1、考研数学一（高等数学）模拟试卷 197 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f(x)是二阶常系数非齐次线性微分方程 y“+py+qy=sin2x+2ex 的满足初始条件f(0)=f(0)=0 的特解，则当 x0 时， ( )（A）不存在（B）等于 0（C）等于 1（D）其他2 设 f(x)在 x=a 处的左、右导数都存在，则 f(x)在 x=a 处( )（A）一定可导（B）一定不可导（C）不一定连续（D）连续3 设函数 f(x)满足关系 f“(x)+f2(x)=x，且 f(0)=0，则( )（A）f(0)是 f(x)的极小值（B） f(0)是 f(
2、x)的极大值（C） (0，f(0)是 y=f(x)的拐点（D）(0 ，f(0) 不是 y=f(x)的拐点4 二阶常系数非齐次线性微分方程 y“2y3y=(2x+1)e x 的特解形式为( )（A）(ax+b)e x（B） x2ex（C） x2(ax+b)ex（D）x(ax+b)e x二、填空题5 6 设 f(x)在 x=a 的邻域内二阶可导且 f(a)0，则7 8 y= 上的平均值为_9 设直线 L1： =z1，则过直线 L1 且平行于 L2 的平面方程为_10 已知 f(x)= ，则 f(n)(3)=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。11 设 f(x)在1，+)内可导，f(
3、x)0 且 f(x)=a0，令 an= f(k) 0nf(x)dx证明：a n收敛且 0 anf(1)12 求函数 y=ln(x+ )的反函数13 f(x)在 1，1上三阶连续可导，且 f(1)=0，f(1)=1，f(0)=0证明：存在(1 ，1)，使得 f“()=314 设 f(x)在0，+)内可导且 f(0)=1，f(x)f(x)(x 0)证明：f(x)e x(x0)14 设函数 f(x)= 其中 g(x)二阶连续可导，且 g(0)=115 确定常数 a，使得 f(x)在 x=0 处连续；16 求 f(x)；17 讨论 f(x)在 x=0 处的连续性18 设 f(x)二阶连续可导，且 f“
4、(x)0，又 f(x，+h)=f(x)+f(x+h)h(01)证明：=1219 20 设 f(x)在0，1上连续且单调减少证明：当 0k1 时， 0kf(x)dxk01f(x)dx21 设 A(1，0，4) ， ： 3x4y+z+10=0，L： =z2，求一条过点 A与平面 平行，且与直线 L 相交的直线方程22 求函数 u=x+y+z 在沿球面 x2+y2+z2=1 上的点(x 0，y 0，z 0)的外法线方向上的方向导数，在球面上怎样的点使得上述方向导数取最大值与最小值?23 计算二重积分 I=01dx24 设 f(x)连续，F(t)= z2+f(x2+y2)dv，其中 V=(x，y，z)
5、|x2+y2t2，0zh(t0)，求 F(t)t 225 设 L 为曲线|x|+|y|=1 的逆时针方向，计算26 设 an=01x2(1x) ndx，讨论级数 an 的敛散性，若收敛求其和27 设 an+1a nbn+1b n(n=1，2，；a n0，b n0)，证明：(1)若级数 bn 收敛，则级数 an 收敛； (2)若级数 an 发散，则级数 bn 发散28 将函数 f(x)=arctan 展开成 x 的幂级数29 质量为 1g 的质点受外力作用作直线运动，外力和时间成正比，和质点的运动速度成反比，在 t=10s 时，速度等于 50cms外力为 392cm s 2，问运动开始1min
6、后的速度是多少?考研数学一（高等数学）模拟试卷 197 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 因为 f(0)=f(0)=0，所以 f“(0)=2，于是 =1，选(C)【知识模块】 高等数学2 【正确答案】 D【试题解析】 因为 f(x)在 x=a 处右可导，所以 f(x)=f(a)，即 f(x)在 x=a 处右连续，同理由 f(x)在 x=a 处左可导，得 f(x)在 x=a 处左连续，故 f(x)在 x=a 处连续，由于左、右导数不一定相等，选(D) 【知识模块】 高等数学3 【正确答案】 C【试题解析】 由 f(0)=0
7、得 f“(0)=0，f“(x)=12f(x)f“(x)，f“(0)=1 0，由极限保号性，存在 0，当 0|x| 时，f“(x) 0，再由 f“(0)=0，得故(0，f(0)是曲线 y=f(x)的拐点，选(C)【知识模块】 高等数学4 【正确答案】 D【试题解析】 方程 y“2y3y=(2x+1)e x 的特征方程为 223=0，特征值为1=1， 2=3，故方程 y“2y=3y=(2x+1)e x 的特解形式为 x(ax+b)ex ，选(D) 【知识模块】 高等数学二、填空题5 【正确答案】 2【试题解析】 )xa=ea， atetdt= atd(et)=tet| a aetdt=aeae a
8、，由 ea=aeae a 得 a=2【知识模块】 高等数学6 【正确答案】 f“(a)2f 2(a)【试题解析】 【知识模块】 高等数学7 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学8 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学9 【正确答案】 ：x3y+z+2=0【试题解析】 所求平面的法向量为 n=1，0，12，1，1=1 ，3，1，又平面过点(1 ，2，3) ，则所求平面方程为 ：(x1) 3(y 2)+(z3)=0，即：x 3y+z+2=0【知识模块】 高等数学10 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。11
9、 【正确答案】 因为 f(x)0，所以 f(x)单调减少又因为 an+1a n=f(n+1) nn+1f(x)dx=f(n+1)f()0(n，n+1)，所以a n单调减少因为 an= kk+1f(k)f(x)dx+f(n) ，而 kk+1f(k)f(x)dx0(k=1，2?， n1) 且 f(x)=a0，所以存在 X0，当 xX 时，f(x)0由 f(x)单调递减得 f(x)0(x 1，+)，故 anf(n)0，所以 an 存在由 an=f(1)+f(2) 12f(x)dx+f(n) n1 nf(x)dx，而 f(k) k1 kf(x)dx0(k=2，3，n)，所以 anf(1)，从而 0 a
10、nf(1)【知识模块】 高等数学12 【正确答案】 令 f(x)=ln(x+ )，因为 f( x)=f(x) ，所以函数 y=ln(x+ )为奇函数，于是 即函数 y=ln(x+ )的反函数为 x=shy【知识模块】 高等数学13 【正确答案】 由泰勒公式得 f(1)=f(0)+f(0)( 10)+ (10) 3， 1(1，0)， f(1)=f(0)+f(0)(10)+(10) 3， 2(0，1)，两式相减得 f“(1)+f“(2)=6因为 f(x)在1，1上三阶连续可导，所以 f“(x)在 1， 2上连续，由连续函数最值定理，f“(x) 在 1， 2上取到最小值 m 和最大值 M，故 2mf
11、“(1)+f“(2)2M，即 m3M由闭区间上连续函数介值定理，存在 1， 2 (1，1)，使得 f“()=3【知识模块】 高等数学14 【正确答案】 令 (x)=ex f(x)，则 (x)在0，+)内可导， 又 (0)=1，(x)=ex f(x)f(x)0(x0)，所以当 x0 时，(x)(0)=1， 所以有 f(x)e x(x0)【知识模块】 高等数学【知识模块】 高等数学15 【正确答案】 当 a=g(0)时，f(x)在 x=0 处连续【知识模块】 高等数学16 【正确答案】 【知识模块】 高等数学17 【正确答案】 因为 f(x)=f(0)，所以 f(x)在 x=0 处连续【知识模块】
12、 高等数学18 【正确答案】 由泰勒公式得 f(x+h)=f(x)+f(x)h+ h2，其中 介于 x 与 x+h 之间由已知条件得 f(x+h)h=f(x)h+ h2，或 f(x+h)f(x)= h，两边同除以h，得【知识模块】 高等数学19 【正确答案】 因为(x 2ex)=(x2+2x)ex，【知识模块】 高等数学20 【正确答案】 方法一 0kf(x)dxk 01f(x)dx=0kf(x)dxk 0kf(x)dx+k1f(x)dx=(1k)0kf(x)dxk k1f(x)dx=k(1k)f( 1)f( 2)其中 10，k， 2k，1因为 0k1且 f(x)单调减少，所以 0kf(x)d
13、xk 01f(x)dx=k(1k)f( 1)f( 2)0，故 0kf(x)dxk01f(x)dx方法二 0kf(x)dx k01f(kx)dt=k01f(kx)dx，当 x0，1时，因为0k1，所以 kxx，又因为 f(x)单调减少，所以 f(kx)f(x)，两边积分得 01f(kx)dx01f(x)dx，故 k01f(kx)dxk01f(x)dx，即 0kf(x)dxk01f(x)dx【知识模块】 高等数学21 【正确答案】 过 A(1，0，4)且与平面 ：3x 4y+z+10=0 平行的平面方程为1：3(x+1)4y+(z4)一 0，即 1：3x4y+z1=0代入 1：3x 4y+z 1=
14、0 ，得 t=16，则直线L 与 1 的交点为 M0(15，19，32)，所求直线的方向向量为 S=16，19，28 ，所求直线为【知识模块】 高等数学22 【正确答案】 球面 x2+y2+z2=1 在点(x 0，y 0，z 0)处的外法向量为n=2x0，2y 0，2z 0，方向余弦为 cos= =x0，cos=y 0，cos=z 0，又 =1，所求的方向导数为 =x0+y0+z0令F=x+y+z+(x2+y2+z21) ，当(x，y， z)=( )时，方向导数取最大值 ；当(x，y，z)=( )时，方向导数取最小值【知识模块】 高等数学23 【正确答案】 【知识模块】 高等数学24 【正确答
15、案】 F(t)= 02d0trdr0hz2+f(r2)dz=20tr +hf(r2)dr，【知识模块】 高等数学25 【正确答案】 令 C：x 2+4y2=r2(r0) 逆时针且 C 在曲线 L 内，则有【知识模块】 高等数学26 【正确答案】 a n=01x2(1x) ndx 10(1t) 2tn( dt) 01(tn+22t n+1+tn)dt因为 an2n 3 且 2n 3 收敛，所以 an 收敛【知识模块】 高等数学27 【正确答案】 (1)由 an+1a nbn+1b n，得 an+1 bn+1anb n，则数列单调递减有下界，根据极限存在准则，【知识模块】 高等数学28 【正确答案】 f(0)= 4，f(x)= (1) nx2n (1x1)，由逐项可积性得 f(x)f(0)= 0xf(x)dx= x2n+1所以 f(x)= x2n+1 (1x1)【知识模块】 高等数学29 【正确答案】 由题意得 F=ktv，因为当 t=10 时，v=50 ，F=392，所以k=196，从而 F=196tv，又因为 F=mdvdt，所以 dvdt=196tv，分离变量得vdv=196tdt，所以 12v 2=98t2+C，由 v|t=10=50，得 C=8550，【知识模块】 高等数学
