1、考研数学一（高等数学）模拟试卷 195 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 (xa)，则 等于( )（A）e（B） e2（C） 1（D）e 122 设 f(x)在 x=a 处二阶可导，则 等于( )（A）f“(a)（B） f“(a)（C） 2f“(a)（D）12f“(a)3 设 f(x)连续可导，g(x) 在 x=0 的邻域内连续，且 g(0)=1，f(x)=sin2x+ 0xg(xt)dt，则( )（A）x=0 为 f(x)的极大点（B） x=0 为 f(x)的极小点（C） (0，f(0)为 y=f(x)的拐点（D）x=0 非极值点，(0，f(0
2、) 非 y=f(x)的拐点4 设 dxdy=163 ，其中 D：x 2+y2a2，则 a 为( )（A）1（B） 2（C）（D）二、填空题5 当 x0 时，xsinxcos2xcx k，则 c=_， k=_6 设 f(x)满足 f(x)=f(x+2)，f(0)=0，又在(1，1)内 f(x)=|x|，则 f(72)=_ 7 设 f(x)为连续函数，且满足 01f(xt)dt=f(x)+xsinx，则 f(x)=_8 I(x)=0x du 在区间1，1上的最大值为_9 设 y(x)为微分方程 y“4y+4y=0 满足初始条件 y(0)=1，y(0)=2 的特解，则 01y(x)dx=_三、解答题
3、解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。10 11 的间断点并判断其类型12 设 f(x)在0，1上二阶可导，且 |f“(x)|1(x0，1) ，又 f(0)=f(1)，证明：|f(x)|1 2(x0，1)12 设 f(x)在 a，a(a0)上有四阶连续的导数， f(x)x 3 存在13 写出 f(x)的带拉格朗日余项的麦克劳林公式；14 证明：存在 1， 2a ，a，使得 a5f(4)(1)=60a af(x)dx，a 4f(4)(1)=120f(2)15 设 f(x)在a，b上连续，且 f“(x)0，对任意的 x1，x 2a，b及 01，证明：fx1+(1)x 2f(x1)+(1)f(x
4、2)16 设 f(x)在0，1上连续，在 (0，1)内可导，且 f(0)=0，f(1)=1，证明：对任意的a0，b0，存在 ， (0，1)，使得 =a+b17 18 设 f(x)在a，b上连续且单调增加，证明： abxf(x)dx abf(x)dx19 令 f(x)=xx ，求极限20 求过直线 且与点(1，2，1)的距离为 1 的平面方程21 设 z=z(x，y)满足 证明：=022 设 f(x)在0，a(a0)上非负、二阶可导，且 f(0)=0，f“(x)0，( )为 y=f(x)，y=0，x=a 围成区域的形心，证明： 2a323 设 f(x，y， z)连续，为曲面 2z=x2+y2 位
5、于 z=2 与 z=8 之间部分的上侧，计算yf(x，y，z)+xdydz 十xf(x，y，z)+ydzdx+2xyf(x，y，z)+zdxdy24 设函数 u(x，y) ，v(x，y) 在 D：x 2+y21 上一阶连续可偏导，又 f(x，y)=v(x，y)i+u(x，y)j，g(x，y)=( )j，且在区域 D 的边界上有 u(x，y)1，v(x，y)y，求 fgd25 设 0an1n，级数 (1) nan2 中，哪个级数一定收敛?25 设 an=04 tannxdx26 求 1n(a n+an+2)的值；27 证明：对任意常数 0， ann 收敛28 求幂级数 xn 的和函数29 某人的
6、食量是 2500 卡天，其中 1200 卡天用于基本的新陈代谢在健身运动中，他所消耗的为 16 卡千克天乘以他的体重假设以脂肪形式储存的热量百分之百有效，而一千克脂肪含热量 10000 卡，求该人体重怎样随时间变化考研数学一（高等数学）模拟试卷 195 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 因为 ，所以 =0于是=e12 ，选(D)【知识模块】 高等数学2 【正确答案】 D【试题解析】 选(D)【知识模块】 高等数学3 【正确答案】 A【试题解析】 由 0xg(xt)dt 0xg(u)du 得 f(x)=sin2x+ 0xg(
7、u)du，f(0)=0，=2+g(0)=10，所以 x=0 为 f(x)的极大值点，应选 (A)【知识模块】 高等数学4 【正确答案】 B【试题解析】 =02d0ar dr= 0a(a2r 2)12 d(a2r 2) 解得 a=2，选(B)【知识模块】 高等数学二、填空题5 【正确答案】 136，3【试题解析】 因为 x0 时，sinx=x +o(x3)，cos2x=1 +o(x2)=1 2x2+o(x2)，sinxcos2x=x x3+o(x3)，所以 xsinxcos2x= x3+o(x3) x3，故 c=136，k=3【知识模块】 高等数学6 【正确答案】 18【试题解析】 因为在(1，
8、1)内 f(x)=|x|，所以在(1，1) 内 f(x)由 f(0)=0 得 f(x)【知识模块】 高等数学7 【正确答案】 cosxxsinx+C【试题解析】 由 01f(xt)dt=f(x)+xsinx，得 01f(xt)d(xt)=xf(x)+x2sinx，即 0xf(t)dt=xf(x)+x2sinx，两边求导得 f(x)=2sinx xcosx，积分得 f(x)=cosxxsinx+C【知识模块】 高等数学8 【正确答案】 ln3【试题解析】 令 I(x)= =0，得 x=12，当 x1，12)时，I(x)0，当 x(12，1时，I(x) 0，所以 x=12 为 I(x)在1，1上的
9、最小值点，又 I(1)=01 du=ln(u2u+1)| 01=0，I(1)= 01 du=ln(u 2u+1)|1 0= (0ln3)=ln3 ，故 I(x)在1，1上的最大值为 ln3【知识模块】 高等数学9 【正确答案】 12(e 2 1)【试题解析】 y“4y+4y=0 的通解为 y=(C1+C2x)e2x， 由初始条件 y(0)=1，y(0)=2得 C1=1，C 2=0，则 y=e2x， 于是 01y(x)dx=12 02exdx=12e x|02=12(e 21)【知识模块】 高等数学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。10 【正确答案】 因为 01(1u)sinxu
10、du= sinx， 12(u1)sinxudu【知识模块】 高等数学11 【正确答案】 f(x)的间断点为 x=0，1，2， 及 x=1当 x=0 时，f(00)=(x 21)= 1，f(0+0)=sin1，则 x=0 为函数 f(x)的第一类间断点中的跳跃间断点当 x=1 时， f(x)=2，则 x=1 为 f(x)的第一类间断点中的可去间断点当 x=k(k=2，3，) 时， f(x)=，则x=k(k=2，3，)为函数 f(x)的第二类间断点当 x=1 时，因为 f(x)不存在，所以 x=1 为 f(x)的第二类间断点【知识模块】 高等数学12 【正确答案】 由泰勒公式得 f(0)=f(x)
11、f(x)x+ f“(1)x2， 1(0，x)，f(1)=f(x)+f(x)(1x)+ f“(2)(1x) 2， 2(x，1)，两式相减，得 f(x)=12f“( 1)x2 f“(2)(1x) 2两边取绝对值，再由|f“(x)|1 ，得|f(x)|12x 2+(1x) 2=(x 12【知识模块】 高等数学【知识模块】 高等数学13 【正确答案】 由 f(x)x 3 存在，得 f(0)=0，f(0)=0，f“(0)=0 ，则 f(x)的带拉格朗日余项的麦克劳林公式为 其中 介于 0 与 x 之间【知识模块】 高等数学14 【正确答案】 上式两边积分得 a af(x)dx=124 a af(4)()
12、x4dx 因为 f(4)(x)在a，a 上为连续函数，所以 f(4)(x)在 a，a上取到最大值 M 和最小值 m，于是有 mx4f(4)()x4Mx4， 两边在 a，a 上积分得 2m5a 5a af(4)()x4dx2M5a 5， 从而 ma560124 a af(4)()x4dxMa560，或 ma560 a af(x)dxMa560， 于是 m60a 5a af(x)dxM， 根据介值定理，存在 1a ，a，使得 f(4)(1)=60a 5a af(x)dx，或 a5f(4)(1)=60a af(x)dx 再由积分中值定理，存在2 a，a ，使得 a 5f(4)(1)=60a af(x
13、)dx=120af(2)，即 a4f(4)(1)=120f(2)【知识模块】 高等数学15 【正确答案】 令 x0=x1+(1)x 2，则 x0a，b ，由泰勒公式得 f(x)=f(x0)+f(x0)(xx 0)+ (xx 0)2，其中 介于 x0 与 x 之间，因为 f“(x)0，所以 f(x)f(x0)+f(x0)(xx 0)， 两式相加，得 fx1+(1)x 2f(x1)+(1)f(x 2)【知识模块】 高等数学16 【正确答案】 因为 f(x)在0 ，1上连续，f(0)=0，f(1)=1，且 f(0) f(1) ，所以由端点介值定理，存在 c(0，1)，使得 f(c)= 由微分中值定理
14、，存在(0， c)， (c，1) ，使得【知识模块】 高等数学17 【正确答案】 【知识模块】 高等数学18 【正确答案】 方法一 因为 f(x)在a， b上单调增加，所以 ab(x)dx0，故 abxf(x)dx f(x)dx方法二令 (x)=axtf(t)dt axf(t)dt，显然 (a)=0(x)=xf(x)=1 2 axf(t)dt f(x)=12(xa)f(x) axf(t)dt=12 axf(x)dt axf(x)dt=12 axf(x)f(t)dt0 得 (b)(a)=0，所以 abxf(x)dx abf(x)dx【知识模块】 高等数学19 【正确答案】 因为x+m=x+m(
15、其中 m 为整数)，所以 f(x)=xx是以 1 为周期的函数，又xx，故 f(x)0，且 f(x)在0，1上的表达式为 f(x)=对充分大的 x，存在自然数 n，使得 nxn+1，则 0nf(x)dx0xf(x)dx0n+1f(x)dx，而 0nf(x)dx=n01f(x)dx=n01xdx=n2，同理 0n+1f(x)dx=显然当 x+时，n，由夹逼定理得【知识模块】 高等数学20 【正确答案】 过直线 的平面束方程为 ：(3x2y+2)+(x2yz+6)=0 ，或 ：(3+)x2(1+)yz+2+6=0，点(1 ，2，1)到平面 的距离为 解得 =2 或=3，于是所求的平面方程为 ：x+
16、2y+2z 10=0，或 ：4y+3z16=0【知识模块】 高等数学21 【正确答案】 【知识模块】 高等数学22 【正确答案】 令 (x)=0x(t )f(t)dt，(0)=0 ， (x)= 0xf(t)dt，(0)=0，“(x)=0x因为 f“(x)0，所以 f(x)单调增加，所以 “(x)0由(x)0(x0)(a)0，原不等式得证【知识模块】 高等数学23 【正确答案】 曲面 2z=x2+y2 上任一点(x，y，z)指向上侧的法向量为n=x，y，1，法向量的方向余弦为则yf(x，y，z)+xdydz+xf(x，y，z)+ydzdx+2xyf(x，y，z)+zdxdy= (yf(x，y，z
17、)+xcos+xf(x，y，z)+ycos+2xyf(x，y，z)+zcosdS所以原式=12 (x2+y2)dxdy= 12 02d24r3dr=60 【知识模块】 高等数学24 【正确答案】 =02(sin 2+sincos)d=(其中 L 为单位圆周的正向)【知识模块】 高等数学25 【正确答案】 (1) nan2 一定收敛由 0an1n，得 0an21n 2，又(1) nan2 绝对收敛，所以 (1) nan2 一定收敛【知识模块】 高等数学【知识模块】 高等数学26 【正确答案】 a n+an+2【知识模块】 高等数学27 【正确答案】 【知识模块】 高等数学28 【正确答案】 由 =0，得收敛半径 R=+，该幂级数的收敛区间为(， +)，=x2ex+xex+ex=(x2+x+1)ex ( x+)【知识模块】 高等数学29 【正确答案】 输入率为 2500 卡天，输出率为(1200+16w)，其中 w 为体重，根据题意得 dwdt= ，w(0)=w 0，【知识模块】 高等数学
