1、考研数学一（高等数学）模拟试卷 203 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 下列命题成立的是( ) （A）若 f(x)在 x0 处连续，则存在 0，使得 f(x)在|xx 0| 内连续（B）若 f(x)在 x0 处可导，则存在 0，使得 f(x)在|xx 0| 内可导（C）若 f(x)在 x0 的去心邻域内可导，在 x0 处连续且 f(x)存在，则 f(x)在 x0 处可导，且 f(x0)= f(x)（D）若 f(x)在 x0 的去心邻域内可导，在 x0 处连续且 f(x)不存在，则 f(x)在 x0处不可导2 设函数 f(x)连续，下列变上限积分函数
2、中，必为偶函数的是( )（A） 0xtf(t)f(t)dt（B） 0xtf(t)+f(t)dt（C） 0xf(t2)dt（D） 02f2(t)dt3 设 f(x，y)= 则 f(x，y)在(0，0)处( )（A）连续但不可偏导（B）可偏导但不连续（C）可微（D）一阶连续可偏导4 设幂级数 an(x2) n 在 x=6 处条件收敛，则幂级数 (x2) 2n 的收敛半径为( )（A）2（B） 4（C）（D）无法确定二、填空题5 设 f(x)在 x=0 处连续，且 =1，则曲线 y=f(x)在(2，f(2)处的切线方程为_6 设 f(x)= 在 x=1 处可微，则 a=_，b=_ 7 8 设直线 在
3、平面 x+y+z=0 上的投影为直线 L，则点(1 ，2，1)到直线 L 的距离等于_9 设 f(x，y)在区域 D：x 2+y2t2 上连续且 f(0，0)=4，则10 设 L 为从点 A(0，1，1)到点 B(1，0，2) 的直线段，则 L(x+y+z)ds=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。11 12 13 设函数 f(x)可导且 0f(x) (k0)，对任意的 xn，作 xn+1=f(xn)(n=0，1，2，)，证明： xn 存在且满足方程 f(x)=x14 设 x=x(t)由 sint 1xt du=0 确定，求 d2xdt 2|t=015 设 f(x)在 x=0
4、的邻域内二阶连续可导， =2，求曲线 y=f(x)在点(0，f(0)处的曲率16 设 f(x)在0，1上二阶可导，且 f(0)=f(0)=f(1)=f(1)=0证明：方程 f“(x)f(x)=0在(0， 1)内有根17 设 f(x)二阶连续可导且 f(0)=f(0)=0，f“(x)0曲线 y=f(x)上任一点(x，f(x)(x0)处作切线，此切线在 x 轴上的截距为 u，求 xf(u)uf(x) 18 设 f(lnx)= ，求 f(x)19 设 f(x)在a，b上连续可导，证明： |f(x)| abf(x)dx|+ab|f(x)|dx20 求曲线 y=3|x 21|与 x 轴围成的封闭区域绕直
5、线 y=3 旋转所得的旋转体的体积20 设点 A(1，0，0) ，B(0 ，1，1)，线段 AB 绕 z 轴一周所得旋转曲面为 S21 求旋转曲面的方程；22 求曲面 S 界于平面 z=0 与 z=1 之间的体积23 计算 I= xydxdy，其中 D 由 y=x，y= 围成24 计算曲面积分 (x3+z)dydz+(y3+x)dzdx+dxdy，其中 是曲线 (|x|1)绕z 轴旋转一周所得到的曲面，取外侧25 设 f(x)在( ，+)内一阶连续可导，且 f(x)x=1证明： (1) nf(1n)收敛，而 f(1n)发散26 设 an=04 tannxdx，对任意的参数 ，讨论级数 ann
6、的敛散性，并证明你的结论27 设二阶常系数线性微分方程 y“+ay+by=cex 有特解 y=e2x+(1+x)ex，确定常数a，b，c，并求该方程的通解27 设函数 f(x)在0，+)内可导，f(0)=1，且 f(x)+f(x) 0xf(t)dt=028 求 f(x)；29 证明：当 x0 时，e x f(x)1考研数学一（高等数学）模拟试卷 203 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 设 f(x)= 显然 f(x)在 x=0 处连续，对任意的 x00，因为f(x)不存在，所以 f(x)在 x0 处不连续，(A)不对；同理
7、 f(x)在 x=0 处可导，对任意的 x00，因为 f(x)在 x0 处不连续，所以 f(x)在 x0 处也不可导，(B)不对；因为=f()，其中 介于 x0 与 x 之间，且 f(x)存在，所以f()也存在，即 f(x)在 x0 处可导且 f(x0)= f(x)，选(C)；不存在，(D)不对【知识模块】 高等数学2 【正确答案】 B【试题解析】 因为 tf(t) f(t)为偶函数，所以 0xtf(t)f(t)dt 为奇函数，(A) 不对； 因为 f(t2)为偶函数，所以 0xf(t2)dt 为奇函数，(C) 不对；因为不确定 f2(t)的奇偶性，所以(D) 不对；令 F(x)=0xtf(t
8、)+f(t)dt， F(x)= 0x tf(t)+f(t)dt=0x(u)f(u)+f( u)(du)=F(x) ，选(B) 【知识模块】 高等数学3 【正确答案】 C【试题解析】 因为 f(x，y)=0=f(0，0) ，所以 f(x，y)在(0 ，0)处连续；所以 fx(0，0)=0 ，根据对称性，f y(0，0)=0 ，即 f(x，y)在(0，0)处可偏导；得 f(x，y)在(0，0)处可微；不存在，所以 fx(x，y)在点(0，0)处不连续，同理 fy(x，y)在点(0，0)处也不连续，选(C) 【知识模块】 高等数学4 【正确答案】 A【试题解析】 因为 an(x2) n 在 x=6
9、处条件收敛，所以级数 anxn 的收敛半径为R=4，又因为级数 anxn 有相同的收敛半径，所以 xn 的收敛半径为 R=4，于是 (x2) n 的收敛半径为 R=2，选(A)【知识模块】 高等数学二、填空题5 【正确答案】 y =12(x2)【试题解析】 由 =1 得 f(2)=32，且f(2)=1 2，则曲线 y=f(x)在点(2，f(2)处的切线方程为 y =12(x2)【知识模块】 高等数学6 【正确答案】 2，1【试题解析】 因为 f(x)在 x=1 处可微，所以 f(x)在 x=1 处连续，于是 f(10)=f(1)=1=f(1+0)=a+b，即 a+b=1 由f(x)在 x=1
10、处可微得 a=2，所以 a=2，b= 1【知识模块】 高等数学7 【正确答案】 176【试题解析】 所以 02()dx=01xdx+12x2dx= =176【知识模块】 高等数学8 【正确答案】 【试题解析】 过直线 的平面束为(x+2y z2)+k(2xy+z3)=0，即(1+2k)x+(2k)y+(k1)z23k=0 ，由1+2k ，2k，k 11，1，1=0，得k= 1，则投影直线为 s=1，1，11，3，2=5，1，4，对称式方程为 L： 令 M0，M 1 的坐标分别为(1， 0，1) ， (1，2，1)，【知识模块】 高等数学9 【正确答案】 8【试题解析】 由 t0 时，tln(1
11、+t)=tt +o(t2)12t 2(t0)，由积分中值定理得 f(x， y)da、dy=f(，) t 2，其中()D =2f(00)=8 【知识模块】 高等数学10 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。11 【正确答案】 故n=3，c=43【知识模块】 高等数学12 【正确答案】 ln(1+x)(ax+bx 2)=x +o(x2)(ax+bx 2)=(1a)x(b+ )x2+o(x2)， 故a=1，b=2【知识模块】 高等数学13 【正确答案】 x n+1x n=f(x n)f(x n1 )=f(n)(xnx n1 )，因为 f
12、(x)0，所以xn+1x n 与 xnx n1 同号，故x n单调|x n|=|f(xn1 )|=|f(x1)+ f(x)dx|f(x1)|+| f(x)dx|f(x1)|+ + dx=|f(x1)|+k，即x n有界，于是 xn 存在，根据f(x)的可导性得 f(x)处处连续，等式 xn+1=f(xn)两边令 n ，得 xn)，原命题得证【知识模块】 高等数学14 【正确答案】 将 t=0 代入 sint 1xt du=0 得 1t du=0，再由 0 得x=1，sint 1xt du=0 两边对 t 求导得 cost 1)=0，从而dxdt| t=0=e+1，cost 1)=0 两边再对
13、t 求导得将 t=0，x=1，dxdt| t=0=e+1代入得 d2xdt 2|t=0=2e2【知识模块】 高等数学15 【正确答案】 得 f(0)=f(0)=0，则 y=f(x)在点(0，f(0) 处的曲率为 K=2【知识模块】 高等数学16 【正确答案】 令 (x)=ex f(x)+f(x) 因为 (0)=(1)=0，所以由罗尔定理，存在 c(0，1)使得 (c)=0， 而 (x)=ex f“(x)f(x)且 ex 0，所以方程 f“(c)f(c)=0 在(0，1) 内有根【知识模块】 高等数学17 【正确答案】 曲线 y=f(x)在点(x，f(x)处的切线方程为 Yf(x)=f(x)(X
14、x)，令Y=0 得 u=x ，由泰勒公式得 f(u)=12f“( 1)u2，其中 1 介于 0 与 u 之间，f(x)=12f“( 2)x2，其中 2 介于 0 与 x 之间，【知识模块】 高等数学18 【正确答案】 令 lnx=t，则 f(t)= ，当 t0 时，f(t)=t+C 1；当 t0 时，f(t)=et+C2显然 f(t)为连续函数，所以 f(t)也连续，于是有 C1=1+C2，故【知识模块】 高等数学19 【正确答案】 因为 f(x)在a ，b上连续，所以|f(x)|在a，b上连续，令|f(c)|=|f(x)|根据积分中值定理， abf(x)dx=f()，其中 a，b由积分基本定
15、理，f(c)=f()+ cf(x)dx，取绝对值得|f(c)|f()|+| cf(x)dx|f()|+ab|f(x)|dx，即【知识模块】 高等数学20 【正确答案】 显然所给的函数为偶函数，只研究曲线的右半部分绕 y=3 旋转所成的体积当 x0 时， 对x，x+dx 0，1，dV1=323(x 2+2)2dx=(2x2x 4+8)dx，V 1=01dV1=01(2x2x 4+8)dx=12715 ；对x，x+dx 1，2，dV 2=(323(4x 2)2dx=(2x2x 4+)dx，V 2=12dV2=12(2x2x 4+8)dx=9715，则 V=2(V1+V2)=44815【知识模块】
16、高等数学【知识模块】 高等数学21 【正确答案】 = 1，1，1 ，直线 AB 的方程为 =y1=z1。设对任意的 M(x，y，z)S ，过 M 垂直于 z 轴的截口为圆，其与直线 AB 及 z 轴的交点为M0(x0，y 0，z)，T(0 ，0，z)，由|MT|=|M 0T|，得 x2+y2=x02+y02，因为 M0 在直线 AB上，所以有 =y01=z1， 代入 x2+y2=x02+y02 中得曲面方程为 S：x 2+y2=(1z) 2+z2，即 S：x 2+y2=2z22z+1【知识模块】 高等数学22 【正确答案】 对任意的 z0，1，垂直于 z 轴的截口圆面积为 A(z)=(x 2+
17、y2)=(2z22z+1)， 于是 V=01A(z)dx=23【知识模块】 高等数学23 【正确答案】 将 D 分成两部分 D1，D 2，其中 D1=(x，y)0x1 ，【知识模块】 高等数学24 【正确答案】 曲面：z=1 x 2y 2(z0)，补充曲面 0：z=0(x 2+y21)，取下侧，由高斯公式得=302d01r3(1r 3)dr=2【知识模块】 高等数学25 【正确答案】 因为f(x)=f(0)=1，所以存在 0，当|x| 时，f(x)0，于是存在 N0，当 nN时，1n， 由莱布尼兹审敛法知 (1) nf(1n)收敛，因为 n时，f(1 n)=f()1n1n 且 1n 发散，所以
18、 f(1n)发散【知识模块】 高等数学26 【正确答案】 由 an+an+2=04 sec2xtannxdx= ，a n+an2 =04 sec2xtann2 xdx=，得(1)当 0 时，因为级数 ann 收敛；(2) 当 0 时，因为级数 an 发散【知识模块】 高等数学27 【正确答案】 将 y=e2x+(1+x)ex 代入原方程得(4+2a+b)e 2x+(3+2a+b)ex+(1+a+b)xex=cex，则有 解得 a=3，b=2，c=1，原方程为y“ 3y+2y=e x原方程的特征方程为 23+2=0，特征值为 1=1， 2=2，则y“ 3y+2y=0 的通解为 y=C1ex+C2e2x，于是原方程的通解为 y=C1ex+C2e2x+exx【知识模块】 高等数学【知识模块】 高等数学28 【正确答案】 (x+1)f(x)+(x+1)f(x)= 0xf(t)dt=0，两边求导数，得(x+1)f“(x)=(x+2)f(x) 再由 f(0)=1，f(0)+f(0)=0，得 f(0)=1，所以C=1，于是 f(x)=【知识模块】 高等数学29 【正确答案】 当 x0 时，因为 f(x)0 且 f(0)=1，所以 f(x)f(0)=1令 g(x)=f(x)e x ，g(0)=0，g(x)=f(x)+ex = ex 0， f(x)ex (x0)【知识模块】 高等数学
