1、考研数学一（高等数学）模拟试卷 211 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设常数 k0，则级数 ( )（A）发散（B）绝对收敛（C）条件收敛（D）敛散性与 k 有关二、填空题2 设 f(x)可导且 在 x=0 处连续，则a=_3 =_4 由曲线 L： 绕 y 轴旋转一周所得到的旋转曲面在点 处的指向外侧的单位法向量为_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。5 求下列极限：6 求 7 求 8 设 f(x)= 讨论 f(x)在 x=0 处的可导性9 设函数 y=y(x)由 2xy=x+y 确定，求 dy x=010 设 f(x)二阶可导，f(
2、1)=0，令 (x)=x2f(x)，证明：存在 (0，1)，使得 ()=011 设 f(x)= ，验证 f(x)在 0，2上满足拉格朗日中值定理的条件，并求(0，2) 内使得 f(2)一 f(0)=2f()成立的 11 设 f(x)在0，3上连续，在 (0，3)内二阶可导，且 2f(0)=02f(t)dt=f(2)+f(3) 证明：12 1， 2(0， 3)，使得 f(1)=f(2)=013 存在 (0，3)，使得 f()一 2f()=014 求 (x1) 15 求arctan(1+ )dx16 求曲线 y= 与 x 轴所围成的平面区域绕 y 轴旋转而成的几何体的体积17 求 18 求曲线 y
3、=x2 一 2x、y=0、x=1、x=3 所围成区域的面积 S，并求该区域绕 y 轴旋转一周所得旋转体的体积 V19 求二元函数 f(x，y)=x 3 一 3x2 一 9x+y2 一 2y+2 的极值20 设 f(x，y)= ，试讨论 f(x，y)在点(0，0)处的连续性，可偏导性和可微性21 计算 ，其中 由 z= 及 z=0 所围成22 计算 dxdy，其中 D=(x ，y)x 2+y21，x0，y023 计算 L(3x+2y+1)dxxe x2y2 dy，其中 L 为 x2+y2=4 第一象限逆时针方向部分24 计算 ，其中：z= ，取上侧(a 0)25 设 n0(n=1，2，)，S n
4、=1+2+ n。证明： 收敛26 求 y+y2=1 满足 y(0)=y(0)=0 的特解27 求微分方程 xy =x2y 2 满足初始条件 y(e)=2e 的特解考研数学一（高等数学）模拟试卷 211 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 因为 绝对收敛，条件收敛，所以 条件收敛，选(C)【知识模块】 高等数学二、填空题2 【正确答案】 3【试题解析】 当 x0 时，由 0xf(xt)dt 0xf()d，xarctanx=x 一x 一+(x3) 得f(0)=3，因为 g(x)在 x=0 处连续，所以 a=3【知识模块】 高等数
5、学3 【正确答案】 arctanx2C【试题解析】 【知识模块】 高等数学4 【正确答案】 【试题解析】 曲线 L 绕 y 轴旋转一周所得的旋转曲面为：3x 2+2y2+3z2 一 12=0 曲面过点 ，指向外侧的单位法向量为 n0= 【知识模块】 高等数学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。5 【正确答案】 【知识模块】 高等数学6 【正确答案】 【知识模块】 高等数学7 【正确答案】 x0 时，由 1 一 cosax x2 得【知识模块】 高等数学8 【正确答案】 ，则 f (0)=1，f (0)=0因为 f (0)f (0)，所以 f(x)在 x=0 处不可导【知识模块】
6、高等数学9 【正确答案】 当 x=0 时，y=1 2 xy=x+y 两边关于 x 求导得 2xyln2将 x=0，y-1 代入得 =ln21，故 dy x=0=(ln2 一 1)dx【知识模块】 高等数学10 【正确答案】 (0)=(1)=0，由罗尔定理，存在 1(0，1)，使得 (1)=0，而(x)=2xf(x)+x2f(x)， (0)=(1)=0，由罗尔定理，存在 (0， 1) (0，1)，使得()=0【知识模块】 高等数学11 【正确答案】 由 f(10)=f(1)=f(1+0)=1 得 f(x)在 x=1 处连续，从而 f(x)在0，2上连续由 f (1)= =一 1，f (1)=1，
7、得 f(x)在 x=1 处可导且 f(1)=一 1，从而 f(x)在(0， 2)内可导，故 f(x)在 0，2上满足拉格朗日中值定理的条件f(2)一 f(0)=一 1，当 x(0，1)时，f (x)=一 x，当 x1 时，f (x)= ，即 f(x)=当 01 时，由 f(2)一 f(0)=2f()得一 1=一 2，解得 = ；当12 时，由 f(2)一 f(0)=2f()得一 1= 【知识模块】 高等数学【知识模块】 高等数学12 【正确答案】 令 F(x)=0xf(t)dt，F (x)=f(x)， 02f(t)dt=F(2)一 F(0)=F(c)(20)=2f(c)，其中 0c2 因为 f
8、(x)在2，3上连续，所以 f(x)在2，3上取到最小值 m 和最大值 M，m M，由介值定理，存在 x02，3，使得 f(x0)= ，即 f(2)+f(3)=2f(x0)，于是 f(0)=f(c)=f(x0)，由罗尔定理，存在1(0， c) (0，3)， 2(c，x 0) (0，3)，使得 f(1)=f(2)=0【知识模块】 高等数学13 【正确答案】 令 (x)=e2x f(x)，( 1)=(2)=0，由罗尔定理，存在 (1， 2)(0， 3)，使得 ()=0，而 (x)=e2x f(x)一 2f(x)且 e2x 0，故 f()一 2f()=0【知识模块】 高等数学14 【正确答案】 【知
9、识模块】 高等数学15 【正确答案】 令 =t，则【知识模块】 高等数学16 【正确答案】 取x，xdx 0，2 ，则 dV=2ydx=2x dx，所求的体积为【知识模块】 高等数学17 【正确答案】 =1 1xdx=2 01xdx=1【知识模块】 高等数学18 【正确答案】 区域面积为 S=13f(x) dx= 12(2xx2)dx+23(x2 一 2x)dx=(x2 x3) 12( x3x 2) 23=2；V y=213xf(x)dx=2( 12x(2xx 2)dx 23x(x2 2x)dx)= =9【知识模块】 高等数学19 【正确答案】 由 当(x，y)=(一1，1)时， A=一 12
10、，B=0 ， C=2，因为 ACB2=一 240，所以(一 1，1)不是极值点；当(x ，y)=(3，1)时，A=12，B=0，C=2，因为 ACB2=240 且 A0，所以(3，1)为极小值点，极小值为 f(3，1)= 一 26【知识模块】 高等数学20 【正确答案】 由 =0=f(0，0)得 f(x，y) 在(0，0)处连续由=0 得 fx(0，0)=0，由f(x，y)在(0，0)可偏导 即f(x，y)在(0，0)处可微【知识模块】 高等数学21 【正确答案】 【知识模块】 高等数学22 【正确答案】 由极坐标法得【知识模块】 高等数学23 【正确答案】 令 ，则 L(3x+2y+1)dx
11、+xex2y2 dy=0 (6cost+4sint1)(一 2sint)+4e4cos2tdt=(e4 一 2) 一8【知识模块】 高等数学24 【正确答案】 axdydz+(za) 2dxdy，补充曲面 0：z=0(x 2+y2a2)，取下侧，则【知识模块】 高等数学25 【正确答案】 又S nn=1单调增加，所以 Sn存在，于是 收敛【知识模块】 高等数学26 【正确答案】 令 y=p，则 y= p 2=1，整理得 =2dy积分得 ln(p2 一 1)=一 2y+lnC1，即 p2 一 1=C1e2y ，由初始条件得 C1=一 1，即 ，变量分离得 =dx，积分得ln(ey+ )=x+C2，由初始条件得 C2=0，从而 eY+【知识模块】 高等数学27 【正确答案】 由 xy =x2+y2，得 ，令，解得 2=lnx2+C，由 y(e)=2e，得 C=2，所求的通解为 y2=x2lnx2+2x2【知识模块】 高等数学
