1、考研数学一（高等数学）模拟试卷 193 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设a n与b n为两个数列，下列说法正确的是( )（A）若a n与b n都发散，则a nbn一定发散（B）若 an与b n都无界，则a nbn一定无界（C）若 an无界且 anbn=0，则 bn=0（D）若 an 为无穷大，且 anbn=0，则 bn 一定是无穷小2 设 f(x)在 x=a 处可导，且 f(a)0，则|f(x)|在 x=a 处( )（A）可导（B）不可导（C）不一定可导（D）不连续3 下列说法中正确的是( )（A）若 f(x0)0，则 f(x)在 x0 的邻域内
2、单调减少（B）若 f(x)在 x0 取极大值，则当 x(x0，x 0)时，f(x)单调增加，当x(x0，x 0+)时，f(x)单调减少（C） f(x)在 x0 取极值，则 f(x)在 x0 连续（D）f(x)为偶函数，f“(0)0，则 f(x)在 x=0 处一定取到极值4 平面 与 1：x2y+z2=0 和 2：x2y+z6=0 的距离之比为 1：3，则平面 的方程为( ) （A）x2y+z=0（B） x2y+z3=0（C） x2y+z=0 或 x2y+z3=0（D）x2y+z4=05 累次积分 02 d0cosrf(rcos，rsin)dr 等于( ) 二、填空题6 7 设 f(x)在 x=
3、1 处一阶连续可导，且 f(1)=2，则 =_8 设 f(lnx)= ，则f(x)dx=_9 0x dx=_10 设 f(u)连续可导，且 04f(u)du=2，L 为半圆周 y= ，起点为原点，终点为B(2，0) ，则 I=Lf(x2+y2)(xdx+ydy)=_11 微分方程 xy= +y(x0)的通解为_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。12 13 设 f(x)在a，+)上连续， f(a)0，而 f(x)存在且大于零证明：f(x)在(a， +)内至少有一个零点14 设 f(x)二阶可导，f(0)=f(1)=0 且 f(x)=1证明：存在 (0，1)，使得 f“()814
4、设 f(x)在(1，1)内二阶连续可导，且 f“(x)0证明：15 对(1，1)内任一点 x0，存在唯一的 (x)(0， 1)，使得 f(x)=f(0)+xf(x)x；16 (x)=1217 设 f(x)在a，b上连续，在(a，b) 内二阶可导，f(a)=f(b)=0，且 f+(a)0证明：存在 (a，b)，使得 f“()018 设 f(x)在 x=x0 的邻域内连续，在 x=x0 的去心邻域内可导，且 f(x)=M证明：f(x0)=M19 求 x(4x 4)52 dx20 设 f(x)在( ，+)上有定义，且对任意的 x，y ( ，+)有|f(x)f(y)|xy|证明：| abf(x)dx(
5、ba)f(a)|12(ba) 221 设 f(x)在a，b上连续，且对任意的 t0，1 及任意的 x1，x 2a，b满足：ftx1+(1t)x 2tf(x1)+(1t)f(x 2)证明：21 22 f(x，y)在点(0，0)处是否连续 ?23 f(x，y)在点(0，0)处是否可微 ?24 设 z=(x2=y225 设 u=u(x，y)由方程组 u=f(x，y，z ，t)，g(y，z，t)=0 ，h(z，t)=0 确定，其中f，g， h 连续可偏导且26 设 f(x)在a，b上连续，证明： abf(x)dxxbf(y)dy=12 abf(x)dx227 设函数 f(x，y)在 D：x 2+y21
6、 有连续的偏导数，且在 L：x 2+y2=1 上有 f(x，y)0证明： f(0，0) 其中 Dr：r 2x2+y2128 求幂级数 x2n 的和函数29 设 y=y(x)是一向上凸的连续曲线，其上任意一点(x，y)处的曲率为 ，又此曲线上的点(0，1) 处的切线方程为 y=x+1，求该曲线方程，并求函数 y(x)的极值30 某湖泊水量为 V，每年排入湖泊中内含污染物 A 的污水量为 V6，流入湖泊内不含 A 的水量为 V6，流出湖的水量为 V3设 1999 年底湖中 A 的含量为5m0，超过国家规定指标为了治理污染，从 2000 年初开始，限定排入湖中含 A污水的浓度不超过 m0V问至多经过
7、多少年，湖中污染物 A 的含量降到 m0 以内(设湖中 A 的浓度是均匀的)?考研数学一（高等数学）模拟试卷 193 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 (A) 不对，如 an=2+(1) n，b n=2(1) n，显然a n与b n都发散，但anbn=3，显然a nbn收敛；(B)、(C) 都不对，如 an=n1+(1) n，b n=n1(1) n，显然a n与b n都无界，但 anbn=0，显然a nbn有界且 bn0；正确答案为(D) 【知识模块】 高等数学2 【正确答案】 A【试题解析】 不妨设 f(a)0，因为 f
8、(x)在 x=a 处可导，所以 f(x)在 x=a 处连续，于是存在 0，当|x a| 时，有 f(x)0，于是=f(a)，即|f(x)|在 x=a 处可导，同理当 f(a)0 时，|f(x)|在 x=a 处也可导，选(A)【知识模块】 高等数学3 【正确答案】 D【试题解析】 则 f(x)在 x=0的任意邻域内都不单调减少，(A)不对； f(x)在x=0 处取得极大值，但其在 x=0 的任一邻域内皆不单调，(B)不对；f(x)在 x=1 处取得极大值，但 f(x)在 x=1 处不连续，(C)不对；由 f(0)存在，得 f(0)存在，又 f(x)为偶函数，所以 f(0)=0，所以 x=0 一定
9、为f(x)的极值点，选(D) 【知识模块】 高等数学4 【正确答案】 C【试题解析】 设所求平面为 ：x2y+z+D=0，在平面 ：x2y+z+D=0 上取一点M0(x0，y 0，z 0)，d 1 因为d1：d 2=1：3 ，所以 D=0 或 D=3，选(C)【知识模块】 高等数学5 【正确答案】 D【试题解析】 积分所对应的直角坐标平面的区域为 D：0x1 ，0y ，选(D)【知识模块】 高等数学二、填空题6 【正确答案】 14【试题解析】 由 0xtsin(x2t 2)dt=12 0xsin(x2t 2)d(x2t 2)=12 sinudu，得【知识模块】 高等数学7 【正确答案】 1【试
10、题解析】 【知识模块】 高等数学8 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学9 【正确答案】 2【试题解析】 【知识模块】 高等数学10 【正确答案】 1【试题解析】 P(x ，y)=xf(x 2+y2)，Q(x，y)=yf(x 2+y2)，因为 =2xyf(x2+y2)，所以曲线积分与路径无关，故 I=Lf(x2+y2)(xdx+ydy)=12 (0，0) (2，0) f(x2+y2)d(x2+y2)=1 201f(t)dt=1【知识模块】 高等数学11 【正确答案】 lnx+C【试题解析】 【知识模块】 高等数学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。12 【正确答案】
11、 【知识模块】 高等数学13 【正确答案】 令 f(x)=k0，取 0=k20，因为 f(x)=k0，所以存在X00，当 xX0 时，有|f(x)k|k 2，从而 f(x)k20，特别地，f(X 0)0，因为 f(x)在a ，X 0上连续，且 f(a)f(X0)0，所以存在 (a，X 0)，使得 f()=0【知识模块】 高等数学14 【正确答案】 因为 f(x)在0 ，1上二阶可导，所以 f(x)在0，1上连续且 f(0)=f(1)=0， f(x)=1，由闭区间上连续函数最值定理知，f(x)在0，1取到最小值且最小值在(0，1) 内达到，即存在 c(0，1)，使得 f(c)=1，再由费马定理知
12、 f(c)=0，根据泰勒公式 f(0)=f(c)+f(c)(0c)+ (0 c)2， 1(0，C)f(1)=f(c)+f(c)(1c)+ (1c) 2， 2(c，1)整理得 f“(1)=2 c2，f“( 2)=2(1c) 2当c(0，12时，f“( 1)=2 c28，取 =1；当 c(12，1)时，f“( 2)=2(1c)28，取 =2所以存在 (0，1) ，使得 f“()8【知识模块】 高等数学【知识模块】 高等数学15 【正确答案】 对任意 x(1，1) ，根据微分中值定理，得f(x)=f(0)+xf(x)x，其中 0(x)1因为 f“(x)C(1，1)且 f“(x)0，所以 f“(x)在
13、(1，1)内保号，不妨设 f“(x)0，则f(x)在(1， 1)内单调增加，又由于 x0，所以 (x)是唯一的【知识模块】 高等数学16 【正确答案】 由泰勒公式，得 f(x)=f(0)+f(0)x+ x2，其中 介于 0 与 x 之间，而 f(x)=f(0)+xf(x)x，所以有令 x0，再由二阶导数的连续性及非零性，得 (x)=12【知识模块】 高等数学17 【正确答案】 因为 =f+(a)0，所以存在 0，当 0xa时，有 0，从而 f(x)f(a)，于是存在 c(a，b)，使得 f(c)f(a)=0由微分中值定理，存在 1(a，c) ， 2(c，b)，使得再由微分中值定理及 f(x)的
14、二阶可导性，存在 (1， 2) (a，b)，使得【知识模块】 高等数学18 【正确答案】 由微分中值定理得 f(x)f(x 0)=f()(xx 0)，其中 介于 x0 与 x 之间，即 f(x0)=M【知识模块】 高等数学19 【正确答案】 【知识模块】 高等数学20 【正确答案】 因为(ba)f(a)= abf(a)dx， 所以| abf(x)dx(ba)f(a)|=| abf(x)f(a)dx|ab|f(x) f(a)|dx ab(xa)dx=12(xa) 2|ab=12(ba) 2【知识模块】 高等数学21 【正确答案】 因为 abf(x)dx (ba) 01f(1t)bdt(ba)f(
15、a) 01dtd+f(b)01(1t)dt=(ba)【知识模块】 高等数学【知识模块】 高等数学22 【正确答案】 因为 0|f(x，y)| f(x，y)=0=f(0，0)，故 f(x，y)在点(0 ，0) 处连续【知识模块】 高等数学23 【正确答案】 所以 f(x，y)在点(0，0)处不可微【知识模块】 高等数学24 【正确答案】 【知识模块】 高等数学25 【正确答案】 方程组由五个变量三个方程构成，故确定了三个二元函数，其中x，y 为自变量，由 u=f(x，y，z，t)，g(y，z，t)=0，h(z，t)=0 ，得三个方程两边对 y 求偏导得【知识模块】 高等数学26 【正确答案】 令
16、 F(x)=axf(t)dt，则 abf(x)dxxbf(y)dy=abf(x)F(b)F(x)dx=F(b)abf(x)dx abf(x)F(x)dx=F2(b) abF(x)dF(x)=F2(b) F(x)|ab=12F 2(b)=12 abf(x)dx2【知识模块】 高等数学27 【正确答案】 =02f(cos，sin)f(rcos ，rsin)d= 02f(rcos，rsin)d，再根据积分中值定理得I=2f(rcos，rsin)其中 是介于 0 与 2 之间的值故原式= 2f(rcos，rsin)= f(rcos，rsin)=f(0， 0)【知识模块】 高等数学28 【正确答案】 级
17、数 x2n 的收敛半径为 R=+，收敛区间为(，+) =(2x2+1) 1( x+)【知识模块】 高等数学29 【正确答案】 因为曲线是上凸的，所以 y“0，由题设得令 y=p，y“=dpdx，则有dpdx= (1+p 2) arctanp=C1x因为曲线 y=y(x)在点(，1) 处的切线方程为y=x+1，所以 p|x=0=1，从而 y=tan( x)，积分得 y=ln|cos( x)|+C 2因为曲线过点(0， 1)，所以 C2=1+【知识模块】 高等数学30 【正确答案】 设从 2000 年初开始，第 t 年湖中污染物 A 的总量为 m，则浓度为 mV，任取时间元素t，t+at，排入湖中污染物 A 的含量为dt=m0dt，流出湖的污染物 A 的含量为 dt=m3dt，则在此时间元素内污染物 A 的改变量为 dm=( )dt解得 m= Ce t3 ，又由 m(0)=5m0，得 C=9m 02，于是 m=m02(1+9e t 3 )，令 m=m0，得 t=6ln3，即至多经过 7 年，湖中污染物 A 的含量不超过 m0【知识模块】 高等数学
