1、考研数学一（高等数学）模拟试卷 194 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f(x)= 在(，+)内连续，且 f(x)=0，则( ) （A）a0， b0（B） a0，b0（C） a0，b0（D）a0 ，b02 设 为 f(x)=arctanx 在0，a 上使用微分中值定理的中值，则 2a 2 为( )（A）1（B） 12（C） 13（D）143 设 f(x)二阶连续可导， =23，则( )（A）f(2)是 f(x)的极小值（B） f(2)是 f(x)的极大值（C） (2，f(2)是曲线 y=f(x)的拐点（D）f(2)不是函数 f(x)的极值，(2
2、，f(2)也不是曲线 y=f(x)的拐点4 （A）L 1L3（B） L1L2（C） L2L3（D）L 1L25 设 D=(x， y)|0x，0y，则 sinxsinymaxx，yd 等于( )（A）（B） 52（C） 53（D）546 设场 A=x3+2y，y 3+2z，z 3+2x，曲面 S：x 2+y2+z2=2z 内侧，则场 A 穿过曲面指定侧的通量为( ) （A）32（B） 32（C） 325（D）325二、填空题7 8 设 f(x)=x2 ，则 f(x)=_9 设xf(x)dx=arcsinx+c，则dxf(x)=_10 设连续非负函数 f(x)满足 f(x)f(x)=1，则 2 2
3、 =_11 以 y=C1ex+ex(C2cosx+C3sinx)为特解的三阶常系数齐次线性微分方程为 _三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。12 13 求 f(x)的间断点并分类14 一质点从时间 t=0 开始直线运动，移动了单位距离使用了单位时间，且初速度和末速度都为零证明：在运动过程中存在某个时刻点，其加速度绝对值不小于414 设 f(x)在0，1上二阶可导，且 |f(x)|a，|f“(x)|b，其中 a，b 都是非负常数，c为(0， 1)内任意一点15 写出 f(x)在 x=c 处带拉格朗日型余项的一阶泰勒公式；16 证明：|f(c)|2a+17 设 f(x)二阶可导，f(
4、0)=0，且 f“(x)0证明：对任意的 a0，b0，有 f(a+b)f(a)+f(b)18 设 f(x)在0，1上二阶可导，且 f(0)=f(1)=0证明：存在 (0，1)，使得 f“()=2f()1 19 20 设 f(x)在0，1上连续，且 0mf(x)M，对任意的 x0，1，证明： (01dxf(x)( 01f(x)dx)(m+M)24mM 21 设 f(x)Ca，b，在(a ，b)内二阶可导，且 f“(x)0，(x)是区间a，b上的非负连续函数，且 ab(x)dx=1证明： abf(x)(x)dxfabx(x)dx21 设 u=u(x，y，z)连续可偏导，令22 若 x =0，证明：
5、u 仅为 与 的函数23 若 ，证明：u 仅为 r 的函数24 设函数 z=f(u)，方程 u=(u)+yxP(t)dt 确定 u 为 x，y 的函数，其中 f(u)，(u)可微，P(t)，(u)连续，且 (u)1，求 P(y)25 设 f(x，y)，g(x，y)在平面有界闭区域 D 上连续，g(x，y)0证明：存在(，)D，使得26 设 L 是不经过点(2 ，0) ，( 2，0)的分段光滑简单正向闭曲线，就 L 的不同情形计算27 设 an 收敛，举例说明级数 an2 不一定收敛；若 an 是正项收敛级数，证明an2 一定收敛28 求幂级数 的和函数29 在 t=0 时，两只桶内各装 10L
6、 的盐水，盐的浓度为 15gL，用管子以 2Lmin的速度将净水输入到第一只桶内，搅拌均匀后的混合液又由管子以 2Lmin 的速度被输送到第二只桶内，再将混合液搅拌均匀，然后用 1Lmin 的速度输出求在任意时刻 t0，从第二只桶内流出的水中含盐所满足的微分方程考研数学一（高等数学）模拟试卷 194 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 因为 f(x)= 在( ，+) 内连续，所以 a0，又因为 f(x)=0，所以 b0选(C)【知识模块】 高等数学2 【正确答案】 C【试题解析】 令 f(a)f(0)=f()a，即 arct
7、ana= a，或者 2= 1，选(C)【知识模块】 高等数学3 【正确答案】 A【试题解析】 则存在0，当 0 |x2| 时，有 f(x)(x2) 30，即当 x(2，2)时，f(x)0；当 x(2，2+)时，f(x)0，于是 x=2 为 f(x)的极小值点，选 (A)【知识模块】 高等数学4 【正确答案】 D【试题解析】 三条直线的方向向量为 s 1=2，5，3，s 2=3，3，7，s3=1，3，1(2 ，1，1=2，1，5， 因为 s1s 2=0，所以 L1L2，选(D)【知识模块】 高等数学5 【正确答案】 B【试题解析】 根据对称性，令 D1=(x，y)|10x，0yx，=20xsin
8、xdx0xsinydy=20xsinx(1cosx)dx=20xsinxdx2 0xsinxcosxdx=0sinxdx 0dx 0xd(sin2x)=52，选(B)【知识模块】 高等数学6 【正确答案】 D【试题解析】 = (x3+2y)dydz+(y3+2z)dzdx+(z3+2x)dxdy【知识模块】 高等数学二、填空题7 【正确答案】 12【试题解析】 因为 x0 时， 1x2，于是原式=2(112)(3)=12【知识模块】 高等数学8 【正确答案】 2x(1+4x)e 8x【试题解析】 由 f(x) =x2e8x，得 f(x)=2xe8x+8x2e8x=2x(1+4x)e8x【知识模
9、块】 高等数学9 【正确答案】 13(1x 2)32 +C【试题解析】 由xf(x)dx=arcsinx+C 得=12(1x 2)12 d(1x 2)=1 3(1x 2)32 +C【知识模块】 高等数学10 【正确答案】 1【试题解析】 【知识模块】 高等数学11 【正确答案】 y“3y“+4y 2y=0【试题解析】 特征值为 1=1， 2，3 =1i，特征方程为( 1)(1+i)(1i)=0，即 33 2+42=0，所求方程为 y“3y“+4y2y=0【知识模块】 高等数学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。12 【正确答案】 【知识模块】 高等数学13 【正确答案】 x=k(
10、k=0，1，2，) 及 x=1 为 f(x)的间断点因为f(00)f(0+0)，所以 x=0 为跳跃间断点；=2 得 x=2 为可去间断点；当x=k(k=1，3，4，)时，由 f(x)=得 x=k(k=1，3，4，)为第二类间断点；由 f(x)=得 x=1 为第二类间断点【知识模块】 高等数学14 【正确答案】 设运动规律为 S=S(t)，显然 S(0)=0，S(0)=0，S(1)=1，S(1)=0由泰勒公式 S(12)=S(0)+ 14，S(12)=S(1)+ 1 4， 1(0，12)， 2(12，1)两式相减，得 S“(2)S“( 1)=8 |S“(1)|+|S“(2)|8当|S“( 1)
11、|S“(2)|时，|S“( 1)|4；当|S“( 1)|S“( 2)|时，|S“(2)|4【知识模块】 高等数学【知识模块】 高等数学15 【正确答案】 f(x)=f(c)+f(c)(xc)+ (xc) 2，其中 介于 c 与 x 之间【知识模块】 高等数学16 【正确答案】 分别令 x=0，x=1 ，得 f(0)=f(c) f(c)c+ c2， 1(0，c)，f(1)=f(c)+f(c)(1c)+ (1c) 2， 2(c，1)，两式相减，得 f(c)=f(1)f(0)+(1c) 2，利用已知条件，得|f(c)|2a+ c2+(1c) 2，因为c2+(1c) 21，所以|f(c)|2a+【知识
12、模块】 高等数学17 【正确答案】 不妨设 ab，由微分中值定理，存在 1(0，a) ， 2(b，a+b)，使得 两式相减得 f(a+b)f(a)f(b)=f( 2)f( 1)a因为f“(x)0，所以 f(x)单调增加，而 1 2，所以 f(1)f( 2)，故 f(a+b)f(a)f(b)=f(2)f( 1)a0，即 f(a+b)f(a)+f(b)【知识模块】 高等数学18 【正确答案】 令 (x)=(x1) 2f(x)，显然 (x)在0，1上可导由 f(0)=f(1)=0，根据罗尔定理，存在 c(0，1)，使得 f(c)=0，再由 (c)=(1)=0，根据罗尔定理，存在 (c，1) (0，1
13、)，使得 ()=0，而 (x)=2(x1)f(x)+(x1) 2f“(x)，所以2(1)f()+(1) 2f“()=0，整理得 f“()=【知识模块】 高等数学19 【正确答案】 【知识模块】 高等数学20 【正确答案】 因为 0mf(x)M，所以 f(x)m0，f(x)M0，从而两边积分得 01f(x)dx+Mm011f(x)dxM+m，因为 01f(x)dx+Mm011f(x)dx【知识模块】 高等数学21 【正确答案】 因为 f“(x)0，所以有 f(x)f(x0)+f(x0)(xx 0) 取 x0=abx(z)dx，因为 (x)0，所以 a(z)x(x)b(x)，又 ab(x)dx=1
14、， 于是有 aabx(x)dx=x0b把 x0=abx(x)dx 代入(x)f(x 0)+f(x0)(xx 0)中，再由 (x)0，得 f(x)(x)f(x0)(x)+f(x0)x(x)x 0(x)， 上述不等式两边再在区间口，6上积分，得 abf(z)(x)dxfabx(x)dx【知识模块】 高等数学【知识模块】 高等数学22 【正确答案】 所以 u 是不含 r 的函数，即 u 仅为 与 的函数【知识模块】 高等数学23 【正确答案】 从而=t(r2cos2cossinqg)+t(r2sin2cossin)+t(r 2sinqcos)=0故 u 仅是 r 的函数，即 u 不含 与 【知识模块
15、】 高等数学24 【正确答案】 z=f(u)两边对 x 及 y 求偏导，得方程 u=(u)+yxP(t)dt 两边对 x 及 y 求偏导，得【知识模块】 高等数学25 【正确答案】 因为 f(x，y)在 D 上连续，所以 f(x，y)在 D 上取到最大值 M 和最小值 m，故 mf(x，y)M又由 g(x，y)0 得 mg(x，y)f(x，y)g(x ，y)Mg(x ，y)积分得由介值定理，存在(，) D，使得【知识模块】 高等数学26 【正确答案】 =I1+I2 显然曲线积分 I1，I 2 都满足柯西一黎曼条件(1) 当(2 ，0)，( 20)都在 L 所围成的区域之外时，I 1=I2=0因
16、此 I=0；(2) 当(2，0)，(2，0)都在 L 所围成的区域之内时，分别以这两个点为中心以 r1，r 2 为半径的圆 C1，C 2，使它们都在 L 内，则同理 I2=2，因此 I=4；(3)N(2，0)，(2，0)有一个点在 L 围成的区域内，一个点在 L 围成的区域外时，I=2 【知识模块】 高等数学27 【正确答案】 令 an= 由交错级数的莱布尼茨审敛法，级数 收敛，取 0=1，存在自然数 N，当 nN 时，|a n0| 1，从而 0an1，当 nN 时，有 0an2a n1【知识模块】 高等数学28 【正确答案】 显然该幂级数的收敛区间为1，1，=xln(1x) (1x1) 则 S(x)=x+(1x)ln(1x) (1x1)当 x=1 时，S(1)= =1【知识模块】 高等数学29 【正确答案】 设在任意时刻 t0，第一只桶和第二只桶内含盐分别为 m1(t)，m2(t)，在时间t ，t+at内有 dm1= =0，且满足初始条件m1(0)=150，解得 m1(t)=150et 5 ；在时间t，t+dt内有且满足初始条件 m2(0)=150【知识模块】 高等数学
