1、考研数学一（高等数学）模拟试卷 191 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f(x)=0sinxsint2dt，g(x)=x 3+x4，当 x0 时，f(x)是 g(x)的( )（A）等价无穷小（B）同阶但非等价无穷小（C）高阶无穷小（D）低阶无穷小2 设 f(x)连续可导，g(x) 连续，且 g(x)x=0，又 f(x)=2x 2+0xg(xt)dt ，则( )（A）x=0 为 f(x)的极大点（B） x=0 为 f(x)的极小点（C） (0，f(0)为 y=f(x)的拐点（D）x=0 既不是 f(x)极值点，(0，f(0)也不是 y=f(x)的
2、拐点二、填空题3 4 设两曲线 y=x2+ax+b 与2y=1+xy 3 在点(1，1)处相切，则a=_，b=_5 设 f(x，y)可微，f(1 ，2)=2，f x(1，2)=3 ，f y(1，2)=4，(x)=fx，f(x，2x)，则(1)=_6 设函数 y=y(x)满足y= x+o(x)，且 y(1)=1，则 01y(x)dx=_7 设 f(x)= D 为 xOy 面，则 f(y)f(x+y)dxdy=_8 设向量场 A=2x3yzix 2y2zjx 2yz2k，则其散度 divA 在点 M(1，1，2)沿方向l=2，2，1的方向导数 (divA)|M=_9 微分方程 yxe y + =0
3、 的通解为_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。9 设 f(x)在0，2上连续，且 f(0)=0，f(1)=1 证明：10 存在 c(0，1) ，使得 f(c)=12c；11 存在 0，2，使得 2f(0)+f(1)+3f(2)=6f()12 设 an=A，证明：数列 an有界13 设 f(x)在0，1上可导， f(0)=0，|f(x)|12|f(x)|证明：f(x)0 ，x 0，114 设 f(x)在 x0 的邻域内四阶可导，且|f (4)(x)|M(M0)证明：对此邻域内任一异于 x0 的点 x，有|f“(x 0) |M12(xx 0)2，其中 x为 x 关于x0 的对称点1
4、5 设 f(x)是在a，b上连续且严格单调的函数，在(a，b)内可导，且 f(a)=ab=f(b)证明：存在 i(a，b)(i=1，2，n) ，使得 1n 1f( i)=116 设 f(x)在0，1连续可导，且 f(0)=0证明：存在 0，1，使得 f()=201f(x)dx17 设 f(x)=1x ，求 01x2f(x)dx18 设 an=04 tannxdx(n2)，证明：19 20 证明： 0xasinxdx 02 acosx dx34，其中 a0 为常数20 设直线 L1：21 证明：直线 L1，L 2 为异面直线；22 求平行于 L1，L 2 且与它们等距离的平面23 设 u=f(x
5、， y，xyz)，函数 z=z(x，y)由 exyz=xyzh(xy+zt)dt 确定，其中 f 连续可偏导，h 连续，求24 设函数 f(x，y，z) 一阶连续可偏导且满足 f(tx，ty，tz)=t kf(x，y，z)证明：x=kf(x， y，z)25 计算二重积分 (x2+4x+y2)dxdy，其中 D 是曲线(x 2+y2)2=a2(x2y 2)围成的区域26 设空间曲线 C 由立体 0x1，0y1 ，0z1 的表面与平面 x+y+z=32 所截而成，计算| C(z2y 2)dx+(x2z 2)dy+(y2x 2)dz|27 求幂级数 xn 的收敛域28 设函数 f(x，y)可微， =
6、f(x，y)(0， 2)=1，且 =ecoty，求f(x，y)28 飞机以匀速 v 沿 y 轴正向飞行，当飞机行至 O 时被发现，随即从 x 轴上(x 0，0)处发射一枚导弹向飞机飞去(x 00)，若导弹方向始终指向飞机，且速度大小为2v29 求导弹运行的轨迹满足的微分方程及初始条件；30 导弹运行方程考研数学一（高等数学）模拟试卷 191 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 因为 =13，所以正确答案为(B)【知识模块】 高等数学2 【正确答案】 C【试题解析】 由 0xg(xt)dt= 0xg(t)dt 得 f(x)=2
7、x 2+0xg(t)dt，f“(x)=4x+g(x)，因为 =40，所以存在 0，当 0|x| 时，f“(x)x0，即当 x( ，0)时，f“(x) 0；当 x(0， )时，f“(x) 0，故(0 ，f(0)为y=f(x)的拐点，应选 (C)【知识模块】 高等数学二、填空题3 【正确答案】 1【试题解析】 【知识模块】 高等数学4 【正确答案】 3，3【试题解析】 因为两曲线过点(1，1)，所以 b a=0，又由 y=x2+ax+b 得dydx| x=1 =a2，再由2y= 1+xy 3 得 ，且两曲线在点(1 ，1) 处相切，则 a2=1，解得 a=b=3【知识模块】 高等数学5 【正确答案
8、】 47【试题解析】 因为 (x)=fxx，f(x，2x)+f yx，f(x，2x)f x(x，2x)+2f y(x，2x)，所以 (1)=fx1，f(1 ，2)+f y1，f(1 ，2)f x(1， 2)+2fy(1，2) =3+4(3+8)=47【知识模块】 高等数学6 【正确答案】 4【试题解析】 由y(1)=1 得 C=0，故 y(x)【知识模块】 高等数学7 【正确答案】 14【试题解析】 在 D1=(x，y)|x+，0y1上，f(y)=y；在 D2：0x+y1 上，f(x+y)=x+y，则在 D0=D1D2=(x，y)|yx1y，0y1)上，f(y)f(x+y)=y(x+y)，所以
9、 f(y)f(x+y)dxdy=01dyy 1y y(x+y)dx=14【知识模块】 高等数学8 【正确答案】 223【试题解析】 divA= =6x2yz2x 2yz2x 2yz=2x2yz，【知识模块】 高等数学9 【正确答案】 e y=1x( x2+C)【试题解析】 所以原方程的通解为 ey=1x( x2+C)【知识模块】 高等数学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。【知识模块】 高等数学10 【正确答案】 令 (x)=f(x)1+2x，(0)=1，(1)=2，因为 (0)(1)0，所以存在 c(0，1)，使得 (c)=0，于是 f(c)=12c【知识模块】 高等数学11
10、【正确答案】 因为 f(x)C0，2，所以 f(x)在0，2上取到最小值 m 和最大值M，由 6m2f(0)+f(1)+3f(2)6M 得 m M，由介值定理，存在 0，2，使得 =f()，于是 2f(0)+f(1)+3f(2)=6f()【知识模块】 高等数学12 【正确答案】 取 0=1，因为 an=A，根据极限定义，存在 N0，当 nN 时，有|a nA|1，所以|a n|A|+1取 M=max|a1|，|a 2|，|a N|，|A|+1 ，则对一切的n，有|a n|M【知识模块】 高等数学13 【正确答案】 因为 f(x)在0 ，1上可导，所以 f(x)在0，1上连续，从而|f(x)|在
11、0，1上连续，故 |f(x)|在0，1 上取到最大值 M，即存在 x00，1 ，使得|f(x 0)|=M 当 x0=0 时，则 M=0，所以 f(x)0，x0 ，1； 当 x00 时，M=|f(x 0)|=|f(x0)f(0)|=|f()|x 0|f()|12|f()|M2， 其中 (0，x 0)，故 M=0，于是 f(x)0，x0 ，1【知识模块】 高等数学14 【正确答案】 由 f(x)=f(x0)+f(x0)(xx 0)+ (xx 0)2+ (xx 0)3+ (xx 0)4，f(x)=f(x 0)+f(x0)(xx 0)+(xx 0)4，两式相加得 f(x)+f(x)2f(x 0)=f“
12、(x0)(xx 0)2+ f(4)(1)+f(4)(2)(xx 0)4，于是|f“(x 0) |124|f (4)(1)|+|f(4)(2)|(xx 0)2，再由|f (4)(x)|M，得|f“(x0) |M12(x x 0)2【知识模块】 高等数学15 【正确答案】 令 h= ，因为 f(x)在a，b上连续且单调增加，且 f(a)=ab=f(b)，所以 f(a)=aa+h a+(n1)hb=f(b)，由端点介值定理和函数单调性，存在 ac 1c 2c n1 b，使得 f(c1)=a+h，f(c 2)=a+2h，f(c n1 )=a+(n 1)h，再由微分中值定理，得 f(c1)f(a)=f(
13、 1)(c1a)， 1(a，c 1)，f(c 2)f(c 1)=f(2)(c2c 1)， 2(c1，c 2)，f(b) f(c n1 )=f(n)(bc n1 )， n(cn1 ，b)，【知识模块】 高等数学16 【正确答案】 因为 f(x)在区间0，1上连续，所以 f(x)在区间0，11 上取到最大值 M 和最小值 m，对 f(x)f(0)=f(c)x( 其中 c 介于 0 与 x 之间)两边积分得 01f(x)dx=01f(c)xdx， 由 mf(c)M 得 m01dx01f(c)xdxM01xdx， 即 m201f(c)xdxM或 m2|f(x)dxM， 由介值定理存在 0，1 ，使得
14、f()=201f(x)dx【知识模块】 高等数学17 【正确答案】 01x2f(x)dx=13 01f(x)d(x3)=13x 3f(x)|01 01x3f(x)dx【知识模块】 高等数学18 【正确答案】 a n+an+2=04 (1+tan2x)tannxdx=04 tannxd(tanx)同理 an+an2 =1(n1) 因为 tannx，tan n+2x 在0，4上连续，tan nxtann+2x，且 tannx，tan n+2x 不恒等，所以 04 tannxdx 04 于是=an+an+22a n，即 an【知识模块】 高等数学19 【正确答案】 【知识模块】 高等数学20 【正确
15、答案】 因为 0xasinxdx=2 0asinxdx=02 acosxsdx， 所以0xasinxdx 02 acosx dx= 02 acosxdx 02 acosx dx = 02 (acosx2 )2dx 02 (cosx2 )2dx(02 acosx2 a cosx2 dx)2=34【知识模块】 高等数学【知识模块】 高等数学21 【正确答案】 M 1(1，0，1)L 1，M 2(2，1，2)L 2， =3，1，3，s1=1，2，1，s 2=0， 1，2，s 1s2=5，2，1 因为(s1s2) =5，2，1 3，1，3=100，所以 L1，L 2 异面【知识模块】 高等数学22 【
16、正确答案】 与 L1，L 2 同时平行的平面的法向量为 n=s1s2=5，2，1，设与 L1，L 2 等距离的平面方程为 ：5x+2y+z+D=0，则有解得 D=1，所求的平面方程为 ：5x+2y+z+1=0【知识模块】 高等数学23 【正确答案】 xyzh(xy+zt)dt zxyh(u)(du)= xyzh(u)du，=xf1 yf2【知识模块】 高等数学24 【正确答案】 令 u=tx， v=ty，w=tz ，f(tx ，ty，tz)=t kf(x，y，z)，两边对 t 求导得 =ktk1 f(x，y，z)当 t=1 时，有x =kf(x，y，z)【知识模块】 高等数学25 【正确答案】
17、 根据对称性 (x2+4x+y2)dxdy=4 (x2+y2)dxdy，其中 D1 是 D 位于第一卦限的区域【知识模块】 高等数学26 【正确答案】 取平面 x+y+z=32 上被折线 C 所围的上侧部分为 S，其法向量的方向余弦为 cos=cos=cos= 设 Dxy 表示曲面 S 在平面 xOy 上的投影区域，其面积为 A=34，由斯托克斯公式得 |C(z2y 2)dx+(x2z 2)dy+(y2x 2)dz|【知识模块】 高等数学27 【正确答案】 【知识模块】 高等数学28 【正确答案】 解得f(0，y)=Csiny由 f(0，2)=1，得 C=1，即 f(0，y)=siny又由 =f(x ，y)，得lnf(x，y)=x+ln(y)，即 f(x，y)=(y)e x ，由 f(0，y)=siny，得 (y)=siny，所以f(x，y)=e x siny【知识模块】 高等数学【知识模块】 高等数学29 【正确答案】 设 t 时刻导弹的位置为 M(x，y)，根据题意得所以导弹运行轨迹满足的微分方程及初始条件为【知识模块】 高等数学30 【正确答案】 【知识模块】 高等数学
