1、考研数学一（高等数学）模拟试卷 208 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设：x 2+y2+z2=1(z0)， 1 为在第一卦限的部分，则( )2 级数 (a0)( )（A）发散（B）条件收敛（C）绝对收敛（D）收敛性与 a 有关二、填空题3 =_4 若 f(x)= 在 x=0 处连续，则 a=_5 点 M(1，一 1，2)到平面 ：2xy+5z 一 12=0 的距离 d=_6 设 f(x)连续，且 f(x)一 20xf(xt)dt=ex，则 f(x)=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。7 求 8 求 9 求下列导数：(1)设 y=
2、 (2)设 y=(1+x2)tanx，求 10 设 y= ，求 y10 设 f(x)在a，b上有定义，M0 且对任意的 x，ya，b，有 f(x)一f(y)M xy k11 证明：当 k0 时，f(x)在a ，b上连续；12 证明：当 k1 时，f(x)常数13 设 f(x)在0，2上连续，在 (0，2)内可导，且 3f(0)=f(1)+2f(2)，证明：存在(0， 2)，使得 f()=014 求 y=f(x)= 的渐近线15 设 f(x)在0，上连续，在(0，)内可导，证明：至少存在一点 (0，)，使得f()=一 f()cot16 求 17 求arcsinxarccosxdx18 讨论反常积
3、分 02 的敛散性，若收敛计算其值19 求 11(x +x)e x dx20 设 f(x)=1 1(1t)dt(x一 1)，求曲线 y=f(x)与 x 轴所围成的平面区域的面积21 设 z=z(x，y)是由 =0 所确定的二元函数，其中 F 连续可偏导，求 22 举例说明多元函数连续不一定可偏导，可偏导不一定连续23 计算 (xy2+x2)dxdy，其中 D=(x，y)x 2+y22y24 计算 I= y2d，其中 D 由 x=一 2，y=2 ，x 轴及曲线 x= 围成25 计算 (zy)xdydz+(x 一 y)dxdy，其中 为 +y2=1 位于 z=0 与 z=3 之间的部分的外侧26
4、设级数 收敛，又 anbncn(n=1，2，)证明：级数 bn 收敛27 求微分方程(y 一 x3)dx 一 2xdy=0 的通解考研数学一（高等数学）模拟试卷 208 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 因为曲面关于平面 xOz、yOz 对称，所以xyzdS=0，注意到 0，故选(C)【知识模块】 高等数学2 【正确答案】 C【试题解析】 因为 n时，1 一收敛，即原级数绝对收敛，选(C)【知识模块】 高等数学二、填空题3 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学4 【正确答案】 2【试题解析】 ，f(0)=a，
5、因为 f(x)在 x=0 处连续，所以 1+ =a，故 a=2【知识模块】 高等数学5 【正确答案】 【试题解析】 d= 【知识模块】 高等数学6 【正确答案】 f(x)=2e 2xe x【试题解析】 由 0xf(x 一 t)dt x0f()(d)= 0xf()d 得 f(x)一 20xf()d=ex，求导得 f(x)一 2f(x)=ex，解得 f(x)=exe 2dx dxCe 2dx =(一 ex +C)e2x=Ce2xe x，由 f(0)=1 得 C=2，故 f(x)=2e2x 一 ex【知识模块】 高等数学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。7 【正确答案】 【知识模块】
6、 高等数学8 【正确答案】 【知识模块】 高等数学9 【正确答案】 (1) (2)【知识模块】 高等数学10 【正确答案】 【知识模块】 高等数学【知识模块】 高等数学11 【正确答案】 对任意的 x0a，b，由已知条件得 0f(x) 一 f(x0)Mxx0 k， =f(x0)，再由 x0 的任意性得 f(x)在 a，b上连续【知识模块】 高等数学12 【正确答案】 对任意的 x0a，b，因为 k1，所以0 Mx 一 x0 k1 ，由夹逼定理得 f(x0)=0，因为 x0 是任意一点，所以 f(x)0，故 f(x)常数【知识模块】 高等数学13 【正确答案】 因为 f(x)在1 ，2上连续，所
7、以 f(x)在1，2上取到最小值 m 和最大值 M，又因为 m M，所以由介值定理，存在 c1，2，使得f(c)= ，即 f(1)+2f(2)=3f(c)，因为 f(0)=f(c)，所以由罗尔定理，存在(0， c) (0，2)，使得 f()=0【知识模块】 高等数学14 【正确答案】 因为 =，所以 y=f(x)没有水平渐近线，由=得 x=0 为铅直渐近线，由 =得 x=2 为铅直渐近线，得 y=x+3 为斜渐近线【知识模块】 高等数学15 【正确答案】 令 (x)=f(x)sinx，(0)=()=0， 由罗尔定理，存在 (0，)，使得 ()=0， 而 (x)=f(x)sinx+f(x)cos
8、x， 于是 f()sin+f()cos=0，故 f()=一 f()cot【知识模块】 高等数学16 【正确答案】 【知识模块】 高等数学17 【正确答案】 【知识模块】 高等数学18 【正确答案】 【知识模块】 高等数学19 【正确答案】 由定积分的奇偶性得 1 1(x x)ex dx=1 1xe x dx=201xex dx=一 201xd(ex )=一2xex 01+201ex dx=2e 1 2ex 01=2 一 【知识模块】 高等数学20 【正确答案】 当一 1x0 时，f(x)= 1 x(1 一t)dt= 1 x(t+1)dt=；当 x0 时，f(x)= 1 0(t+1)dt+0x(
9、1 一 t)dt= ，故所求的面积为【知识模块】 高等数学21 【正确答案】 =0 两边对 x 求偏导得故=zxy【知识模块】 高等数学22 【正确答案】 设 f(x，y)= 显然 f(x，y)在点(0，0)处连续，但不存在，所以 f(x，y)在点(0，0)处对 x 不可偏导，由对称性，f(x，y)在点(0，0)处对 y 也不可偏导所以 f(x，y)在点(0，0)处可偏导，且 fx(0，0)=f y(0，0)=0因为不存在，而 f(0，0)=0，故 f(x，y)在点(0 ，0) 处不连续【知识模块】 高等数学23 【正确答案】 由奇偶性得 (xy2+x2)dxdy= x2dxdy，令(0，0r
10、2sin) ，则 x2dxdy=0d02sinr3cos2dr=40sin4cos2d=【知识模块】 高等数学24 【正确答案】 【知识模块】 高等数学25 【正确答案】 令 1：z=0( +y21)取下侧， 2：z=3( +y21 取上侧，所以原式=9【知识模块】 高等数学26 【正确答案】 由 anbncn，得 0bn 一 ancn 一 an，因为(cnan)收敛，根据正项级数的比较审敛法得 (bn一 an)收敛，又 bn=(bn 一 an)a n，则 bn 收敛【知识模块】 高等数学27 【正确答案】 由(yx 3)dx 一 2xdy=0，得 x2，则 y=即原方程的通解为 y= (其中 C 为任意常数)【知识模块】 高等数学
