1、考研数学一（高等数学）模拟试卷 185 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 =05x dt，= 0sinx(1+t) dt，当 x0 时， 是 的( )（A）低阶无穷小（B）高阶无穷小（C）等价无穷小（D）同阶但非等价的无穷小2 设 ，其中 D：x 2+y2a2，则 a 为( )（A）1（B） 2（C）（D）二、填空题3 设 f(x)为偶函数，且 f(一 1)=2，则 =_4 设 f(x)C1，+)，广义积分 1 f(x)dx 收敛，且满足 f(x)= 1 f(x)dx，则f(x)=_5 设 z=f(x，y)是由 e2yz+x+y2+z= 确定的函
2、数，则 =_6 计算 02dxx2y2ey2 dy=_7 (x2+2xy+y3)ds=_，其中 L：x 2+y2=48 微分方程 y+ytanx=cosx 的通解为_9 设 y=y(x)由 yexy+xcosx 一 1=0 确定，求 dy x=0=_10 设 =_11 设直线 l 过点 M(1，一 2，0)且与两条直线 垂直，则 l 的参数方程为_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。12 13 设 y= ，求 y14 设 f(x)在0，1上连续，在 (0，1)内可导，且 f(0)=f(1)，证明：存在 ，(0，1)，使得 f()+f()=015 求 16 设 f(x)= ，求 0
3、2f(x 一 )dx16 设 y=f(x)为区间0，1上的非负连续函数17 证明存在 c(0，1) ，使得在区间0，c上以 f(c)为高的矩形面积等于区间c，1上以 u=f(x)为曲边的曲边梯形的面积；18 设 f(x)在(0，1)内可导，且 f(x) ，证明(1)中的 c 是唯一的19 求摆线 (0T2)的长度20 计算 dxdy，其中 f()连续可导，曲面 为 z= 的上侧21 判断级数 的敛散性22 设曲线 L1 与 L2 皆过点(1，1) ，曲线 L1 在点(x，y)处纵坐标与横坐标之商的变化率为 2，曲线 L2 在点(x ， y)处纵坐标与横坐标之积的变化率为 2，求两曲线所围成区域
4、的面积23 设 f(x)连续可导， 24 设 f(x)= ，且 f(0)存在，求 a，b，c25 设 F(x)为 f(x)的原函数，且当 x0 时，f(x)F(x)= ，又 F(0)=1，F(x) 0，求f(x)26 计算 ，从 z 轴正向看， L 是逆时针方向27 求 的和28 an= 的敛散性，并证明你的结论考研数学一（高等数学）模拟试卷 185 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 【知识模块】 高等数学2 【正确答案】 B【试题解析】 解得 a=2，选(B)【知识模块】 高等数学二、填空题3 【正确答案】 -8【试题解
5、析】 因为 f(x)为偶函数，所以 f(x)为奇函数，于是 f(1)=一 2，【知识模块】 高等数学4 【正确答案】 f(x)=【试题解析】 【知识模块】 高等数学5 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学6 【正确答案】 【试题解析】 改变积分次序得【知识模块】 高等数学7 【正确答案】 8【试题解析】 根据对称性和奇偶性得【知识模块】 高等数学8 【正确答案】 (xC)cosx【试题解析】 y= =(xC)cosx【知识模块】 高等数学9 【正确答案】 一 2dx【试题解析】 当 x=0 时，y=1，将 yexy+xcox 一 1=0 两边对 x 求导得 +cosxxsinx=
6、0，将 x=0，y=1 代入上式得 =一 2，故 dy x=0=一 2dx【知识模块】 高等数学10 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学11 【正确答案】 【试题解析】 直线 L1 的方向向量为 s1=2，0，11，一 1，3= 1，一 5，一 2，直线 l2 的方向向量为 s2=1，一 4，0，则直线 l 的方向向量为s=s1s2=8，一 2，1，直线 l 的方程为 【知识模块】 高等数学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。12 【正确答案】 【知识模块】 高等数学13 【正确答案】 【知识模块】 高等数学14 【正确答案】 因为 f(0)=f(1)，所以 f(
7、)=一 f()，即 f()+f()=0【知识模块】 高等数学15 【正确答案】 【知识模块】 高等数学16 【正确答案】 02f(x 一 )dx=02f(x)d(x 一 )= f(x)dx= 0 dx+0xsin2xdx=arctan(cosx) 0+ sin2xdx= 【知识模块】 高等数学【知识模块】 高等数学17 【正确答案】 S 1(c)=cf(c)，S 2(c)=c1f(t)dt=一 1cf(t)dt，即证明 S1(c)=S2(c)，或 cf(c)+1cf(t)dt=0，令 (x)=x1xf(t)dt，(0)=(1)=0，根据罗尔定理，存在 c(0，1)，使得(c)=0，即 cf(c
8、)+1cf(t)dt=0，所以 S1(c)=S2(c)，命题得证【知识模块】 高等数学18 【正确答案】 令 h(x)=xf(x)一 x1f(t)dt，因为 h(x)=2f(x)+xf(x)0，所以 h(x)在0，1上为单调函数，所以(1) 中的 c 是唯一的【知识模块】 高等数学19 【正确答案】 ds= dt，则 s=02ds=402sin =40dx=8【知识模块】 高等数学20 【正确答案】 令 0：z=0(x 2+y21)取下侧，【知识模块】 高等数学21 【正确答案】 【知识模块】 高等数学22 【正确答案】 对曲线 L1，由题意得 =2，解得 y=x(2x+C1)，因为曲线 L1 过点(1， 1)，所以 C1=一 1，故 L1：y=2x 2 一 x，对曲线 L2，由题意得 ，【知识模块】 高等数学23 【正确答案】 【知识模块】 高等数学24 【正确答案】 【知识模块】 高等数学25 【正确答案】 【知识模块】 高等数学26 【正确答案】 设由 L 所围成的平面为 ，按右手准则，取上侧，【知识模块】 高等数学27 【正确答案】 【知识模块】 高等数学28 【正确答案】 【知识模块】 高等数学
