1、考研数学一（高等数学）模拟试卷 189 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f(x)连续且 F(x)= axf(t)dt，则 F(x)为( )（A）a 2（B） a2f(a)（C） 0（D）不存在2 平面 与 1：x 一 2y+z 一 2=0 和 2：x 一 2y+z 一 6=0 的距离之比为 1：3，则平面 的方程为( )（A）x 一 2y+z=0（B） x 一 2y+z 一 3=0（C） x 一 2y+z=0 或 x 一 2y+z 一 3=0（D）x 一 2y+z 一 4=0二、填空题3 设 f(x)= ，且 f(0)存在，则 a=_，b=_，
2、c=_4 =_(其中 a 为常数)5 过点(2 ，0，3) 且与直线 垂直的平面方程为_6 曲线 L： 绕 y 轴一周所得旋转曲面在点(0,-1,2)处指向外侧的单位法向量为_7 01dy cosx2dx=_8 (1，1) (2，2) xy2dx+x2ydy=_9 微分方程 y2dx+(x2 一 xy)dy=0 的通解为_10 设 F(x)=0x(x2 一 t2)f(t)dt，其中 f(x)在 x=0 处连续，且当 x0 时，F (x)x 2，则f(0)=_11 =_12 微分方程 yy一 2(y)2=0 的通解为_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。13 求 14 由方程 si
3、n(xy)+ln(y 一 x)=x 确定函数 y=y(x)，求 15 设 ba 0，证明： 16 求不定积分 17 求 01 17 设 L1：x 一 1= ，L 2：x+1=y 一 1=z18 若 L1L2，求 ；19 若 L1，L 2 共面，求 20 设向量场 A=xz 2+y2，x 2y+z2，y 2z+x2，求 rotA 及 divA21 判断级数 的敛散性22 求 y一 2y一 e2x=0 满足初始条件 y(0)=1，y (0)=1 的特解23 确定 a，b ，使得 x 一 (a+bcosx)sinx 当 x0 时为阶数尽可能高的无穷小24 设 f(x)二阶可导，f(0)=f(1)=0
4、 且 f(x)=一 1证明：存在 (0，1)，使得 f()825 02 26 已知 f(x， y)= ，设 D 为由 x=0、y=0 及 x+y=t 所围成的区域，求 F(t)= f(x，y)dxdy27 设 L 是不经过点(2 ，0) ，( 一 2，0)的分段光滑简单正向闭曲线，就 L 的不同情形计算28 考研数学一（高等数学）模拟试卷 189 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 2xaxf(t)dt+x2f(x)=a2f(a)，选(B)【知识模块】 高等数学2 【正确答案】 C【试题解析】 设所求平面为 x 一 2y+z
5、D=0，在平面 ：x 一 2yzD=0 上取一点 M0(x0，y 0，Z 0)， d1= ，因为 d1：d 2=1：3，所以 D=0 或 D=一 3，选(C)【知识模块】 高等数学二、填空题3 【正确答案】 a=2，b=-2，c=2【试题解析】 f(0+0)= f(x)=a，f(0)=2 ，f(0 一 0)=c，因为 f(x)在 x=0 处连续，所以 f(0+0)=f(0)=f(00)， 因为 f(x)在 x=0 处可导，即 f (0)= (0)，故 b=一 2【知识模块】 高等数学4 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学5 【正确答案】 一 16x+14y+11z+65=0【试
6、题解析】 s 1=1，一 2，4，s 2=3，5，一 2，所求平面的法向量n=s1s2=一 16，14，11，则所求平面方程为一 16x+14y+11z+65=0【知识模块】 高等数学6 【正确答案】 【试题解析】 曲线 L： 绕 y 轴一周所得的旋转曲面为4x29y 24z 2=25n=8x，18y，8z (0，1，2) =0，18，16，所求的单位向量 e= 【知识模块】 高等数学7 【正确答案】 【试题解析】 改变积分次序得【知识模块】 高等数学8 【正确答案】 【试题解析】 因为 xy2dx+x2ydy= ，所以 (1，1) (2，2) xy2dx+x2ydy= 【知识模块】 高等数学
7、9 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学10 【正确答案】 【试题解析】 F(x)=x 20xf(t)dt0xt2f(t)dt，F (x)=2x0xf(t)dt，因为当 x0 时，F(x)x 2，所以 =1，而 【知识模块】 高等数学11 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学12 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。13 【正确答案】 【知识模块】 高等数学14 【正确答案】 x=0 代入 sin(xy)+ln(yx)=x 得 y=1，sin(xy)+ln(yx)=x 两边关于x 求导得 cos(xy)
8、 =1，将 x=0，y=1 代入得 x=0=1【知识模块】 高等数学15 【正确答案】 【知识模块】 高等数学16 【正确答案】 令 sinxcosx=a(sinx+2cosx)b(sinx+2cosx) ，则【知识模块】 高等数学17 【正确答案】 【知识模块】 高等数学【知识模块】 高等数学18 【正确答案】 设 L1：x1= ，L 2：x+1=y 一 1=z 垂直，则1，2，1，1，1或 1+2+=0，解得 =一 3【知识模块】 高等数学19 【正确答案】 s 1=1，2，s 2=1，1，1，s 1s2=1，2，1， 1，1 =2 一 ， 一 1，一 1，M 1(1，1，1)L 1，M
9、2(一 1，1，0)L 2，= 2，0 ，1，L 1， L2 共面的充分必要条件是 (s1s2) 【知识模块】 高等数学20 【正确答案】 【知识模块】 高等数学21 【正确答案】 【知识模块】 高等数学22 【正确答案】 原方程可化为 y一 2y=e2x，特征方程为 2 一 2=0，特征值为1=0， 2=2，y 一 2y=0 的通解为 y=C1+C2e2x，设方程 y一 2y=e2x 的特解为y0=Axe2x，代入原方【知识模块】 高等数学23 【正确答案】 令 y=x 一(a+bcosx)sinx，y =1+bsin2x 一(a+bcosx)cosx ，y =bsin2x+sin2x+(a
10、+bcosx)sinx=asinx+2bsin2x，y =acosx+4bcos2x，显然 y(0)=0，y (0)=0，所以令 y(0)=y(0)=0 得 ，故当 时，x 一(a+bcosx)sinx 为阶数尽可能高的无穷小【知识模块】 高等数学24 【正确答案】 因为 f(x)在0 ，1上二阶可导，所以 f(x)在0，1上连续且 f(0)=f(1)=0， f(x)=一 1，由闭区间上连续函数最值定理知，f(x)在0，1取到最小值且最小值在(0，1) 内达到，即存在 c(0，1)，使得 f(c)=一 1，再由费马定理知f(c)=0，根据泰勒公式【试题解析】 在使用泰勒中值定理时，若已知条件中
11、给出某点的一阶导数，则函数在该点展开；若结论中是关于某点的一阶导数，则在该点展开；若既未给出某点的一阶导数的条件，结论中又不涉及某点的一阶导数，往往函数在区间的中点处展开【知识模块】 高等数学25 【正确答案】 【知识模块】 高等数学26 【正确答案】 当 t0 时，F(t)=0；【知识模块】 高等数学27 【正确答案】 I= =I1I 2显然曲线积分 I1， I2 都满足柯西-黎曼条件(1)当(2，0)，(一 2，0)都在 L 所围成的区域之外时，I 1=I2=0，因此 I=0；(2)当(2，0)，(一 2， 0)都在 L 所围成的区域之内时，分别以这两个点为中心以 r1，r 2 为半径的圆C1，C 2，使它们都在 L 内，则 I1= =2，同理 I2=一 2，因此 I=4 ；(3) 当(2，0)，(一 2，0)有一个点在 L 围成的区域内，一个点在 L 围成的区域外时，I=2 【知识模块】 高等数学28 【正确答案】 【知识模块】 高等数学
