1、考研数学一（高等数学）模拟试卷 196 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设函数 f(x)连续，且 f(0)0，则存在 0 使得( )（A）对任意的 x(0，)有 f(x)f(0)（B）对任意的 x(0，)有 f(x)f(0)（C）当 x(0，)时，f(x)为单调增函数（D）当 x(0，)时，f(x) 是单调减函数2 设 f(x)在 x=0 处二阶可导，f(0)=0 且 =2，则( )（A）f(0)是 f(x)的极大值（B） f(0)是 f(x)的极小值（C） (0，f(0)是曲线 y=f(x)的拐点（D）f(0)不是 f(x)的极值，(0，f(0)
2、也不是曲线 y=f(x)的拐点3 设 f(x)二阶连续可导，且 f“(x)x=1，则( ) （A）f(0)是 f(x)的极小值（B） f(0)是 f(x)的极大值（C） (0，f(0)是曲线 y=f(x)的拐点（D）x=0 是 f(x)的驻点但不是极值点4 设 y(x)是微分方程 y“+(x1)y+x 2y=ex 满足初始条件 y(0)=0，y(0)=1 的解，则( )（A）等于 1（B）等于 2（C）等于 0（D）不存在二、填空题5 6 若 f(x)=2nx(1x) n，记 Mn= Mn=_7 8 设 f(x)的一个原函数为 sinxx，则 2 xf(x)dx=_三、解答题解答应写出文字说明
3、、证明过程或演算步骤。9 设 f(x)连续，f(0)=0 ，f(0)0，F(x)= 0xtf(t2x 2)dt，且当 x0 时，F(x) x n，求 n及 f(0)10 设 f(x)= (sintsinx) xsintsinx ，求 f(x)的间断点并指出其类型11 设 f(x)在a，b上二阶可导，且 f(a)=f(b)=0证明：存在 (a，b)，使得|f“()|f(b)f(a)|12 设 f(x)二阶可导， f(x)x=1 且 f“(x)0证明：当 x0 时，f(x) x12 设 fn(x)=x+x2+xn(n2)13 证明方程 fn(x)=1 有唯一的正根 xn；14 求 xn15 设 a
4、1a 2a n，且函数 f(x)在a 1，a n上 n 阶可导，c a1，a n且 f(a1)=f(a2)=f(an)=0证明：存在 (a1，a n)，使得16 17 设 f(x)在(0，+)内连续且单调减少证明： 1n+1f(x)dx f(k)f(1)+1nf(x)dx18 为清除井底污泥，用缆绳将抓斗放入井底，抓起污泥提出井口设井深 30m，抓斗自重 400N，缆绳每米重 50N，抓斗盛污泥 2000N，提升速度为 3ms，在提升过程中，污泥以 20Ns 的速度从抓斗中漏掉现将抓斗从井底提升到井口，问克服重力做功多少?19 已知点 P(1，0，1)与点 Q(3，1，2)，在平面 x2y+z
5、=12 上求一点 M，使得|PM|+|MQ|最小20 求二元函数 z=f(x，y)=x 2y(4xy)在由 x 轴、 y 轴及 x+y=6 所围成的闭区域 D上的最小值和最大值21 设 f(x)连续，且 f(0)=1，令 F(t)= f(x2+y2)dxdy(t0)，求 F“(0)22 设函数 f(x)Ca，b，且 f(x)0，D 为区域 axb，ayb 证明： f(x)f(y)dxdy(ba) 223 设 f(x，y)dx+xcosydy=t 2，f(x，y)有一阶连续偏导数，求 f(x，y)24 设曲线 L 的长度为 l，且 =M证明：| LPdx+Qdy|Ml25 若正项级数 un 收敛
6、，证明： 收敛25 证明：26 设 an0，且 nan有界，则级数 an2。收敛；27 若 n2an=k0，则级数 an 收敛28 29 一条均匀链条挂在一个无摩擦的钉子上，链条长 18m，运动开始时链条一边下垂 8m，另一边下垂 10m，问整个链条滑过钉子需要多长时间?考研数学一（高等数学）模拟试卷 196 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】 因为 f(0) 0所以 0，根据极限的保号性，存在0，当 x(0，)时，有 0，即 f(x)f(0)，选(A)【知识模块】 高等数学2 【正确答案】 B【试题解析】 由 =2，得 f
7、(0)+f(0)=0，于是 f(0)=0再由=f(0)+f“(0)=2，得 f“(0)=2 0，故 f(0)为 f(x)的极小值，选(B)【知识模块】 高等数学3 【正确答案】 C【试题解析】 因为 f(x)二阶连续可导，且 f“(x)x=1，所以 f“(x)=0，即f“(0)=0又 f“(x)x=10，由极限的保号性，存在 0，当 0|x| 时，有 f“(x)x0，即当 x(，0)时，f“(x)0，当 x(0，)时，f“(x)0，所以(0，f(0)为曲线 y=f(x)的拐点，选(C)【知识模块】 高等数学4 【正确答案】 A【试题解析】 微分方程 y“+(x1)y+x 2y=ex 中，令 x
8、=0，则 y“(0)=2，于是选(A)【知识模块】 高等数学二、填空题5 【正确答案】 12【试题解析】 【知识模块】 高等数学6 【正确答案】 2e【试题解析】 由 f(x)=2n(1x) n2n 2x(1x) n1 =0 得 x=【知识模块】 高等数学7 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学8 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。9 【正确答案】 F(x)= 0xtf(t2x 2)dt=12 0xf(t2x 2)d(t2x 2)则 n2=2 ，n=4，且=14f(0)=1，于是 f(0)=4【知识模块】 高等数学
9、10 【正确答案】 首先 f(x)其次f(x)的间断点为 x=k(k=0，1，)，因为 f(x)=e，所以 x=0 为函数 f(x)的第一类间断点中的可去间断点，x=k(k=1，)为函数 f(x)的第二类间断点【知识模块】 高等数学11 【正确答案】 由泰勒公式得两式相减得 f(b)f(a)= f“(1)f“( 2)，取绝对值得|f(b)f(a)| |f“(1)|+|f“(2)|(1)当|f“( 1)|f“(2)|时，取 =1，则有|f“()| |f(b)f(a)|；(2)当|f“(1)|f“( 2)|时，取 =2，则有|f“()| |f(b)f(a)|【知识模块】 高等数学12 【正确答案】
10、 由 f(x)x=1 ，得 f(0)=0，f(0)=1，又由 f“(x)0 且 x0，所以f(x)f(0)+f(0)x=x【知识模块】 高等数学【知识模块】 高等数学13 【正确答案】 令 n(x)=fn(x)=1，因为 n(0)=10， n(1)=n10，所以 n(x)在(0， 1) (0，+)内有一个零点，即方程 fn(x)=1 在(0，+)内有一个根因为n(x)=1+2x+nxn1 0，所以 n(x)在(0，+) 内单调增加，所以 n(x)在(0，+)内的零点唯一，所以方程 fn(x)=1 在(0，+)内有唯一正根，记为 xn【知识模块】 高等数学14 【正确答案】 由 fn(zn)f
11、n+1(xn+1)=0，得(x nx n+1)+(xn2x n+12)+(xnnx n+1n)=xn+1n+10，从而 xnx n+1，所以x nn=1单调减少，又 xn0(n=1，2，)，故xn 存在，设 xn=A，显然 Axnx1=1，由 xn+xn2+xnn=1，得 =1，两边求极限得 A(1A)=1 ，解得 A=12，即 xn=12【知识模块】 高等数学15 【正确答案】 当 c=ai(i=1，2，n)时，对任意的 (a1，a n)，结论成立；设C 为异于 a1，a 2，a n 的数，不妨设 a1ca 2 a n构造辅助函数 (x)=f(x)k(xa 1)(xa 2)(x an)，显然
12、 (x)在a 1，a n上 n 阶可导，且 (a1)=(c)=(a2)=(a n)=0，由罗尔定理，存在 1(1)(a1，c)， 2(1)(c，a 2)， n(1)(an1 ，a n)，使得(1(1)=(2(1)=( n(1)=0，(x)在(a 1，a n)内至少有 n 个不同零点，重复使用罗尔定理，则 (1)(x)在(a 1，a n)内至少有两个不同零点，设为 c1，c 2(a1，a n)，使得(n1) (c1)=(n1) (c2)=0，再由罗尔定理，存在 (c1，c 2) (a1，a n)，使得 (n)()=0而 (n)(x)=f(n)(x)n!k，所以 f(n)()=n!k，从而有【知识
13、模块】 高等数学16 【正确答案】 =ln|x2lnx|+C【知识模块】 高等数学17 【正确答案】 1n+1f(x)dx=12f(x)dx+f23f(x)dx+ nn+1f(x)dx，当 x1，2时，f(x)f(1)，两边积分得 12f(x)dxf(1)，同理 23f(x)dxf(2)， nn+1f(x)dxf(n)，相加得1n+1f(x)dx f(k)；当 x1，2时，f(2)f(x)，两边积分得 f(2)12(x)dx，同理 f(3)23f(x)dx，f(n) n1 nf(x)dx，相加得 f(2)+f(n) 1nf(x)dx，于是 f(k)f(1)+1nf(x)dx【知识模块】 高等数
14、学18 【正确答案】 设拉力对空斗所做的功为 W1，则 W1=40030=12000(J)设拉力对绳所做的功为 W2，任取 x，x+dx 0，30，dW 2=50(30x)dx，则W2=030dW2=22500(J)设拉力对污泥做功为 W3，任取t，t+dt 0，10，dW3=(200020t)3dt ，则 W3=0100dW3=57000(J)，拉力克服重力所做的功为W=W1+W2+W3=91500(J)【知识模块】 高等数学19 【正确答案】 把点 P 及点 Q 的坐标代入 x2y+z12 得 1112=12 及32+2 12=9，则点 P 及 Q 位于平面 的同侧过点 P 且垂直于平面
15、的直线方程为 得 x=1+t，y= 2t，z=t 1，把x=1+t，y=2t，z=t1 代入平面 得 t=2，所以直线 L1 与平面 的交点坐标为T(3，4，1)令点 P 关于平面 的对称点为 P(x0，y 0，z 0)，则有解得对称点的坐标为P(5，8，3) =2， 9，1 ，过点 P及点 Q 的直线为 L2：得 x=3+2t，y=1 9t，z=2+t ，把x=3+2t，y=19t，z=2+t 代入平面 得 t=37，所求点 M 的坐标为M(277，207，177)【知识模块】 高等数学20 【正确答案】 (1)求 f(x，y)在区域 D 的边界上的最值，在 L1：y=0(0x6) 上，z=
16、0；在 L2： x=0(0y6)上，z=0；在 L3：y=6x(0x6)上，z=2x 2(6x)=2x3 12x2，由 dzdx=6x 224x=0 得 x=4，因为 f(0，6)=0 ，f(6，0)=0，f(4，2)=64，所以 f(x，y) 在 L3 上最小值为64，最大值为 0(2)在区域 D 内，由得驻点为(2，1)，因为ACB 20 且 A0，所以(2，1)为 f(x，y)的极大值点，极大值为 f(2，1)=4 ，故z=f(x，y)在 D 上的最小值为 m=f(4，2)64，最大值为 M=f(2，1)=4【知识模块】 高等数学21 【正确答案】 由 F(t)=02d0trf(r2)d
17、r=20tfrf(r2)dr= f(u)du，得 F(t)=2t(t2)，F(0)=0，【知识模块】 高等数学22 【正确答案】 因为积分区域关于直线 y=x 对称，又因为 f(x)0，所以 2，从而=(ba) 2【知识模块】 高等数学23 【正确答案】 因为曲线积分与路径无关，所以有 cosy=fy(x，y)，则 f(x，y)=siny+C(x)，而 f(x， y)dx+xcosydy=t2，即 0tC(x)dx+ tcosydy=t2，两边对 t 求导数得 C(t)=2tsint 22t 2cost2，于是 f(x，y)=siny+2xsinx 22x 2cosx2【知识模块】 高等数学2
18、4 【正确答案】 Pdx+Qdy=P ，Qdx，dy ，因为|ab|a|b| ，所以有|Pdx+Qdy| Mds，于是|LPdx+Qdy|L|Pdx+Qdy|LMds=MLds=Ml【知识模块】 高等数学25 【正确答案】 因为 un 收敛，所以 un=0，当 x0 时，ln(1+x)x，于是为正项级数，而 ln(1+un)=un +o(un2)，【知识模块】 高等数学【知识模块】 高等数学26 【正确答案】 因为na n有界，所以存在 M0，使得 0na nM，即0a n2M2n 2，而级数 M2n 2 收敛，所以级数 an2 收敛【知识模块】 高等数学27 【正确答案】 取 0=k20，因
19、为 h2an=k0，所以存在 N0，当 nN 时，|n2ank|k 2，即 0n 2an3k2，或者 0a n 3k2 1n 2，【知识模块】 高等数学28 【正确答案】 令S(x)= n(n1)x n2 ，显然其收敛域为(1，1)，【知识模块】 高等数学29 【正确答案】 设链条的线密度为 ，取 x 轴正向为垂直向下，设 t 时刻链条下垂 x(t)m，则下垂那段的长度为(10+x)m，另一段长度为(8x)m，此时链条受到的重力为(10+x)g(8x)g=2(x+1)g链条的总重量为 18，由牛顿第二定理F=ma 得 18d2xdt 2=2g(x+1)，即 x=g9，且 x(0)=0，x(0)=0 ，当链条滑过整个钉子时，x=8，【知识模块】 高等数学
