1、考研数学一（高等数学）模拟试卷 178 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f(x)在 x=0 的邻域内有定义，且 f(0)=0，则 f(x)在 x=0 处可导的充分必要条件是( )2 设 的收敛半径为( ) 3 设 f(x)= 在(一，+)内连续，且 f(x)=0，则 ( )（A）a0， b0（B） a0，b0（C） a0，b0（D）a0 ，b0二、填空题4 设 f(x)= 在 x=0 处连续，则 a=_5 =_6 设 z=f(x，y)=x 2 =_7 设 f(x)在 x=1 处一阶连续可导，且 f(1)=一 2，则 =_8 设 f(x，y)在区
2、域 D：x 2+y2t2 上连续且 f(0，0)=4，则 =_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。9 求 10 求 dx10 设 f(x)二阶可导，f(0)=0，令 g(x)=11 求 g(x)；12 讨论 g(x)在 x=0 处的连续性13 求常数 a， b 使得 在 x=0 处可导14 求 15 设 f(x)= 16 求曲线 y=x2 一 2x、y=0、x=1、x=3 所围成区域的面积 S，并求该区域绕 y 轴旋转一周所得旋转体的体积 V17 设 y=f(x， t)，其中 t 是由 G(x，y，t)=0 确定的 x，y 的函数，且 f(x，t) ，G(x，y ，t) 一阶连续
3、可偏导，求 18 计算 (x2+y2)dxdydz，其中 是由 x2+y2=z2 与 z=a(a0)所围成的区域19 设是球面 x2+y2+z2=4(z0)的外侧，计算 yzdzdx2dxdy20 求级数 y=x+ 的和函数21 设 f(x)=ex0x(xt)f(t)dt，其中 f(x)连续，求 f(x)22 设 x=x(t)由 23 设函数 y=f(x)二阶可导，f (x)0，且与 x=(y)互为反函数，求 (y)24 25 令 f(x)=xx，求极限 26 位于点(0 ，1) 的质点 A 对质点 M 的引力大小为 (其中常数 k0，且r=AM) ，质点 M 沿曲线 L：y= 自点 B(2，
4、0) 到点(0，0)，求质点 A 对质点M 所做的功26 设 f(x)是连续函数。27 求初值问题 的解，其中 a0；28 若f(x)k，证明：当 x0 时，有y(x) (eax 一 1)考研数学一（高等数学）模拟试卷 178 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 【知识模块】 高等数学2 【正确答案】 D【试题解析】 【知识模块】 高等数学3 【正确答案】 C【试题解析】 因为 f(x)= 在(一 ，+) 内连续，所以 a0，又因为 f(x)=0，所以 b0，选 (C)【知识模块】 高等数学二、填空题4 【正确答案】 【试题
5、解析】 【知识模块】 高等数学5 【正确答案】 C【试题解析】 【知识模块】 高等数学6 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学7 【正确答案】 1【试题解析】 【知识模块】 高等数学8 【正确答案】 8【试题解析】 【知识模块】 高等数学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。9 【正确答案】 【知识模块】 高等数学10 【正确答案】 【知识模块】 高等数学【知识模块】 高等数学11 【正确答案】 【知识模块】 高等数学12 【正确答案】 【知识模块】 高等数学13 【正确答案】 因为 f(x)在 x=0 处可导，所以 f(x)在 x=0 处连续，从而有 f(0+0)=
6、2a=f(0)=f(00)=3b，【知识模块】 高等数学14 【正确答案】 【知识模块】 高等数学15 【正确答案】 【知识模块】 高等数学16 【正确答案】 区域面积为 S=13f(x) dx= 12(2x-x2)dx+23(x2 一 2x)dx= =2； Vy=213xf(x) dx=2( 12x2xx 2)dx 23x(x22x)dx)= =9【知识模块】 高等数学17 【正确答案】 将 y=f(x，t)与 G(x，y，t)=0 两边对 x 求导得 解得 【知识模块】 高等数学18 【正确答案】 =(x， y，z) x 2+y2z2，0xa，则【知识模块】 高等数学19 【正确答案】 【
7、知识模块】 高等数学20 【正确答案】 【知识模块】 高等数学21 【正确答案】 由 f(x)=ex0x(xt)f(t)dt，得 f(x)=exx0xf(t)dt+0xtf(t)dt，两边对x 求导，得 f(x)=ex 一 0xf(t)dt，两边再对 x 求导得 f(x)+f(x)=ex，其通解为 f(x)=【知识模块】 高等数学22 【正确答案】 【知识模块】 高等数学23 【正确答案】 因为函数的一阶导数与其反函数的一阶导数互为倒数，所以 =，于是 (y)= 【知识模块】 高等数学24 【正确答案】 【知识模块】 高等数学25 【正确答案】 因为x+m=x+m( 其中 m 为整数)，所以
8、f(x)=xx是以 1 为周期的函数，又xx，故 f(x)0，且 f(x)在0，1上的表达式为 f(x)= ，对充分大的 x，存在自然数 n，使得 nxn+1，则 0nf(x)dx0xf(x)dx0n1 dx，【知识模块】 高等数学26 【正确答案】 【知识模块】 高等数学【知识模块】 高等数学27 【正确答案】 y +ay=f(x)的通解为 y=0xf(t)eatdt+Ceax ，由 y(0)=0 得 C=0，所以y=eax 0xf(t)eatdt【知识模块】 高等数学28 【正确答案】 当 x0 时，y=e ax 0xf(t)eatdte ax 0xf(t)e atdtkeax 0xeatdt= eax (eax 一 1)，因为 eax 1，所以y (eax 一 1)【知识模块】 高等数学
