1、考研数学一（高等数学）模拟试卷 187 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 极限 ( )（A）等于 1（B）为 （C）不存在但不是（D）等于 0二、填空题2 设 f(x)= 可导，则 a=_，b=_3 设 f(x)二阶连续可导，且 f(0)=1，f(2)=3，f (2)=5，则 01xf(2x)dx=_4 由方程 xyz 确定的隐函数 z=z(x，y)在点(1，0，一 1)处的微分为dz=_5 (x2+xy 一 z)dxdy=_，其中 D 由直线 y=x,y=2x 及 x=1 围成6 设 x2ds=_7 设 y=y(x)可导， y(0)=2，令 y=y
2、(x x)-y(x)，且 y= x，其中 是当x0 时的无穷小量，则 y=_8 设函数 y=y(x)由 确定，则 y=y(x)在 x=ln2 处的法线方程为_9 设xf(x)dx=arcsinxC，则 =_10 曲线 ，在 xOy 平面上的投影曲线为_ 11 =_12 设 y=y(x)满足 y= x+o(x)，且有 y(1)=1，则 02y(x)dx=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。13 若 14 设 y= ，求 y15 设 f(x)在a，b上连续，在(a，b) 内二阶可导，连接点 A(a，f(a)，B(b，f(b)的直线与曲线 y=f(x)交于点 C(c，f(c)(其中
3、acb)。证明：存在 (a，b)，使得f()=016 求 17 求 17 设 L：y=e x (x0)18 求由 y=ex 、x 轴、y 轴及 x=a(a0)所围成平面区域绕 x 轴旋转一周而得的旋转体的体积 V(a)19 设 V(c)= V(a)，求 c20 一半径为 R 的球沉入水中，球面顶部正好与水面相切，球的密度为 1，求将球从水中取出所做的功21 计算 22 判断级数 的敛散性23 设二阶常系数齐次线性微分方程以 y1=e2x，y 2=2e-x 一 3e2x 为特解，求该微分方程24 设 =c(0)，求 n，c 的值25 设 f(x)在0，1上可导， f(0)=0，f (x) f(x
4、)证明：f(x)0，x0 ，126 计算 27 计算二重积分 I= 28 计算 I= ，其中 L 是绕原点旋转一周的正向光滑闭曲线考研数学一（高等数学）模拟试卷 187 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 【知识模块】 高等数学二、填空题2 【正确答案】 a=3，b=一 2【试题解析】 f(10)=f(1)=ab ，f(1+0)=1，因为 f(x)在 x=1 处连续，所以a+b=1； 因为 f(x)在 x=1 处可导，所以 a=3，故 a=3，b= 一 2【知识模块】 高等数学3 【正确答案】 2【试题解析】 【知识模块】
5、高等数学4 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学5 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学6 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学7 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学8 【正确答案】 【试题解析】 当 x=ln2 时， t=1；当 t=1 时，y=0 (1)当 t=一 1 时， (2)当t=1 时，【知识模块】 高等数学9 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学10 【正确答案】 【试题解析】 由 在 xOy 平面上的投影曲线为 【知识模块】 高等数学11 【正确答案】 3e【试题解析】 【知识模块】 高等数学12 【正确答
6、案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。13 【正确答案】 【知识模块】 高等数学14 【正确答案】 【知识模块】 高等数学15 【正确答案】 由微分中值定理，存在 1(a，c)， 2(c，b)，使得 因为点A，B，C 共线，所以 f(1)=f(2)，又因为 f(x)二阶可导，所以再由罗尔定理，存在(1， 2) (a，b) ，使得 f()=0【知识模块】 高等数学16 【正确答案】 【知识模块】 高等数学17 【正确答案】 =1 1xdx=2 01xdx=1【知识模块】 高等数学【知识模块】 高等数学18 【正确答案】 V(a)= 0ae2x
7、 dx= (1e 2a )【知识模块】 高等数学19 【正确答案】 由 V(c)= 【知识模块】 高等数学20 【正确答案】 以球顶部与水面相切的点为坐标原点，x 轴铅直向下，取x，x+dx 0，2R，由于球的密度与水的密度相同，所以水面以下不做功，d=(2Rx)R2 一(Rx) 21gdx=x(2Rx)2gdx，W= 02Rd= g【知识模块】 高等数学21 【正确答案】 【知识模块】 高等数学22 【正确答案】 【知识模块】 高等数学23 【正确答案】 因为 y1=e2x，y 2=2ex 一 3e2x 为特解，所以 e2x，e x 也是该微分方程的特解，故其特征方程的特征值为 1=一 1，
8、 2=2，特征方程为(+1)( 一 2)=0即 2 一 一 2=0，所求的微分方程为 yy 一 2y=0【知识模块】 高等数学24 【正确答案】 【知识模块】 高等数学25 【正确答案】 因为 f(x)在0 ，1上可导，所以 f(x)在0，1上连续，从而f(x)在0， 1上连续，故 f(x)在0，1上取到最大值 M，即存在 x00，1，使得f(x 0)=M 当 x0=0 时，则 M=0，所以 f(x)0，x0，1；当 x00 时，M=f(x 0) f(x 0)-f(0)=f ()x 0f () ，其中 (0，x 0)，故M=0，于是 f(x)0，x0 ，1 【知识模块】 高等数学26 【正确答案】 【知识模块】 高等数学27 【正确答案】 【知识模块】 高等数学28 【正确答案】 P(x，y)= 令 Lr：x 2+y2=r2，其中 r0，L r 在 L 内，方向取逆时针，由格林公式得【知识模块】 高等数学
