1、考研数学一（高等数学）模拟试卷 209 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设曲面是 z=x2+y2 界于 z=0 与 z=4 之间的部分，则 等于( )（A）2e 4（B） (e41)（C） 2(e4 一 1)（D）e 42 若级数 n 收敛( n0)，则下列结论正确的是( )二、填空题3 当 x0 时， ax b，则 a_，b=_4 设 f(x)= 在 x=0 处连续，则 a=_5 设平面 1：3x 一 2y+6z 一 2=0 与平面 2：3x 一 2y+6z+12=0，则两平行平面之间的距离为_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。6
2、 求下列极限：7 求 8 求下列导数：(1)设 y=y(x)由 124(2) 设 y=y(x)由1259 设 y= ，且 f(x)= lnx，求 y9 设 f(x)二阶可导，f(0)=0，令 g(x)=10 求 g(x)；11 讨论 g(x)在 x=0 处的连续性12 设 f(x)三阶可导， =0，证明：存在 (0，1)，使得 f()=013 设 f(x)二阶连续可导，且 f(0)=f(0)=0，f (0)0，设 (x)为曲线 y=f(x)在点(x，f(x)处的切线在 x 轴上的截距，求 14 设 f(x)在a，b上二阶可导且 f(x)0，证明：f(x)在(a，b)内为凹函数15 求 16 求
3、arctan dx17 设 f(x)=1xet2 dt，求 01f(x)dx18 设 f(x)= 求 02f(x 一 )dx19 设 C1，C 2 是任意两条过原点的曲线，曲线 C 界于 C1，C 2 之间，如果过 C 上任意一点 P 引平行于 x 轴和 y 轴的直线，得两块阴影所示区域 A，B 有相等的面积，设 C 的方程是 y=x2，C 1 的方程是 y= x2，求曲线 C2 的方程20 求曲线 L： 在点(1，1，0)处的切线与法平面21 设 f(x，y)= 讨论函数 f(x，y)在点(0，0)处的连续性与可偏导性22 求 ydxdy，其中 D 是由 L： (0t2)与 x 轴围成的区域
4、23 计算 xydxdy，其中 D=(x ，y)y0，x 2+y21，x 2+y22x24 计算 ，其中f()连续可导，曲面为 z= 的上侧25 设正项级数 收敛，并说明反之不成立26 求微分方程 y一 2xy=ex2 的满足初始条件 y(0)=1 的特解27 求微分方程 y2dx+(2xyy 2)dy=0 的通解考研数学一（高等数学）模拟试卷 209 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 ds= ，则=02d02rer2=(e41) 选(B)【知识模块】 高等数学2 【正确答案】 C【试题解析】 令 Sn=1+2+ n，因为
5、=0令 Sn=(1+2)+(2+3)+( n+n1 )=2Sn 一 1+n1 ，于是 Sn=2 Sn 1 存在，选(C) ，(A)、(B)、(D)都不对【知识模块】 高等数学二、填空题3 【正确答案】 a= ，b=3；【试题解析】 【知识模块】 高等数学4 【正确答案】 e 1【试题解析】 因为=e1 ，所以 a=e1 【知识模块】 高等数学5 【正确答案】 2【试题解析】 d= =2【知识模块】 高等数学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。6 【正确答案】 【知识模块】 高等数学7 【正确答案】 【知识模块】 高等数学8 【正确答案】 (1) (2) ，ln(x+t)=xt 一
6、1 两边对 t 求导得 ey=y+1 两边对 t 求导得 ety ，故 【知识模块】 高等数学9 【正确答案】 y = 【知识模块】 高等数学【知识模块】 高等数学10 【正确答案】 因为 =f(0)=g(0)，所以g(x)在 x=0 处连续当 x0 时，g (x)= ；当 x=0 时，由得 g(0)= f(0)，即 g(x)=【知识模块】 高等数学11 【正确答案】 所以 g(x)在 x=0 处连续【知识模块】 高等数学12 【正确答案】 由 =0 得 f(0)=1，f (0)=0；由 =0 得 f(1)=1，f (1)=0因为 f(0)=f(1)=1，所以由罗尔定理，存在 c(0，1)，使
7、得 f(c)=0由f(0)=f(c)=f(1)=0，根据罗尔定理，存在 1(0，c) ， 2(c，1)，使得 f(1)=f(2)=0，再根据罗尔定理，存在 (1， 2) (0，1)，使得 f()=0【知识模块】 高等数学13 【正确答案】 曲线 y=f(x)在点(x，f(x)的切线为 Yf(x)=f(x)(X 一 x)，【知识模块】 高等数学14 【正确答案】 对任意的 x1，x 2(a，b)且 x1x2，取 x0= ，由泰勒公式得f(x)=f(x0)+f(x0)(xx0)+ (xx0)2，其中 介于 x0 与 x 之间因为 f(x)0，所以 f(x)f(x0)+f(x0)(xx0)，“=”成
8、立当且仅当“x=x 0”，从而两式相加得 f(x0)，由凹函数的定义，f(x)在(a，b)内为凹函数【知识模块】 高等数学15 【正确答案】 【知识模块】 高等数学16 【正确答案】 【知识模块】 高等数学17 【正确答案】 01f(x)dx=xf(x) 01)一 01xf(x)dx= 01xex2 dx=【知识模块】 高等数学18 【正确答案】 02f(x)dx=02f(x)d(x 一 )= f(x)dx【知识模块】 高等数学19 【正确答案】 由题设 C：y=x 2，C 1：y= x2，令 C2：x=f(y) ，P 点坐标为(x，y)，从而 C2 的方程为 x=f(y)= x2【知识模块】
9、 高等数学20 【正确答案】 令 F=x2+2y2+z2 一 3， G=2xy+z 一 1，切向量为 s=22，1， 5，所求的切线为，法平面为 ：2(x 一 1)一(y 一 1)一 5z=0，即 ：2xy 一5z 一 1=0【知识模块】 高等数学21 【正确答案】 因为不存在，故函数 f(x，y)在点(0 ，0)处不连续因为=0，所以函数 f(x，y)在点(0，0) 处对 x，y 都可偏导【知识模块】 高等数学22 【正确答案】 设曲线 L 的直角坐标形式为 y=y(x)，则 I= ydxdy=02adx0yydy=02ay2(x)dx= 02a2(1cost) 2a(1cost)dt= =
10、8a30sin6tdt=【知识模块】 高等数学23 【正确答案】 【知识模块】 高等数学24 【正确答案】 令 0：z=0(x 2+y21)取下侧，【知识模块】 高等数学25 【正确答案】 因为 0 (n+n1 )而 (n+n1 )收敛，所以根据正项级数的比较审敛法知 收敛，反之不一定成立，如级数10+1+0+发散，因为 nn1 =0(n=1，2，)，所以 收敛【知识模块】 高等数学26 【正确答案】 由一阶非齐次线性微分通解公式得 y=(e x2e 2xdx dxC)e2xdx =(x+C)ex2， 由 y(0)=1 得 C=1，故 y=(x+1)ex2【知识模块】 高等数学27 【正确答案】 由 y2dx+(2xy+y2)dy=0 得 ，令 =，解得 2(+3)= ，所以原方程的通解为 y2(y3x)=C【知识模块】 高等数学
