1、考研数学一（高等数学）模拟试卷 190 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 y=f(x)由 cos(xy)+lnyx=1 确定，则 =( )（A）2（B） 1（C）一 1（D）一 22 设 则有( ) （A）L 1L 2（B） L1L 2（C） L2L3（D）L 1L2二、填空题3 设函数 y=y(x)由 e2xy 一 cos(xy)=e 一 1 确定，则曲线 y=y(x)在 x=0 对应点处的法线方程为_4 0 x7ex2 dx=_5 过原点及点(6，一 3，2)且与平面 4x 一 y+2z=8 垂直的平面方程为_6 曲面 z=1 一 x2 一
2、y2 上与平面 x+yz+3=0 平行的切平面为 _7 设 f(x，y)连续，且 f(x， y)=xy+ f(x，y)d，其中 D 由 y=0，y=x 2 及 x=1 围成，则 f(x，y)=_8 设 S 为平面 x 一 2y+z=1 位于第四卦限的部分，则 ds=_9 设 =_10 连续函数 f(x)满足 f(x)=30xf(xt)dt+2，则 f(x)=_11 设 f(x)在( 一，+)上可导， ，则 a=_12 =_13 微分方程 xy= +y(x0) 的通解为_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。14 求 15 设函数 y=y(x)由 2xy=x+y 确定，求 dy x=
3、016 设 f(x)在a，b上满足f (x)2，且 f(x)在(a ，b)内取到最小值。证明：f (a) +f (b)2(b a)17 求 18 设 f(x)C ，且 F(x)= f(x)sinxdx，求 f(x)18 设直线 L： 绕 y 轴旋转一周所成的旋转曲面为 19 求由曲面及 y=0，y=2 所围成的几何体 的体积20 设 为均匀的几何体，求该几何体的质心21 判断级数 的敛散性22 求微分方程 y+4y+4y=eax 的通解23 设 ，求 a，b 的值24 一质点从时间 t=0 开始直线运动，移动了单位距离使用了单位时间，且初速度和末速度都为零证明：在运动过程中存在某个时刻点，其加
4、速度绝对值不小于425 设 f(x)连续， 0xtf(xt)dt=1 一 cosx，求 0 f(x)dx26 计算 ，其中 D= (x，y) 0x1 ，0y127 设函数 (x，y)，(x， y)在 D：x 2+y21 上一阶连续可偏导，又 f(x,y)=(x，y)i+(x，y)j，g(x，y)= ，且在区域 D 的边界上有 (x，y)1 ，(x ，y)y ，求f gd28 设 = ，求 f(x)考研数学一（高等数学）模拟试卷 190 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】 【知识模块】 高等数学2 【正确答案】 D【试题解析】
5、 三条直线的方向向量为 s1=一 2，一 5，3，s 2=3，3，7，s3=1，3，一 12， 1，一 1= 一 2，一 1，一 5，因为 s1s 2=0，所以L1L2，选(D)【知识模块】 高等数学二、填空题3 【正确答案】 【试题解析】 当 x=0 时，y=1，e 2xy 一 cos(xy)=e 一 1 两边对 x 求导得 =0，【知识模块】 高等数学4 【正确答案】 3【试题解析】 【知识模块】 高等数学5 【正确答案】 所求平面为 ：2x+2y 一 3z=0【试题解析】 设所求平面为 ：Ax+By+Cz+D=0，因为 经过原点，所以 D=0，即 ： Ax+By+Cz=0，又因为 经过点
6、(6，一 3，2)且与 4xy+2z=8 垂直，所以，所求平面为 ：2x+2y 一 3z=0【知识模块】 高等数学6 【正确答案】 【试题解析】 设切点坐标为(x 0，y 0，1 一 x02y 02)，则 n=2x 0，2y 0，11，1，一 1，【知识模块】 高等数学7 【正确答案】 xy【试题解析】 【知识模块】 高等数学8 【正确答案】 【试题解析】 S ：z=1 一 x+2y，S 在 XOy 平面上的投影区域为Dxy=(x，y)0x1 ， y0【知识模块】 高等数学9 【正确答案】 8【试题解析】 【知识模块】 高等数学10 【正确答案】 2e 3x【试题解析】 由 0xf(x 一 t
7、)dt x0f()(d)= 0xf()d 得 f(x)=30xf()d+2，两边对 x 求导得 f(x)一 3f(x)=0，解得 f(x)= =Ce3x，取 x=0 得 f(0)=2，则 C=2，故f(x)=2e3x【知识模块】 高等数学11 【正确答案】 1【试题解析】 【知识模块】 高等数学12 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学13 【正确答案】 lnxC【试题解析】 【知识模块】 高等数学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。14 【正确答案】 【知识模块】 高等数学15 【正确答案】 当 x=0 时，y=1 2 xy=x+y 两边关于 x 求导得 2xyl
8、n2 ，将x=0，y=1 代入得 x=0=ln21，故 dy x=0=(ln2 一 1)dx【知识模块】 高等数学16 【正确答案】 因为 f(x)在(a ，b)内取到最小值，所以存在 c(a，b)，使得 f(c)为f(x)在a，b上的最小值，从而 f(c)=0【知识模块】 高等数学17 【正确答案】 【知识模块】 高等数学18 【正确答案】 【知识模块】 高等数学【知识模块】 高等数学19 【正确答案】 设 M(x，y，z) ，M 所在的圆与 L 的交点为 M0(x0，y，z 0)，圆心为 T(0，y， 0)，由MT = M 0T得 x2+z2=x02+z02，【知识模块】 高等数学20 【
9、正确答案】 【知识模块】 高等数学21 【正确答案】 【知识模块】 高等数学22 【正确答案】 特征方程为 2+4+4=0，特征值为 1=2=一 2，原方程对应的齐次线性微分方程的通解为 y=(C1+C2x)e2x (1)当 a一 2 时，因为 a 不是特征值，所以设原方程的特解为 y0(x)=Aeax，代入原方程得 A= ，则原方程的通解为y=(C1+C2x)e2x + eax；(2)当 a=一 2 时，因为 a=一 2 为二重特征值，所以设原方程的特解为 y0(x)=Ax2e2x ，代入原方程得 A= ，则原方程的通解为 y=(C1+C2x)e2x + x2e2x 【知识模块】 高等数学2
10、3 【正确答案】 【知识模块】 高等数学24 【正确答案】 设运动规律为 S=S(t)，显然 S(0)=0，S (0)=0，S(1)=1，S (1)=0，由泰勒公式 两式相减，得 S(2)一 S(1)=一8 S (1)+S (2) 8当S (1)S (2)时，S (1)4；当S (1)S (2)时，S (2)4【知识模块】 高等数学25 【正确答案】 【知识模块】 高等数学26 【正确答案】 令 D1= (x，y)0x1 ，0yx， D2=(x，y) 0xy，0y1，则【知识模块】 高等数学27 【正确答案】 【知识模块】 高等数学28 【正确答案】 解得 rf(r)=C1 由 f(1)=2 得 C1=2,于是 f(r)= ，f(r)=lnr2+C2，由 f(1)=0 得 C2=0，所以 f(x)=lnx2【知识模块】 高等数学
