1、考研数学一（高等数学）模拟试卷 179 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f(x)在( 一，) 上有定义，x 00 为函数 f(x)的极大值点，则( )（A）x 0 为 f(x)的驻点（B）一 x0 为一 f(一 x)的极小值点（C）一 x0 为一 f(x)的极小值点（D）对一切的 x 有 f(x)f(x0)2 设 an(x 一 1)n 在 x=1 处收敛，则此级数在 x=2 处( )（A）条件收敛（B）绝对收敛（C）发散（D）敛散性不确定3 设 (xa)，则 等于( )（A）e（B） e2（C） 1（D）二、填空题4 当 x0 时，e x 为
2、x 的三阶无穷小，则 a=_，b=_5 =_6 设 f(x，y)满足 =2，f(x，0)=1，f y(x，0)=x ，则 f(x，y)=_7 设 f(x)=x2 ,则 f(x)=_8 设 f(x)连续，则 =_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。9 求 10 设 f(x)= sinx，求 f(x)的间断点及其分类11 设 f(x)= ，验证 f(x)在0，2 上满足拉格朗日中值定理的条件，并求(0，2)内使得 f(2)一 f(0)=2f()成立的 11 设 f(x)在a，b上连续，在(a，b) 内可导，且 f(a)=f(b)=0，证明：12 存在 (a，b) ，使得 f()=2f
3、()13 存在 (a，b)，使得 f()+f()=014 设 f(x)=sin3x xf(x)dx，求 0f(x)dx15 当 x0 时，f(x)=x ，设 g(x)= ，当 x0 时，求 0xf(t)g(xt)dt16 设平面图形 D 由 x2+y22x 与 yx 围成，求图形 D 绕直线 x=2 旋转一周所成的旋转体的体积17 设 18 计算 (x2+y2)dxdydz，其中 是由曲线 绕 z 轴一周所成的曲面介于 z=2与 z=8 之间的几何体19 计算曲面积分 (x2+y2)dzdx+zdxdy，其中 S 为锥面 z= (0z1)第一卦限的部分，方向取下侧20 将 f(x)=arcta
4、nx 展开成 x 的幂级数21 设 f(x)在( 一 1，+)内连续且 f(x) 0xtf(t)dt=1(x一 1)，求 f(x)22 设 x3 一 3xy+y3=3 确定 y 为 x 的函数，求函数 y=y(x)的极值点23 设 f(x)在 x=x0 的邻域内连续，在 x=x0 的去心邻域内可导，且 f(x)=M证明：f(x0)=M24 25 为清除井底污泥，用缆绳将抓斗放入井底，抓起污泥提出井口，设井深 30m，抓斗自重 400N，缆绳每米重 50N，抓斗盛污泥 2000N，提升速度为 3ms，在提升过程中，污泥以 20Ns 的速度从抓斗中漏掉现将抓斗从井底提升到井口，问克服重力做功多少?
5、26 在变力 F=yz，xz，xy的作用下，质点由原点沿直线运动到椭球面 上第一卦限的点 M(，)，问 ， 取何值时，F 所做的功最大? 求最大的功26 设函数 f(x)在0，+)内可导，f(0)=1，且 f(x)+f(x)一 0xf(t)dt=027 求 f(x)；28 证明：当 x0 时，e x f(x)1考研数学一（高等数学）模拟试卷 179 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 因为 y=f(一 x)的图像与 y=f(x)的图像关于 y 轴对称，所以一 x0 为f(一 x)的极大值点，从而一 x0 为一 f(一 x)的
6、极小值点，选(B) 【知识模块】 高等数学2 【正确答案】 B【试题解析】 【知识模块】 高等数学3 【正确答案】 D【试题解析】 【知识模块】 高等数学二、填空题4 【正确答案】 【试题解析】 e x=1x o(x 3)， =1bxb 2x2b 3x3o(x 3)得=(1ax)1 bxb 2x2b 3x3o(x 3)=1(ab)x(b 2ab)x 2(ab 2b 3)x3o(x 3)，【知识模块】 高等数学5 【正确答案】 C【试题解析】 【知识模块】 高等数学6 【正确答案】 y 2+xy+1【试题解析】 因为 f(x，0)=1，所以 2(x)=1，故 f(x，y)=y 2+xy+1【知识
7、模块】 高等数学7 【正确答案】 f (x)=2xe8x+8x2e8x=2x(1+4x)e8x【试题解析】 f(x)=2xe8x+8x2e8x=2x(1+4x)e8x【知识模块】 高等数学8 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。9 【正确答案】 【知识模块】 高等数学10 【正确答案】 x=0 即 x=1 为 f(x)的间断点【知识模块】 高等数学11 【正确答案】 由 f(1 一 0)=f(1)=f(1+0)=1 得 f(x)在 x=1 处连续，从而 f(x)在0，2上连续【知识模块】 高等数学【知识模块】 高等数学12 【正确
8、答案】 令 (x)=ex2 f(x)，因为 f(a)=f(b)=0，所以 (a)=(b)=0， 由罗尔定理，存在 (a，b) ，使得 ()=0， 而 (x)=ex2 f(x)一 2xf(x)且 ex2 0，故 f()=2f()【知识模块】 高等数学13 【正确答案】 令 (x)=xf(x)，因为 f(a)=f(b)=0，所以 (a)=(b)=0， 由罗尔定理，存在 (a，b)，使得 ()=0， 而 (x)=xf(x)+f(x)，故 f()+f()=0【知识模块】 高等数学14 【正确答案】 令 xf(x)dx=A，则 f(x)=sin3x+A，xf(x)=xsin 3x+Ax 两边积分得 xf
9、(x)dx= sin3xdx+ Axdx，即 A= sin3xdx=20xsin3xdx=0sin3xdx【知识模块】 高等数学15 【正确答案】 【知识模块】 高等数学16 【正确答案】 【知识模块】 高等数学17 【正确答案】 【知识模块】 高等数学18 【正确答案】 曲线 绕 x 轴一周所成的曲面为 z= (x2+y2)，则=(x，y，z)(x，y)D z，2z8，其中 Dz：x 2+y22z，于是【知识模块】 高等数学19 【正确答案】 将曲面 S 向 xOz 面投影得 Dxz=(x，y)0x1，xz1，【知识模块】 高等数学20 【正确答案】 【知识模块】 高等数学21 【正确答案】
10、 【知识模块】 高等数学22 【正确答案】 x 3 一 3xy+y3=3 两边对 x 求导得【知识模块】 高等数学23 【正确答案】 由微分中值定理得 f(x)一 f(x0)=f()(xx0)，其中 介于 x0 与 x 之间，则 =M，即 f(x0)=M【知识模块】 高等数学24 【正确答案】 【知识模块】 高等数学25 【正确答案】 设拉力对空斗所做的功为 W1，则 W1=40030=12000(J)设拉力对绳所做的功为 W2，任取 x，x+dx 0，30，dW 2=50(30 一 x)dx，则W2=030dW2=22500(J)设拉力对污泥做功为 W3，任取T，t+dt 0，10， dW3
11、=(200020t)3dt，则 W3=010dW3=57000(J)，拉力克服重力所做的功为W=W1+W2W 3=91500(J)【知识模块】 高等数学26 【正确答案】 设原点 O 到点 M(，)的直线为 L，L 的参数方程为【知识模块】 高等数学【知识模块】 高等数学27 【正确答案】 (x+1)f (x)(x1)f(x) 0xf(t)dt=0，两边求导得(x1)f (x)=(x2)f (x) 再由 f(0)=1，f (0)f(0)=0 ，得 f(0)=一 1，所以 C=一 1，于是f(x)= 【知识模块】 高等数学28 【正确答案】 当 x0 时，因为 f(x)0 且 f(0)=1，所以 f(x)f(0)=1令 g(x)=f(x)一 ex ，g(0)=0，g (x)=f(x)+ex = ex 0，【知识模块】 高等数学
