，则a nbn一定无界（C）若 an无界且 anbn=0，则 bn=0（D）若 an 为无穷大，且 anbn=0，则 bn 一定是无穷小二、填空题4 设 f(x)可导且 =2，又 g(x)= 在 x=0 处连续，则 a=_5 =_6 设 =_7 设函数 y= =_8 设 f()连续，则 0xd1f(2 2)d=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。9 求 10 设 a1=1，a 2=2，3a n2 4n1 +an=0，n=1 ，2， ，求 an10 设 f(x)在a，b上有定义，M0 且对任意的 x，ya，b
3、，有f(x)一 f(y)M xy k11 证明：当 k0 时，f(x)在a ，b上连续；12 证明：当 k1 时，f(x)常数13 设 f(x)在1，2上连续，在 (1，2)内可导，且 f(x)0，证明：存在， (1，2)，使得 14 求 15 求 16 设曲线 y=a+xx3，其中 a0，当 x0 时，该曲线在 x 轴下方与 y 轴、x 轴所围成图形的面积和在 x 轴上方与 x 轴所围成图形的面积相等，求 a17 设 z=f(x，y)由 f(x+y， xy)=x2 一 y2 一 xy 确定，求 dz18 dxdydz，其中 为曲面 所围成的立体19 计算曲面积分 x3dydz+y3dzdx(
4、z 31)dxdy，其中为 x2+y2+z2=a2(z0)部分的上侧20 验证 y=x+ 满足微分方程(1 一 x)y+y=1+x；21 设 y=ex 为微分方程：xy +P(x)y=x 的解，求此微分方程满足初始条件 y(ln2)=0 的特解22 设 y= ，求 y23 设 f(x)是在a，b上连续且严格单调的函数，在(a，b)内可导，且 f(a)=ab=f(b)证明：存在 i(a，b)(i=1，2，n) ，使得 =124 计算 0a 25 设 f(x)Ca，b，在(a ，b)内二阶可导，且 f(x)0，(x)是区间a，b上的非负连续函数，且 ab(x)dx=1 证明： abf(x)(x)d
5、xfabx(x)dx26 设 L 为曲线x+y =1 的逆时针方向，计算 26 设函数 f0(x)在(一，+)内连续，f n(x)=0xfn1 (t)dt(n=1，2，)27 证明：f n(x)= 0xf0(t)(x-t)n1 dt(n=1，2，)；28 证明： fn(x)绝对收敛考研数学一（高等数学）模拟试卷 177 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 【知识模块】 高等数学2 【正确答案】 B【试题解析】 选(B)【知识模块】 高等数学3 【正确答案】 D【试题解析】 (A) 不对，如 an=2+(一 1)n，b n=2
6、 一(一 1)n，显然a n与b n都发散，但 anbn=3，显然a nbn收敛；(B)、(C)都不对，如 an=n1+(一 1)n，bn=n1 一(一 1)n，显然a n与b n都无界，但 anbn=0，显然a nbn有届且bn0；正确答案为(D)【知识模块】 高等数学二、填空题4 【正确答案】 3【试题解析】 【知识模块】 高等数学5 【正确答案】 C【试题解析】 【知识模块】 高等数学6 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学7 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学8 【正确答案】 -xf(x 2-1)【试题解析】 【知识模块】 高等数学三、解答题解答应写出文字
7、说明、证明过程或演算步骤。9 【正确答案】 【知识模块】 高等数学10 【正确答案】 由 3an 24an1 +an=0，得 3(an2 一 an1 )一 an(n=1，2，)令bn=an1 一 an，则 bn1 b n=13(n=1，2，)，【知识模块】 高等数学【知识模块】 高等数学11 【正确答案】 对任意的 x0a，b，由已知条件得 0f(x) 一 f(x0)M x 一x0 k， f(x)=f(x0)，再由 x0 的任意性得 f(x)在a，b上连续【知识模块】 高等数学12 【正确答案】 对任意的 x0a，b，因为 k1，所以 0 Mxx 0 k1 ，由夹逼定理得 f(x0)=0，因为
8、 x0 是任意一点，所以 f(x)0，故 f(x)常数【知识模块】 高等数学13 【正确答案】 【知识模块】 高等数学14 【正确答案】 【知识模块】 高等数学15 【正确答案】 【知识模块】 高等数学16 【正确答案】 设曲线 y=a+xx3 与 x 轴正半轴的交点横坐标为 ，( ) ，由条件得 0(a+x 一 x3)dx=(a+xx3)dx，移项得 0(a+xx 3)dx+(a+xx 3)dx=0(a+xx 3)dx=0 (4a2 3)=0，因为 0，所以 4a+2 一 3=0，又因为( ， 0)为曲线 y=a+xx3 与 x 轴的交点，所以有 a+ 一 3=0，从而有 【知识模块】 高等
9、数学17 【正确答案】 【知识模块】 高等数学18 【正确答案】 【知识模块】 高等数学19 【正确答案】 补充 0：z=0(x 2+y2a2)下侧，【知识模块】 高等数学20 【正确答案】 【知识模块】 高等数学21 【正确答案】 把 y=ex 代入微分方程 xy+P(x)y=x，得 P(x)=xex 一 x，原方程化为【知识模块】 高等数学22 【正确答案】 当x1 时，y = ；当 x 1 时，y =1；当 x一 1 时，y =一 1；【知识模块】 高等数学23 【正确答案】 令 h= ，因为 f(x)在a，b上连续且单调增加，且 f(a)=ab=f(b)，所以 f(a)=aa+h a+
10、(n-1)hb=f(b)，由端点介值定理和函数单调性存在 a c1c 2 n1 b，使得 f(c1)=a+h，f(c 2)=a+2h，f(c n1 )=a+(n一 1)h，再由微分中值定理，得 f(c1)一 f(a)=f(1)(c1 一 a)， 1(a，c 1)，f(c 2)一 f(c1)=f(2)(c2 一 c1)， 1(c1，c 2)，f(b) 一 f(cn1 )=f(n)(b 一 cn1 )， n(cn1 ，b)，从而有 =1【知识模块】 高等数学24 【正确答案】 【知识模块】 高等数学25 【正确答案】 因为 f(x)0，所以有 f(x)f(x0)+f(x0)(xx0)，取 x0=a
11、bx(x)dx，因为 (x)0，所以 a(x)x(x)b(x)，又 ab(x)dx=1，于是有 aabx(x)dx=x0b把x0=abx(x)dx,代入 f(x)f(x0)+f(x0)(xx0)中，再由 (x)0，得 f(x)(x)f(x0)(x)+f(x0)x(x)一 x0(x)，上述不等式两边再在区间a，b上积分，得 abf(x)(x)dxfabx(x)dx【知识模块】 高等数学26 【正确答案】 【知识模块】 高等数学【知识模块】 高等数学27 【正确答案】 n=1 时，f 1(x)=0xf0(t)dt，等式成立；设 n=k 时，f k(x)= 0xf0(t)(xt)k1 dt，则 n=k+1 时，【知识模块】 高等数学28 【正确答案】 对任意的 x(一 ，+) ，f 0(t)在0，x或x，0上连续，于是存在M0(M 与 x 有关)，使得f 0(t)M(t 0，x或 tx，0)，于是【知识模块】 高等数学
