1、考研数学一（高等数学）模拟试卷 199 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 f(x)在 x0 处可导，则|f(x)|在 x0 处( )。（A）可导（B）不可导（C）连续但不一定可导（D）不连续2 设 f(x)在a，+)上二阶可导， f(a)0，f(a)=0，且 f“(x)k(k0)，则 f(x)在(a， +)内的零点个数为( )（A）0 个（B） 1 个（C） 2 个（D）3 个3 设 F(x)=xx+2esintsintdt，则 F(x)( )（A）为正常数（B）为负常数（C）为零（D）取值与 x 有关二、填空题4 设 f(x)连续，f(0)=0 ，
2、f(0)=1，则5 6 7 两异面直线 L1： 之间的距离为_8 设 f(u，v)一阶连续可偏导，f(tx ，ty)=t 3f(x，y) ，且 f1(1，2)=1，f 2(1，2)=4，则f(1，2)=_9 三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。10 11 设 a1n=1，当 n1 时，a n+1= ，证明：数列a n收敛并求其极限12 13 证明：当 x0 时，(x 21)lnx(x1) 214 设 a0，讨论方程 aex=x2 根的个数14 设平面曲线 L 上一点 M 处的曲率半径为 ，曲率中心为 A，AM 为 L 在点 M 处的法线，法线上的两点 P，Q 分别位于 L 的两侧
3、，其中 P 在 AM 上，Q 在 AM 的延长线 AN 上，若 P，Q 满足|AP|AQ|= 2，称 P，Q 关于 L 对称设L：y=x 22，P 点的坐标为(12，1)15 求点 M，使得 L 在 M 点处的法线经过点 P，并写出法线的参数方程；16 求点 P 关于 L 的对称点 Q 的坐标17 设 f(x)连续，且 0xtf(2xt)dt=1 2arctanx 2，f(1)=1，求 12f(x)dx18 设 f(x)连续， 0xtf(xt)dt=1 cosx，求 02 f(x)dx19 设 f(x)在0，a上一阶连续可导，f(0)=0，令 |f(x)|=M证明：| 0af(x)dx|a22
4、M20 设二元函数 f(x，y)=|x y|(x ，y)，其中 (x，y)在点(0，0)处的某邻域内连续证明：函数 f(x，y)在点(0 ，0)处可微的充分必要条件是 (0，0)=0 21 已知 f(x， y)= ，设 D 为由 x=0、y=0 及 x+y=t 所围成的区域，求 F(t)= f(x，y)dxdy22 设 f(x)为连续函数，计算 +yf(x2+y2)dxdy，其中 D 是由y=x3， y=1， x=1 围成的区域23 在变力 F=yz，xz，xy 的作用下，质点由原点沿直线运动到椭球面=1 上第一卦限的点 M(， ，)，问 ， 取何值时，F 所做的功最大?求最大的功24 设 a
5、n0(n=1,2，)且a nn=1单调减少，又级数 (1) nan 发散，判断(1 1+an)n 的敛散性24 设 f(x)的一个原函数为 F(x)，且 F(x)为方程 xy+y=ex 的满足 y(x)=1 的解25 求 F(x)关于 x 的幂级数；26 27 将函数 f(x)=2+|x|(1x1)展开成以 2 为周期的傅里叶级数，并求级数 1n 2的和28 设有微分方程 y2y=(x)，其中 (x)= ，在(，+) 求连续函数 y(x)，使其在(， 1)及(1，+)内都满足所给的方程，且满足条件 y(0)=029 设函数 f(x)二阶连续可导，f(0)=1 且有 f(x)+30xf(t)dt
6、+2x01f(tx)dt+ex =0，求f(x)考研数学一（高等数学）模拟试卷 199 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 由 f(x)在 x0 处可导得|f(x)|在 x0 处连续，但|f(x)|在 x0 处不一定可导，如 f(x)=x 在 x=0 处可导，但|f(x)|=|x|在 x=0 处不可导，选(C)【知识模块】 高等数学2 【正确答案】 B【试题解析】 因为 f(a)=0，且 f“(x)k(k0) ，所以 f(x)=f(a)+f(a)(xa)+f“()2!(xa) 2f(a)+ (xa) 2，其中 介于 a 与
7、x 之间而 (xa) 2=+，故f(x)=+，再由 f(a)0 得 f(x)在(a ，+) 内至少有一个零点又因为 f(a)=0，且 f“(x)k(k0) ，所以 f(x)0(xa)，即 f(x)在a，+)单调增加，所以零点是唯一的，选(B) 【知识模块】 高等数学3 【正确答案】 A【试题解析】 由周期函数的平移性质，F(x)= xx+2esintsintdt= esintsintdt，再由对称区间积分性 质得 F(x)=0(esintsinte sint sint)dt=0(esinte sint )sintdt， 又(esinte sint )sint 连续、非负、不恒为零，所以 F(x
8、)0，选(A) 【知识模块】 高等数学二、填空题4 【正确答案】 0【试题解析】 112f 2(x)， 0xlncos(xt)dt= 0xlncosc(xt)d(xt)= x0lncosudu=0xlncosudu，【知识模块】 高等数学5 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学6 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学7 【正确答案】 7【试题解析】 s 1=4，3，1，s 2=2，9，2 ，n=4 ，3，1 2，9，2=15，10，30，过直线 L2 且与 L1 平行的平面方程为 ：15x10(y+7)+30(z2)=0，即 ：3x+2y6z+26=0，【知识模块】
9、 高等数学8 【正确答案】 3【试题解析】 f(tx，ty)=t 3f(x，y)两边对 t 求导数得 xf 1(tx，ty)+yf 2(tx，ty)=3t2f(x，y)， 取 t=1，x=1，y=2 得 f1(1，2)+2f 2(1，2)=3f(1 ，2)，故 f(1，2)=3【知识模块】 高等数学9 【正确答案】 2(1ln2)【试题解析】 令 S(x)= xn+1(1x1)，【知识模块】 高等数学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。10 【正确答案】 【知识模块】 高等数学11 【正确答案】 令 f(x)= 0(x0) ，所以数列a n单调又因为 a1=1，0a n+11，所
10、以数列a n有界，从而数列a n收敛，令 an=A，则有【知识模块】 高等数学12 【正确答案】 x x(sinx) x当 x0 时，1(sinxx) x【知识模块】 高等数学13 【正确答案】 令 (x)=(x21)lnx (x1) 2，(1)=0(x)=2xlnxx+2 ，(1)=0“(x)=2lnx+1+ ，“(1)=20故 x=1 为 “(x)的极小值点，由其唯一性得其也为最小值点，而最小值为 “(1)=20，故 “(x)0(x0)故 x=1 为 (x)的极小值点，也为最小值点，而最小值为 (1)=0，所以 x0 时，(x)0，即(x 21)lnx(x1) 2【知识模块】 高等数学14
11、 【正确答案】 ae x=x2 等价于 x2ex a=0令 f(x)=x2ex a，由 f(x)=(2xx 2)ex =0 得 x=0，x=2当 x0 时，f(x)0；当 0x2 时，f(x)0；当 x2 时，f(x)0，于是 x=0 为极小值点，极小值为 f(0)=a0；x=2 为极大值点，极大值为 f(2)= f(x)=a0(1) 当 a 0，即0a4e 2 时，方程有三个根； (2)当 a=0 ，即 a=4e 2 时，方程有两个根(3)当 a0，即 a4e 2 时，方程只有一个根【知识模块】 高等数学【知识模块】 高等数学15 【正确答案】 设点 M(x，y)L ，则 解得 x=1，所以
12、 M 的坐标为(1，12)【知识模块】 高等数学16 【正确答案】 y=x，y“=1 ，曲率 曲率中心为 A( 1，52) ，由|AP|AQ|= 2， 解得t= 2 3，t=143( 舍去)，则 Q 的坐标为(53，16)【知识模块】 高等数学17 【正确答案】 由 x2xtf(2xt)dt 2xx(2xu)f(u)(du)= x2x(2xu)f(u)du=2xx2xf(u)du x2xuf(u)du 得 2xx2xf(u)du x2xuf(u)du=12arctanx 2，等式两边对 x求导得 2x2xf(u)du+2x2f(2x)f(x) 4xf(2x)+xf(x)= ，整理得 2x2xf
13、(u)duxf(x)= 取 x=得 2122f(u)duf(1)=12，故 12f(x)dx=34【知识模块】 高等数学18 【正确答案】 由 0xtf(xt)dt x0(xu)f(u)( du)=0x(xu)f(u)du=x 0xf(u)du 0xuf(u)du，得 x0xf(u)du 0xuf(u)du=1cosx，两边求导得 0xf(u)du=sinx，令x=2 得 02 f(x)dx=1【知识模块】 高等数学19 【正确答案】 由微分中值定理得 f(x)f(0)=f()x ，其中 介于 0 与 x 之间， 因为 f(0)=0，所以|f(x)|=|f()x|Mx，x0，a ， 从而| 0
14、af(x)dx|0a|f(x)|dx0aMxdx=a22M 【知识模块】 高等数学20 【正确答案】 (必要性)设 f(x，y)在点(0，0)处可微，则 fy(0，0)，f y(0，0)存在 所以(0，0)=0(充分性)若 (0，0)=0 ，则 fx(0，0)=0f y(0，0)=0即f(x，y)在点(0，0)处可微【知识模块】 高等数学21 【正确答案】 当 t0 时，F(t)=0；当 0t1 时，F(t)= 1dxdy=121t 2；当1t2 时，F(t)= f(x，y)dxdy=1 (2t) 2；【知识模块】 高等数学22 【正确答案】 设 f(x)的一个原函数为 F(x)，则【知识模块
15、】 高等数学23 【正确答案】 设原点 O 到点 M(，)的直线为 L，L 的参数方程为W=Lyzdx+xzdy+xydz=013t2dt=当点 M 的坐标为()时，力 F 所做的功最大，且最大功为 abc【知识模块】 高等数学24 【正确答案】 因为a nn=1单调减少且 an0(n=1，2，)，所以an=A，由 (1) nan 发散，得 A0根据正项级数的根值审敛法，由【知识模块】 高等数学【知识模块】 高等数学25 【正确答案】 由 xy+y=ex 得 =exx，解得因为 y(x)=1，所以 C=1，于是【知识模块】 高等数学26 【正确答案】 【知识模块】 高等数学27 【正确答案】
16、显然函数 f(x)是在 1，1上满足收敛定理的偶函数，则a0=201f(x)dx=5，a n=201f(x)cosnxdx=2n 22(1) n1(n=1，2，) ，b n=0(n=1，2， )，又 f(x)C1，1 ，所以2+|x|= cos(2n+1)x(1x1)令 x=0 得【知识模块】 高等数学28 【正确答案】 当 x1 时，y2y=2 的通解为 y=C1e2x1，由 y(0)=0 得C1=1，y=e 2x1；当 x1 时，y2y=0 的通解为 y=C2e2x，根据给定的条件，y(1+0)=C2e2=y(10)=e 21，解得 C2=1e 2 ，y=(1e 2 )e2x，补充定义 y
17、(1)=e21，则得在( ，+)内连续且满足微分方程的函数【知识模块】 高等数学29 【正确答案】 因为 x01f(tx)dt=0xf(u)du，所以 f(x)+30xf(t)dt+2x01f(tx)dt+ex =0可 化为 f(x)+30xf(t)dt+20xf(t)dt+ex =0， 两边对 x 求导得 f“(x)+3f(x)+2f(x)=ex ， 由 2+3+2=0 得 1=1， 2=2， 则方程 f“(x)+3f(x)+2f(x)=0 的通解为C1ex +C2e2x 令 f“(x)+3f(x)+2f(x)=ex 的一个特解为 y0=axex ，代入得 a=1， 则原方程的通解为 f(x)=C1ex +C2e2x +xex 由 f(0)=1，f(0)=1 得 C1=0，C 2=1，故原方程的解为 f(x)=e2x +xex 【知识模块】 高等数学
