1、考研数学一（高等数学）模拟试卷 207 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设曲线 y=x2+ax+b 与曲线 2y=xy3 一 1 在点(1，一 1)处切线相同，则( )（A）a=1 ，b=1（B） a=一 1，b=一 1（C） a=2，b=1（D）a= 一 2，b=一 12 设 L 为由 y2=x3 及 x=2 围成的区域的边界，取逆时针方向，则等于( ) （A）一 2（B） 2（C） （D）03 设级数 发散(a n0)，令 Sn=a1+a2+an，则 ( )（A）发散（B）收敛于（C）收敛于 0（D）敛散性不确定二、填空题4 =_5 设 f(x
2、)连续，且 F(x)= axf(t)dt，则 F(x)=_6 曲线 exy 一 sin(xy)=e 在点(0，1)处的切线方程为 _7 曲线 y=(3x+2) 的斜渐近线为 _8 曲面 x2+2y2+3z2=21 在点(1，一 2，2) 处的法线方程为_9 设 y=2ex +exsinx 为 y+py+qy+ry=0 的特解，则该方程为 _三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。10 求 11 求 (其中 ai0(i=1，2，n)12 设 f(x)= 讨论 f(x)在 x=0 处的可导性13 设 0a 1，证明：方程 arctanx=ax 在(0，+)内有且仅有一个实根14 求 15
3、 求 16 设 f(x)=xe2x+201f(x)dx，求 01f(x)dx17 求 22(3x+1)max2，x 2dx18 求曲线 y=cosx 与 x 轴围成的区域绕 x 轴、y 轴形成的几何体体积19 设 y=y(x)， z=z(x)由 20 求函数 = x2+yz 的梯度方向的方向导数21 设 D=(x， y)0x1 ，0y ，求 xydxdy22 求 (x+y)2dy23 计算 I= 被 z=1和 z=2 截得部分的下侧24 判断级数 的敛散性，若收敛是绝对收敛还是条件收敛25 求微分方程(y+ )dx 一 xdy=0(x0)的满足初始条件 y(1)=0 的解26 设 f(x)在0
4、，1上连续且满足， f(0)=1，f (x)一 f(x)=a(x 一 1)y=f(x) ，x=0，x=1，y=0 围成的平面区域绕 x 轴旋转一周所得的旋转体体积最小，求 f(x)考研数学一（高等数学）模拟试卷 207 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 由 y=x2+ax+b 得 y=2xa，2y=xy 3 一 1 两边对 x 求导得2yy 33xy 2y，解得 y= ，因为两曲线在点 (1，一 1)处切线相同，所以，应选(B)【知识模块】 高等数学2 【正确答案】 B【试题解析】 取 C：x 2+y2=r2(其中 r0，
5、C r 在 L 内，取逆时针)，P(x，y)=设由 L 及 Cr 所围成的区域为 Dr，由 Cr 围成的区域为 D0，由格林公式得【知识模块】 高等数学3 【正确答案】 B【试题解析】 因为正项级数 =+【知识模块】 高等数学二、填空题4 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学5 【正确答案】 a 2f(a)【试题解析】 【知识模块】 高等数学6 【正确答案】 y=( 1)x1 【试题解析】 e xysin(xy)=e 两边对 x 求导得 exy (1+y )一 cos(xy)(y+xy )=0，将 x=0，y=1 代入得 y(0)= 1，所求的切线为 y 一 1=( 一 1)x，
6、即 y=( 一 1)x+1【知识模块】 高等数学7 【正确答案】 y=3x5【试题解析】 由=5 得曲线的斜渐近线为 y=3x+5【知识模块】 高等数学8 【正确答案】 【试题解析】 n=2x，4y，6z (1，2，2) =2，一 8，12，法线方程为【知识模块】 高等数学9 【正确答案】 y 一 2y+2y=0【试题解析】 三阶常系数齐次线性微分方程的特征值为 1=一 1， 2，3 =1i，特征方程为(+1)( 一 1 一 i)( 一 1+i)=0，整理得 3 一 2+2=0，所求方程为 y一2y+2y=0【知识模块】 高等数学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。10 【正确答
7、案】 【知识模块】 高等数学11 【正确答案】 所以原式=a 1a2an【知识模块】 高等数学12 【正确答案】 f(0)=f(00)=0，f(0+0)= =0由 f(0一 0)=f(0+0)=f(0)得 f(x)在 x=0 处连续：由 =0 得f (0)=0 =0 得 f (0)=0，因为 f (0)=f (0)=0，所以 f(x)在 x=0 处可导【知识模块】 高等数学13 【正确答案】 令 f(x)=arctanxax，由 f(x)= ，由f(x)= 为 f(x)的最大点，由 =一 ，f(0)=0 得方程 arctanx=ax 在(0，+)内有且仅有唯一实根，位于 内【知识模块】 高等数
8、学14 【正确答案】 【知识模块】 高等数学15 【正确答案】 【知识模块】 高等数学16 【正确答案】 令 A=01f(x)dx，f(x)=xe 2x+201f(x)dx 两边积分得A=01xe2xdx2A，解得 A=01f(x)dx=一 01xe2xdx=一 01xd(e2x)=一 【知识模块】 高等数学17 【正确答案】 2 22(3x+1)max2，x 2dx=2 2max2，x 2dx=2 02max2，x 2dx，由 max2，x 2= 得 2 2(3x+1)max2，x 2dx=【知识模块】 高等数学18 【正确答案】 Vx= 取x，x+dx，则 dVy=2xcosxdx，【知识
9、模块】 高等数学19 【正确答案】 两边对 x 求导得【知识模块】 高等数学20 【正确答案】 x2yz 的梯度为 l=x，z，y，梯度的方向余弦为故所求的方向导数为 【知识模块】 高等数学21 【正确答案】 【知识模块】 高等数学22 【正确答案】 令 ，则【知识模块】 高等数学23 【正确答案】 令 1：z=1(x 2+y21)取下侧， 2：z=2(x 2+y24)取上侧，=12ezdz02d0zdr=212zezdz=2(z1)e z 12=2e2【知识模块】 高等数学24 【正确答案】 ，又当 n 充分大时， 单调减少，且=0所以级数 条件收敛【知识模块】 高等数学25 【正确答案】 由(y )dx 一 xdy=0，得 令= =lnx+lnC，即 +=Cx，将初始条件 y(1)=0 代入得 C=1由，即满足初始条件的特解为 y= 【知识模块】 高等数学26 【正确答案】 由 f(x)一 f(x)=a(x 一 1)得 f(x)=a(x 一 1)e1dx dx+Cedx =Cex ax 由 f(0)=1 得 C=1，故 f(x)=ex 一 axV(a)= 01f2(x)dx=，由 V(a)=(一 2+ )=0 得 a=3，因为 V(a)= 0，所以当a=3 时，旋转体的体积最小，故 f(x)=ex 一 3x【知识模块】 高等数学
