1、考研数学一（高等数学）模拟试卷 204 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 f(x)= 则 f(x)在 x=0 处( )（A）不连续（B）连续不可导（C）可导但 f(x)在 x=0 处不连续（D）可导且 f(x)在 x=0 处连续2 sinx2dx 为( )（A）等于 0（B）大于 0（C）小于 0（D）不能确定3 对二元函数 z=f(x，y)，下列结论正确的是( )（A）z=f(x，y)可微的充分必要条件是 z=f(x，y)有一阶连续的偏导数（B）若 z=f(x，y)可微，则 z=f(x，y)的偏导数连续（C）若 z=f(x，y)偏导数连续，则 z=
2、f(x，y)一定可微（D）若 z=f(x，y)的偏导数不连续，则 z=f(x，y)一定不可微4 设 f(x)= ancosnx(n=0，1，2；x+) ，其中 an=201f(x)cosnxdx，则 S(52)为( )（A）12（B） 12（C） 34（D）34二、填空题5 在 x=0 处连续，则a=_，b=_，6 设 F(x)=0x(x2t 2)f(t)dt，其中 f(x)在 x=0 处连续，且当 x0 时，F(x)x 2，则f(0)=_7 8 曲线 在 xOy 平面上的投影曲线为_ 9 设 f(x)连续，则10 没曲线 L： ，则 L(x2+2y2+z)ds=_三、解答题解答应写出文字说明
3、、证明过程或演算步骤。11 12 确定常数 a，b，c ，使得 =c13 设 f(x)在a，+)上连续，且 f(x)存在证明：f(x)在a，+)上有界14 设 x33xy+y 3=3 确定 y 为 x 的函数，求函数 y=y(x)的极值点15 设 f(x)= 且 f“(0)存在，求 a，b，c 16 设 f(x)=3x2+Ax3 (x0) ，A 为正常数，问：A 至少为多少时，f(x)20?17 设 f(x)在0，1上连续，在 (0，1)内可导，且 01f(t)dt=0，证明：存在 (0，1)，使得 f()=0f(t)dt18 19 设 f(x)在0，1上二阶可导，且 f“(x)0证明： 01
4、f(x2)dxf(13)20 求椭圆 =1 与椭圆 =1 所围成的公共部分的面积20 设曲面： =1 及平面 ：2x+2y+z+5=021 求曲面上与 平行的切平面方程；22 求曲面与平面丌的最短和最长距离23 24 计算曲线积 Cxyzdz，其中 C： ，从 z 轴正向看，C 为逆时针方向25 设 f(x)在 x=0 的某邻域内二阶连续可导，且 f(x)x=0证明：级数 f(1n)绝对收敛26 设 a0=1，a 1=2，a 2=72a n+1=(1+ )an(n2)证明：当|x|1 时，幂级数anxn 收敛，并求其和函数 S(x)27 设 u=f( )且二阶连续可导，又 =0，求 f(x)2
5、7 设函数 f(x)(x0)可微，且 f(x)0将曲线 y=f(x)，x=1，x=a(a 1)及 x 轴所围成平面图形绕 x 轴旋转一周得旋转体体积为 3s 2f(a)f(1)若 f(1)=12，求：28 f(x)；29 f(x)的极值考研数学一（高等数学）模拟试卷 204 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 显然 f(x)在 x=0 处连续，因为所以 f(x)在 x=0 处可导，当 x0 时，f(x) 当 x0 时， f(x)=arctanf(x)=2，f(0)=2，所以 f(x)在 x=0 处连续，选(D)【知识模块】
6、高等数学2 【正确答案】 B【试题解析】 选(B)【知识模块】 高等数学3 【正确答案】 C【试题解析】 因为若函数 f(x，y)一阶连续可偏导，则 f(x，y)一定可微，反之则不对，所以若函数 f(x，y) 偏导数不连续不一定不可微，选(C)【知识模块】 高等数学4 【正确答案】 C【试题解析】 对函数 f(x)进行偶延拓，使 f(x)在(1，1)上为偶函数，再进行周期为 2 的周期延拓，然后把区间延拓和周期延拓后的函数展开成傅里叶级数，傅里叶级数的和函数为 S(x)，则选(C)【知识模块】 高等数学二、填空题5 【正确答案】 1，1【试题解析】 f(0)=3，因为 f(x)在 x=0处连续
7、，所以 a+4b=3=2b+1，解得 a=1，b=1【知识模块】 高等数学6 【正确答案】 12【试题解析】 F(x)=x 20xf(t)dt 0xt2f(t)dt，F(x)=2x 0xf(t)dt，因为当 x0 时，F(x)x 2，所以 F(x)x 2=1 =2f(0)，故 f(0)=12【知识模块】 高等数学7 【正确答案】 4【试题解析】 =404 (sec2x1)dx=4【知识模块】 高等数学8 【正确答案】 【试题解析】 消去 z 得 x2+y2=2x，所以曲线 在 xOy平面上的投影曲线为【知识模块】 高等数学9 【正确答案】 f(0)2【试题解析】 0rtf(r2t 2)dt=1
8、2 0rf(r2t 2)d(r2t 2)=12 f(u)du， cos(x+y)d=r2cos(+)，【知识模块】 高等数学10 【正确答案】 2a 3【试题解析】 L(x2+2y2+z)ds=L(x2+2y2)ds=L(x2+y2+z2)ds =La2ds=a2Lds=2a3【知识模块】 高等数学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。11 【正确答案】 由 ln(1+ax)=ax +o(x2)，e bx=1+bx+ +o(x2)，cosx=1 +o(x2)得 ln(1+ax)e bx+cosx=(ab)x x2+o(x2)，【知识模块】 高等数学12 【正确答案】 方法一a=b3
9、=13；【知识模块】 高等数学13 【正确答案】 设 f(x)=A，取 0=1，根据极限的定义，存在 X00，当xX 0 时，|f(x)A|1，从而有|f(x)|A|+1又因为 f(x)在a，X 0上连续，根据闭区间上连续函数有界的性质，存在 k0，当 xa，X 0，有|f(x)|k取M=max|A|+1，k，对一切的 xa，+) ，有|f(x)|M【知识模块】 高等数学14 【正确答案】 x 33xy+y 3=3 两边对 x 求导得令 dydx=(x 2y)(xy) 2=0得 y=x2，代入 x33xy+y 3=3 得 x=1 或 x=因为 d2ydx 2|x=1 =10，所以x=1 为极小
10、值点，极小值为 y=1；因为 d2ydx 2 =10，所以 x= 为极大值点，极大值为 y=【知识模块】 高等数学15 【正确答案】 因为 f(x)在 x=0 处连续，所以 c=0，即由 f(x)在 x=0 处可导，得 b=1，即由 f“(0)存在，得 a=12，即 a=12，b=1，c=0【知识模块】 高等数学16 【正确答案】 f(x)20 等价于 A20x33x 5， 令 (x)=20x33x 5，由 (x)=60x2 15x4=0，得 x=2， “(x)=120x60x 3，因为 “(2)=2400，所以 x=2 为(x)的最大值点，最大值为 (2)=64，故 A 至少取 64 时，有
11、 f(x)20【知识模块】 高等数学17 【正确答案】 令 (x)=ex 0xf(t)dt， 因为 (0)=(1)=0，所以存在 (0，1)，使得 ()=0， 而 (x)=ex f(x) 0xf(t)dt且 ex 0，故 f()=0f(t)dt【知识模块】 高等数学18 【正确答案】 【知识模块】 高等数学19 【正确答案】 由泰勒公式，得其中 介于了 13 与 t 之间，从而 f(x2)f(13)+f(13)(x 2 )，积分得 01f(x2)dxf(13)【知识模块】 高等数学20 【正确答案】 根据对称性，所求面积为第一象限围成面积的 4 倍，先求第一象限的面积 则第一象限围成的面积为【
12、知识模块】 高等数学【知识模块】 高等数学21 【正确答案】 设切点为 M0(x0，y 0，z 0)，令 F(x，y，z) 则切平面的法向量为 n=x0，2y 0，z 02 ，因为切平面与平面丌平行，所以x02=2y 02=z 02，令 x02=2y 02=z 02=t得 x0=2t，y 0=t，z 0=2t，将其代入曲面方程，得 t=12，所以切点为(1，12，1) 及(1，12，1)，平行于平面 的切平面为 1：2(x1)+2(y )+(z1)=0，即 ：2x+2y+z 4=0：2(x+1)+2(y+ )+(z+1)=0，即 ：2x+2y+z+4=0【知识模块】 高等数学22 【正确答案】
13、 则曲面与平面 的最短和最长距离分别为 13 与 3【知识模块】 高等数学23 【正确答案】 令 则 034 d02r3dr 02 d02cosr3dr=94【知识模块】 高等数学24 【正确答案】 方法一 n=0，1，1 ，cos=0，cos=：z=y(x，y)Dxy)，其中 Dxy：x 2+2y21，【知识模块】 高等数学25 【正确答案】 由 =0，得 f(0)=0，f(0)=0 由泰勒公式得 f(x)=f(0)+f(0)x+ x2，其中 介于 0 与 x 之间又 f“(x)在 x=0 的某邻域内连续，从而可以找到一个原点在其内部的闭区间，在此闭区间内有|f“(x)|M，其中 M0为 f
14、“(x)在该闭区间上的上界所以对充分大的 n，有【知识模块】 高等数学26 【正确答案】 得幂级数的收敛半径 R=1，所以当|x|1 时，幂级数 anxn 收敛由 an+1=(1+ )an，得 an=76(1) n(n+1)(n3)，所以 S(x)= anxn=12x+ (1) n(n+1)xn，【知识模块】 高等数学27 【正确答案】 解得 rf(r)=C1，由 f(1)=2 得 C1=2，于是 f(r)=2r，f(r)=lnr 2+C2，由 f(1)=0 得C2=0，所以 f(x)=lnx2【知识模块】 高等数学【知识模块】 高等数学28 【正确答案】 由题设知， 1af2(x)dx=3a 2f(a)f(1)，两边对 a 求导，得3f2(a)=2af(a)+a2f(a)【知识模块】 高等数学29 【正确答案】 【知识模块】 高等数学
