1、考研数学一（高等数学）模拟试卷 212 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 n=(一 1)nln(1+ )，则( )二、填空题2 设 f(x)= 在 x=0 处连续，则 a=_3 =_4 设 f(x)连续，则 0xxf(xt)dt=_5 曲面 zez+2xy=3 在点(1，2，0)处的切平面方程为 _6 设 z=f(x+y， y+z，z+x) ，其中 f 连续可偏导，则 =_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。7 求下列极限：8 求 9 求 10 设 y=ln(4x+1)，求 y(n)11 设由 ey +x(yx)=1+x 确定 y=
2、y(x)，求 y(0)12 设 f(x)二阶可导，且 =0，f(1)=1，证明：存在 (0，1)，使得 f()+2f()=013 设 f(x)在a，b上连续，在(a，b) 内可导(a0)，且 f(a)=0证明：存在 (a，b)，使得 f()= f()13 设 f(x)在1，2上连续，在 (1，2)内可导，且 f(x)0(1x2)，又存在，证明：14 存在 (1，2)，使得 15 存在 (1，2)，使得 12f(t)dt=( 一 1)f()ln216 求 17 求 18 求 0nxcosxdx19 设平面图形 D 由 x2+y2 2x 与 yx 围成，求图形 D 绕直线 x=2 旋转一周所成的旋
3、转体的体积20 设 z=yf(x2 一 y2)，其中 f 可导，证明： 21 计算 x2zd，其中 ： z122 计算 (x2+y2)dxdy，其中 D=(x，y)x 2+y24x，0yx 23 利用格林公式计算 L(exsiny+xy)dx+(excosy+y)dy，其中 L 是圆周 y=上从点 A(2a，0) 到点 O(0，0)的弧段24 对右半空间 x0 内的任意光滑有侧封闭曲面，有 xf(x)dydzxyf(x)dzdxe2xzdxdy=0，其中 f(x)在(0 ，+) 内具有一阶连续的偏导数，且 f(0+0)=1，求 f(x)25 判断级数 的敛散性，若级数收敛，判断其是绝对收敛还是
4、条件收敛26 求微分方程 y+y一 2y=(2x+1)ex 一 2 的通解27 求微分方程 x2yxy=y 2 满足初始条件 y(1)=1 的特解考研数学一（高等数学）模拟试卷 212 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 由交错级数审敛法发散，选(C)【知识模块】 高等数学二、填空题2 【正确答案】 【试题解析】 因为 f(x)在 x=0 处连续，所以 a= 【知识模块】 高等数学3 【正确答案】 C【试题解析】 【知识模块】 高等数学4 【正确答案】 0xf()d+xf(x)【试题解析】 0xxf(x 一 t)dt=一 x
5、0xf(xt)d(xt) 一 xx0f()d=x0xf()d，则 0xxf(xt)dt= x0xf()d=0xf()d+xf(x)【知识模块】 高等数学5 【正确答案】 ：4(x 一 1)+2(y 一 2)=0，即 ：2x+y 一 4=0【试题解析】 曲面 zez+2xy=3 在点(1，2，0)处的法向量为 n=2y，2x，1 一ez (1，2，0) =4，2，0，则切平面为 ：4(x 一 1)+2(y 一 2)=0，即 ：2x+y 一4=0【知识模块】 高等数学6 【正确答案】 【试题解析】 z=f(x+y，y+z，z+x) 两边求 x 求偏导得，解得 【知识模块】 高等数学三、解答题解答应
6、写出文字说明、证明过程或演算步骤。7 【正确答案】 【知识模块】 高等数学8 【正确答案】 【知识模块】 高等数学9 【正确答案】 【知识模块】 高等数学10 【正确答案】 y = =4(4x+1)1 y =42(1)(4x+1) 2 ，y =43(一 1)(一2)(4x+1)3 ，由归纳法得 y(n)= 【知识模块】 高等数学11 【正确答案】 x=0 时，y=0 e y +x(yx)=1+x 两边关于 x 求导得一 ey y+yx+x(y1)=1，则 y(0)=一 1； 一 ey y+yx+x(y一 1)=1 两边关于 x 求导得 ey (y)2一 ey y+2(y一 1)+2(y一 1)
7、xy =0，代入得 y(0)=一 3【知识模块】 高等数学12 【正确答案】 由 =0 得 f(0)=1，f (0)=0，f(0)=f(1)=1，由罗尔定理，存在 c(0，1)，使得 f(c)=0令 (x)=x2f(x)，(0)=(c)=0，由罗尔定理，存在(0， c) (0，1)，使得 ()=0，而 (x)=2xf(x)+x2f(x)，于是 2f()+2f()=0，再由 0 得 f()+2f()=0【知识模块】 高等数学13 【正确答案】 令 (x)=(b 一 x)af(x)，显然 (x)在a，b上连续，在(a，b)内可导因为 (a)=(b)=0，所以由罗尔定理，存在 (a，b)，使得 ()
8、=0由 (x)=(b一 x)a1 (b 一 x)f(x)一 af(x)得(b 一 )a1 (b 一 )f()一 af()且(b 一 )a1 0，故f()= f()【知识模块】 高等数学【知识模块】 高等数学14 【正确答案】 令 h(x)=lnx，F(x)= 1xf(t)dt，且 F(x)=f(x)0，由柯西中值定理，存在 (1，2)，使得 【知识模块】 高等数学15 【正确答案】 由 得 f(1)=0，由拉格朗日中值定理得 f()=f()一f(1)=f()( 一 1)，其中 1，故 12f(t)dt=( 一 1)f()ln2【知识模块】 高等数学16 【正确答案】 【知识模块】 高等数学17
9、 【正确答案】 dx=一lnsinxd(cotx)=一cotxlnsinx+cotx dx=cotxlnsinx+(csc 2x 一 1)dx=一 cotxlnsinxcotx x+C【知识模块】 高等数学18 【正确答案】 0nxcosx dx= 0xcosxdx 2xcosxdx (n1)nxcosx dx， 0xcosxdx= 0cosx dx= =， 2xcosxdx 0(t)costdt= 0tcostdt 0costdt=2=3 ， 23xcosxdx 0(t2)costdt= 0tcostdt2 0cost dt=5，则0nxcosxdx= 3(2n1)=n 2【知识模块】 高等
10、数学19 【正确答案】 取x，x+dx 0，1，则 d=2(2 一 x)( 一 x)dx，【知识模块】 高等数学20 【正确答案】 =2xyf(x2 一 y2)， =f(x2 一 y2)一 2y2f(x2 一 y2)，则=2yf(x2 一 y2)+ f(x2 一 y2)一 2yf(x2 一 y2)= (x2 一 y2)= 【知识模块】 高等数学21 【正确答案】 x2dxdy=01zdz02d0zr3cos2dr= 01z5dz02cos2d=【知识模块】 高等数学22 【正确答案】 【知识模块】 高等数学23 【正确答案】 I= L(exsiny+xy)dx+(excosy+y)dy= (e
11、xsiny+xy)dx+(excosy+y)dy 而 (exsiny+xy)dx+(excosy+y)dy= ， (exsiny+x一 y)dx+(excosy+y)dy=02axdx=2a2，所以 L(exsiny+x 一 y)dx(e xcosyy)dy=( 2)a2【知识模块】 高等数学24 【正确答案】 由高斯公式得 xf(x)dydzxyf(x)dzdxe2xzdxdy= xf(x)+(1 一x)f(x)一 e2xd=0，当曲面 法向量指向外侧时取正号，当曲面 的法向量指向内侧时取负号由的任意性得 xf(x)+(1 一 x)f(x)一 e2x=0(xO) ，或者 f(x)+，则 f(
12、x 因为 (e2x Cex)=0，从而 C=1，于是 f(x)=(ex1)【知识模块】 高等数学25 【正确答案】 级数 是交错级数，【知识模块】 高等数学26 【正确答案】 特征方程为 2+ 一 2=0，特征值为 1=1， 2=一 2，令 y+y一2y=(2x+1)ex (1)y+y一 2y=一 2 (2)令(1)的特解为 y1=(ax2+bx)ex，代入(1)得；显然(2)的一个特解为 y2=1，故原方程通解为 y=C1ex+C2e2x +1【知识模块】 高等数学27 【正确答案】 由 x2y xy=y2 得 ，两边积分得 =Cx2，因为 y(1)=1，所以 C=一1，再把 = =Cx2 得原方程的特解为 y= 【知识模块】 高等数学
