1、考研数学一（高等数学）模拟试卷 180 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f(x)= 则 fff(x)等于( )（A）0（B） 1（C）（D）2 设 f(x0)=f(x0)=0，f (x0)0，则下列结论正确的是( )（A）f (x0)是 f(x)的极大值（B） f(x0)是 f(x)的极大值（C） f(x0)是 f(x)的极小值（D）(x 0，f(x 0)是 y=f(x)的拐点3 设 f(x)= 则以 2 为周期的傅里叶级数在 x= 处收敛于( )（A）1+ 2（B） 1（C）（D）4 设函数 f(x)连续，且 f(0)0，则存在 0 使得 (
2、 )（A）对任意的 x(0，)有 f(x)f(0)（B）对任意的 x(0，)有 f(x)f(0)（C）当 x(0，)时，f(x)为单调增函数（D）当 x(0，)时，f(x) 是单调减函数二、填空题5 ex dx=_6 z= f(xy)+yg(x2+y2)，其中 f,g 二阶连续可导，则 =_7 设 f(x)满足 f(x)=f(x+2)，f(0)=0，又在(一 1，1)内 f(x)=x，则 f( )=_8 设直线 ，则过直线 L1 且平行于 L2 的平面方程为_9 设 a0，f(x)=g(x)= 而 D 表示整个平面，则 I= f(x)g(yx)dxdy=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程
3、或演算步骤。10 求 11 讨论函数 f(x)= (x0)的连续性12 设 f(x)在a，b上连续，在(a，b) 内可导(a0)，且 f(a)=0证明：存在 (a，b)，使得 f()= f()12 设 f(x)在0，3上连续，在 (0，3)内二阶可导，且 2f(0)=02f(t)dt=f(2)+f(3) 证明：13 1， 2(0， 3)，使得 f(1)=f(2)=014 存在 (0，3)，使得 f()一 2f()=015 求 16 (x)=sinxcos2xln(1+t2)dt，求 (x)17 求由曲线 y=4 一 x2 与 x 轴围成的部分绕直线 x=3 旋转一周所成的几何体的体积18 设变
4、换 ，求常数 a19 计算 dxdydz，其中 是由 x2+y2+z2=4 与 x2+y2=3z 围成的几何体20 计算 x2dydzy 2dzdx+z2dxdy，其中：(x 一 1)2+(y-1)2+ =1(y1)，取外侧21 将 f(x)= 展开成 x 一 2 的幂级数22 用变量代换 x=lnt 将方程 +e2xy=0 化为 y 关于 t 的方程，并求原方程的通解23 设 f(x)= ，求 f(x)的极值24 设 f(x)在0，1上二阶可导，且 f(0)=f(1)=0证明：存在 (0，1)，使得 f()=25 26 设 f(x)二阶连续可导，且曲线积分3f (x)一 2f(x)+xe2x
5、ydx+f(x)dy 与路径无关，求 f(x)27 证明 S(x)= 满足微分方程 y(4)一 y=0 并求和函数 S(x)27 设函数 f(x)(x0)可微，且 f(x)0将曲线 y=f(x)，x=1，x=a(a 1)及 x 轴所围成平面图形绕 x 轴旋转一周得旋转体体积为 ，求：28 f(x)；29 f(x)的极值考研数学一（高等数学）模拟试卷 180 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 ff(x)= ，因为f(x)1，所以 ff(x)=1，于是 fff(x)=1，选(B)【知识模块】 高等数学2 【正确答案】 D【试题
6、解析】 因为 f(x0)0，所以存在 0，当 0xx 0 时，0，从而当 x(x0 ，x 0)时，f (x)0；当 x(x0，x 0+)时，f (x)0，即(x0，f(x 0)是 y=f(x)的拐点，选(D)【知识模块】 高等数学3 【正确答案】 D【试题解析】 函数 f(x)的傅里叶级数在 x= 处收敛于 ，选(D)【知识模块】 高等数学4 【正确答案】 A【试题解析】 【知识模块】 高等数学二、填空题5 【正确答案】 e x C【试题解析】 【知识模块】 高等数学6 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学7 【正确答案】 【试题解析】 因为在(一 1，1)内 f(x)=x，【知
7、识模块】 高等数学8 【正确答案】 平面方程为 ：(x 一 1)一 3(y 一 2)+(z3)=0，即 ：x 一3y+z+2=0【试题解析】 所求平面的法向量为 n=1，0，一 12，1，1= 1，一3，1，又平面过点(1，2，3)，则所求平面方程为 ：(x 一 1)一 3(y 一 2)+(z3)=0，即 ：x 一 3y+z+2=0【知识模块】 高等数学9 【正确答案】 a 2【试题解析】 【知识模块】 高等数学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。10 【正确答案】 【知识模块】 高等数学11 【正确答案】 【知识模块】 高等数学12 【正确答案】 令 (x)=(b 一 x)af
8、(x)，显然 (x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，因为 (a)=(b)=0，所以由罗尔定理，存在 (a，b)，使得 ()=0，由 (x)=(b 一x)a1 (b 一 x)f(x)一 af(x)得(b) a1 (b 一 )f()一 af()且(b 一 )a1 0，故 f()=f()【知识模块】 高等数学【知识模块】 高等数学13 【正确答案】 令 F(x)=0xf(t)dt，F =f(x)， 02f(t)dt=F(2)一 F(0)=F(c)(20)=2f(c)，其中 0c2 因为 f(x)在2，3上连续，所以 f(x)在2，3上取到最小值 m 和最大值 M，m M，由介值定理，存在 x02
9、，3，使得 f(x0)= ，即 f(2)+f(3)=2f(x0)，于是 f(0)=f(c)=f(x0)，由罗尔定理，存在 1(0，c) (0，3)， 2(c，x 0)(0，3) ，使得 f(1)=f(2)=0【知识模块】 高等数学14 【正确答案】 令 (x)=e2x f(x)，( 1)=(2)=0，由罗尔定理，存在 (1， 2)(0，3) ，使得 ()=0，而 (x)=e2x f(x)一 2f(x)且 e2x 0，故 f()一 2f()=0【知识模块】 高等数学15 【正确答案】 【知识模块】 高等数学16 【正确答案】 (x)=一 2ln(1+cos22x)sin2xln(1+sin2x)
10、cosx【知识模块】 高等数学17 【正确答案】 方法一 取x，x+dx 一 2，2 ，则 dV=2(3 一 x)(4 一 x2)dx，V= 2 2dV=22 2(3 一 x)(4 一 x2)dx=62 2(4 一 x2)dx=1202(4 一 x2)dx=12=64【知识模块】 高等数学18 【正确答案】 【知识模块】 高等数学19 【正确答案】 【知识模块】 高等数学20 【正确答案】 【知识模块】 高等数学21 【正确答案】 【知识模块】 高等数学22 【正确答案】 +y=0 的通解为 y=C1cost+C2sint，故原方程的通解为y=C1cosex+C2sinex【知识模块】 高等数
11、学23 【正确答案】 【知识模块】 高等数学24 【正确答案】 令 (x)=(x 一 1)2f(x)，显然 (x)在0，1上可导，由 f(0)=f(1)=0，根据罗尔定理，存在 c(0，1)，使得 f(c)=0，再由 (c)=(1)=0，根据罗尔定理，存在 (c，1) (0，1)，使得 ()=0，而 (x)=2(x 一 1)f(x)+(x 一 1)2f(x)，所以2(1)f ()+( 一 1)2f()=0，整理得 f()= 【知识模块】 高等数学25 【正确答案】 因为(x 2ex)=(x2+2x)ex，【知识模块】 高等数学26 【正确答案】 因为曲线积分与路径无关，所以有 f(x)=3f(
12、x)一 2f(x)xe 2x，即f(x)一 3f(x)+2f(x)=xe2x，由特征方程 2 一 3+2=0 得 1=1， 2=2，则方程 f(x)一3f(x)+2f(x)=0 的通解为 f(x)=C1ex+C2e2x，令特解 f0(x)=x(ax+b)e2x，代入原微分方程得 a= ，b=一 1，故所求 f(x)=C1ex+C2e2x+( 一 x)e2x【知识模块】 高等数学27 【正确答案】 显然级数的收敛域为(一，+) ， 显然 S(x)满足微分方程 y(4)一 y=0y (4)一 y=0 的通解为 y=C1ex+C2ex +C3cosx+C4sinx，由 S(0)=1，S (0)=S(0)=S(0)=0 得【知识模块】 高等数学【知识模块】 高等数学28 【正确答案】 【知识模块】 高等数学29 【正确答案】 【知识模块】 高等数学
