1、考研数学一（高等数学）模拟试卷 17 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设三阶常系数齐次线性微分方程有特解 y1=ex，y 2=2xex，y 3=3e-x，则该微分方程为( )2 设 1(x)， 2(x)为一阶非齐次线性微分方程 y+P(x)y=Q(x)的两个线性无关的特解，则该方程的通解为( ) （A）C 1(x)+2(x)（B） C1(x)一 2(x)（C） C1(x)一 2(x)+2(x)（D） 1(x)一 2(x)+C2(x)3 微分方程 y“一 4y=e2x+x 的特解形式为( )（A）ae 2x+bx+c（B） ax2e2x+bx+c（C
2、） axe2x+bx2+cx（D）axe 2x+bx+c4 微分方程 y“一 4y=x+2 的通解为( )二、填空题5 微分方程 y+ytanx=cosx 的通解为_6 设 f(x)在0，+)上非负连续，且 ，则 f(x)=_7 设 Y=y(x)可导， y(0)=2，令 y=y(x+x)一 y(x)，且 ，其中 a 是当x0 时的无穷小量，则 y(x)=_8 9 微分方程 y2dx+(x2 一 xy)dy=0 的通解为_10 连续函数 f(x)满足 ，则 f(x)=_11 微分方程(2x+3)y“=4y的通解为_12 yy“=1+y2 满足初始条件 y(0)=1，y(0)=0 的解为_13 设
3、 y=y(x)过原点，在原点处的切线平行于直线 y=2x+1，又 y=y(x)满足微分方程y“一 6y+9y=e3x，则 y(x)=_14 微分方程 2y“=3y2 满足初始条件 y(-2)=1，y(一 2)=1 的特解为_15 微分方程 的通解为_16 设二阶常系数非齐次线性微分方程 y“+y+qy=Q(x)有特解 y=3e-4x+x2+3x+2，则Q(x)=_，该微分方程的通解为_17 以 y=C1e-2x+C2ex+cosx 为通解的二阶常系数非齐次线性微分方程为_。18 设 y“一 3y+ay=一 5e-x 的特解形式为 Axe-x，则其通解为 _19 设 f(x)连续，且 ，则 f(
4、x)=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。20 21 求微分方程 xy“+2y=ex 的通解22 23 求微分方程 的满足初始条件 y(1)=0 的解24 求微分方程(yx 3)dx 一 2xdy=0 的通解25 求微分方程 y2dx+(2xy+y2)dy=0 的通解26 求微分方程 的通解27 求微分方程 满足初始条件 y(e)=2e 的特解28 求微分方程 x2y+xy=y2 满足初始条件 y(1)=1 的特解29 求微分方程(xy 2+y 一 1)dx+(x2y+x+2)dy=0 的通解30 31 求微分方程 的通解32 设 y=ex 为微分方程 xy+P(x)y=x 的
5、解，求此微分方程满足初始条件 y(1n2)=0 的特解33 34 用变量代换 x=Int 将方程 化为 y 关于 t 的方程，并求原方程的通解35 设当 x0 时，f(x)满足 ，求 f(x)36 求满足初始条件 y“+2x(y)2=0，y(0)=1 ，y(0)=1 的特解37 求微分方程 yy“=y2 满足初始条件 y(0)=y(0)=1 的特解38 一条曲线经过点(2，0)，且在切点与 y 轴之间的切线长为 2，求该曲线39 设曲线 L1 与 L2 皆过点(1，1) ，曲线 L1 在点(x，y)处纵坐标与横坐标之商的变化率为 2，曲线 L2 在点(x ， y)处纵坐标与横坐标之积的变化率为
6、 2，求两曲线所围成区域的面积40 用变量代换 x=sint 将方程 化为 y 关于 t 的方程，并求微分方程的通解41 设二阶常系数齐次线性微分方程以 y1=e2x，y 2=2e-x 一 3e2x 为特解，求该微分方程42 求微分方程 y“+2y一 3y=(2x+1)ex 的通解43 求 y“一 2y一 e2x=0 满足初始条件 y(0)=1，y(0)=1 的特解44 求微分方程 y“+4y+4y=eax 的通解45 求微分方程 y“+y=x2+3+cosx 的通解46 求微分方程 x3y“+2x2y“一 xy+y=0 的通解47 求微分方程 x2y“一 2xy+2y=2x 一 1 的通解4
7、8 设单位质点在水平面内作直线运动，初速度 v t=0=v0已知阻力与速度成正比(比例系数为 1)，问为多少时此质点的速度为 ?并求到此时刻该质点所经过的路程49 设 f(x)在0，+)上连续，且 f(0)0，设 f(x)在0 ，x上的平均值等于 f(0)与 f(x)的几何平均数，求 f(x).50 设曲线 L 位于 xOy 平面的第一象限内，L 上任意一点 M 处的切线与 y 轴总相交，交点为 A，已知MA=OA，且 L 经过点 ，求 L 的方程51 在上半平面上求一条上凹曲线，其上任一点 P(x，y) 处的曲率等于此曲线在该点的法线段 PQ 的长度的倒数(Q 为法线与 x 轴的交点) ，且
8、曲线在点(1，1)处的切线与 x 轴平行52 一半球形雪堆融化速度与半球的表面积成正比，比例系数为 k0，设融化过程中形状不变，设半径为 r0 的雪堆融化 3 小时后体积为原来的 ，求全部融化需要的时间53 设 f(x)在0，1上连续且满足 f(0)=1，f(x) 一 f(x)=a(x 一 1)y=f(x)，x=0，x=1，y=0 围成的平面区域绕 x 轴旋转一周所得的旋转体体积最小，求 f(x)考研数学一（高等数学）模拟试卷 17 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】 由 y1=ex ，y 2=2xex，y 3=3e-x 为
9、三阶常系数齐次线性微分方程的特解可得其特征值为 1=2=1， 3=一 1，其特征方程为( 一 1)2(+1)=0，即 3 一 2 一+1=0，所求的微分方程为 y“-y“-y+y=0，选(A)【知识模块】 高等数学部分2 【正确答案】 C【试题解析】 因为 1(x)， 2(x)为方程 y+P(x)y=Q(x)的两个线性无关解，所以1(x)一 2(x)为方程 y+P(x)y=0 的一个解，于是方程 y+P(x)y=Q(x)的通解为C1(x)一 2(x)+2(x)，选(C) 【知识模块】 高等数学部分3 【正确答案】 D【试题解析】 y“一 4y=0 的特征方程为 2 一 4=0，特征值为 1=一
10、 2， 2=2y“一4y=e2x 的特解形式为 y1=axe2x，y“一 4y=x 的特解形式为 y2=bx+c，故原方程特解形式为 axe2x+bx+c，应选(D)【知识模块】 高等数学部分4 【正确答案】 D【试题解析】 微分方程 y“一 4y=0 的特征方程为 2 一 4=0，特征值为一 2，2，则方程 y“一 4y=0 的通解为 C1e-2x+C2e2x，显然方程 y“一 4y=x+2 有特解 ，选(D)【知识模块】 高等数学部分二、填空题5 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学部分6 【正确答案】 f(x)=2x【试题解析】 【知识模块】 高等数学部分7 【正确答案】
11、【试题解析】 【知识模块】 高等数学部分8 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学部分9 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学部分10 【正确答案】 2e 3x【试题解析】 【知识模块】 高等数学部分11 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学部分12 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学部分13 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学部分14 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学部分15 【正确答案】 lnx+C【试题解析】 【知识模块】 高等数学部分16 【正确答案】 Q(x)=2+2x+312(x 2+3x+2
12、)=一 12x2 一 34x 一 19， y=C 1e-4x+C2e3x+x2+3x+2(其中 C1，C 2 为任意常数) 【试题解析】 显然 =一 4 是特征方程 2+q=0 的解，故 q=一 12，即特征方程为2+ 一 12=0，特征值为 1=一 4， 2=3因为 x2+3x+2 为特征方程 y“+y一12y=Q(x)的一个特解，所以 Q(x)=2+2x+312(x2+3x+2)=一 12x2 一 34x 一 19，且通解为 y=C1e-4x+C2e3x+x2+3x+2(其中 C1，C 2 为任意常数 )【知识模块】 高等数学部分17 【正确答案】 y“+y一 2y=一 sinx 一 3c
13、osx【试题解析】 特征值为 1=一 2， 2=1，特征方程为 2+ 一 2=0，设所求的微分方程为 y“+y一 2y=Q(x)，把 y=cosx 代入原方程，得 Q(x)=一 sinx 一 3cosx，所求微分方程为 y“+y一 2y=一 sinx 一 3cosx【知识模块】 高等数学部分18 【正确答案】 Y=C 1e-x+C2e4x+xe-x【试题解析】 因为方程有特解 Axe-x，所以一 1 为特征值，即(一 1)2 一 3(一 1)+a=0a=一 4，所以特征方程为 2 一 3 一 4=0 1=一 1， 2=4，齐次方程 y“一3y+ay=0 的通解为 y=C1e-x+C2e4x，再
14、把 Axe-x 代入原方程得 A=1，原方程的通解为Y=C1e-x+C2e4x+xe-x【知识模块】 高等数学部分19 【正确答案】 f(x)=e -x【试题解析】 【知识模块】 高等数学部分三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。20 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分21 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分22 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分23 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分24 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分25 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分26 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分27 【正确答案】 【知识模块】 高
15、等数学部分28 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分29 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分30 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分31 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分32 【正确答案】 把 y=ex 代入微分方程 xy+P(x)y=x，得 P(x)=xe-x 一 x，原方程化为【知识模块】 高等数学部分33 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分34 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分35 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分36 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分37 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分38 【正确答案】 曲线在点(x，y)
16、处的切线方程为 Yy=y(X-x)，令 X=0，则 Y=y一 xy，切线与 y 轴的交点为(0，y 一 xy)，【知识模块】 高等数学部分39 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分40 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分41 【正确答案】 因为 y1=e2x，y 2=2e-x 一 3e2x 为特解，所以 e2x，e -x 也是该微分方程的特解，故其特征方程的特征值为 1=一 1， 2=2，特征方程为(+1)( 一 2)=0 即2 一 一 2=0，所求的微分方程为 y“一 y一 2y=0【知识模块】 高等数学部分42 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分43 【正确答案】 【知识模
17、块】 高等数学部分44 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分45 【正确答案】 特征方程为 2+1=0，特征值为 1=一 i， 2=i，方程 y“+y=0 的通解为 y=C1cosx+C2sinx对方程 y“+y=x2+3，特解为 y1=x2+1； 【知识模块】 高等数学部分46 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分47 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分48 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分49 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分50 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分51 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分52 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分53 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分
