1、考研数学一（高等数学）模拟试卷 213 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设直线 L： 及平面 ：4x 一 2y+z 一 6=0，则直线 L( )（A）平行于平面 （B）在平面 上（C）垂直于平面 （D）与平面 斜交2 设 an0(n=1，2，)且 收敛，又 0k ( )（A）绝对收敛（B）条件收敛（C）发散（D）敛散性与 k 有关二、填空题3 当 x0 时，e x 一 为 x 的 3 阶无穷小，则 a=_，b=_ 4 设 f(x)一阶可导，且 f(0)=f(0)=1，则 =_5 =_6 设 f(x)是以 T 为周期的连续函数，且 F(x)=0xf(
2、t)dt+bx 也是以 T 为周期的连续函数，则 b=_7 由 x=zeyz 确定 z=z(x，y)，则 dz (e，0) =_8 计算 01dx dy=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。9 当 x0 时，(1+xsin2x) a 一 11 一 cosx，求 a 的值10 求 arctanx11 求 12 设 y=y(x)由 x 一 1xy et2 dt=0 确定，求 x=013 设 f(x)二阶可导， =1，f(1)=1，证明：存在 (0，1)，使得 f()一 f()+1=014 设函数 f(x)和 g(x)在区间 a，b上连续，在区间(a，b)内可导，且 f(a)=g(b
3、)=0，g (x)0 ，试证明存在 (a，b) 使 =015 求 arcsin2xdx16 求 16 设 L： 17 求曲线 L 与 x 轴所围成平面区域 D 的面积18 求区域 D 绕 x 轴旋转一周所成几何体的体积19 求 01 20 求由曲线 y=4 一 x2 与 x 轴围成的部分绕直线 x=3 旋转一周所成的几何体的体积21 设 z= 22 求 dxdydz，其中 为曲面 z= 所围成的立体23 求 I= ，其中 L 为 x2+y2=a2上从点 A(a，0)沿逆时针方向到点 B(一 a，0)的有向曲线段，其中 a024 设向量场 A=xz 2+y2，x 2y+z2，y 2z+x2，求
4、rotA 及 divA25 求幂级数 的收敛域26 设 f(x)连续，且 f(x)一 40xtf(xt)dt=ex，求 f(x)27 求微分方程(xy 2y 一 1)dx(x 2yx2)dy=0 的通解考研数学一（高等数学）模拟试卷 213 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 直线 L 的方向向量为 s=1，3，22，1，10= 一28，14，一 7，因为 sn，所以直线 L 与平面 垂直，正确答案为(C)【知识模块】 高等数学2 【正确答案】 A【试题解析】 令 n=收敛，所以 绝对收敛，选(A)【知识模块】 高等数学二、
5、填空题3 【正确答案】 【试题解析】 由 ex=1+x+ +(x3)， =1 一 bx+b2x2 一 b3x3+(x)3，得=(1+ax)1 一 bx+b2x2 一 b3x3+(x3)=1+(a 一 b)x+(b2 一 ab)x2+(ab2 一 b3)x3+(x3)，【知识模块】 高等数学4 【正确答案】 2【试题解析】 【知识模块】 高等数学5 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学6 【正确答案】 0Tf(t)dt【试题解析】 F(x+T)= 0xT f(t)dt+b(x+T)=0xf(t)dt+bx+xxT f(t)dt+bT=F(x)+xxT f(t)dt+bT=F(x)+
6、0Tf(t)dt+bT，由 F(x+T)=F(x)，得 b= 0Tf(t)dt【知识模块】 高等数学7 【正确答案】 dz(e，0)=【试题解析】 x=e，y=0 时，z=1x=ze yz 两边关于 x 求偏导得 1=；x=ze yz 两边关于 y 求偏导得，故 dz(e，0)=【知识模块】 高等数学8 【正确答案】 1 一 sin1【试题解析】 改变积分次序得 01 =01(1y)sinydy=01(y 一 1)d(cosy)=(y1)(cosy)=(y1)cosy 01 一 01cosydy=1 一 sin1【知识模块】 高等数学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。9 【正确
7、答案】 由 x0 时，(1+xsin2x) a 一 1axsin2x 2ax 2，1cosx x2 得【知识模块】 高等数学10 【正确答案】 【知识模块】 高等数学11 【正确答案】 令 f(x)=arctanx，由微分中值定理得【知识模块】 高等数学12 【正确答案】 x=0 时，y=1 x 1xy et2 dt=0 两边关于 x 求导得 1 一=e 一 1【知识模块】 高等数学13 【正确答案】 由 =1 得 f(0)=0，f (0)=1，由拉格朗日中值定理，存在c(0，1)，使得 f(c)= =1令 (x)=e xf(x)一 1，(0)=(c)=0，由罗尔定理，存在 (0，c) (0，
8、1) ，使得 ()=0，而 (x)=ex f(x)一 f(x)+1且ex 0，故 f()一 f()+1=0【知识模块】 高等数学14 【正确答案】 令 (x)=f(x)xbg(t)dt+g(x)axf(t)dt，(x)在区间a，b上连续，在区间(a ，b)内可导，且 (x)=f(x)xbg(t)dtf(x)g(x)+g(x)f(x)+g(x)axf(t)dt=f(x)xbg(t)dt+g(x)axf(t)dt，因为 (a)=(b)=0，所以由罗尔定理，存在 (a，b)使 ()=0，即f()bg(t)dt+g()af(t)dt=0，由于 g(b)=0 及 g(x)0，所以区间(a，b)内必有 g
9、(x)0，从而就有 xbg(t)dt0 ，于是有 =0【知识模块】 高等数学15 【正确答案】 arcsin 2xdx=xarcsin2xarcsinxdx=xarcsin2x+ arcsinxd(1 一 x2)=xarcsin2x+2arcsinxd()=xarcsin2x+ arcsinx 一 2dx=xarcsin2x+ arcsinx 一 2xC【知识模块】 高等数学16 【正确答案】 【知识模块】 高等数学【知识模块】 高等数学17 【正确答案】 所求的面积为 A=02aydx=02a(1 一 cost)a(1 一 cost)dt=a202(1一 cost)2dt=2a202 =3a
10、2【知识模块】 高等数学18 【正确答案】 所求体积为 V=02ay2dx=02a2(1 一 cost)2a(1 一 cost)dt=2a302=52a3【知识模块】 高等数学19 【正确答案】 【知识模块】 高等数学20 【正确答案】 取x，x+dx 一 2，2，则 dV=2(3一 x)(4 一 x2)dx，V= 2 2dV=22 2(3x)(4x 2)dx=62 2(4x 2)dx=1202(4 一 x2)dx=12 =64【知识模块】 高等数学21 【正确答案】 =2xex2y2 sinxy+yex2y2 cosxy， =2yex2y2 sinxy+xex2y2 cosxy， =4xye
11、x2y2sinxy+2x2ex2y2 cosxy+ex2y2 cosxy2y 2ex2y2 cosxyxyex2y2 sinxy=ex2y2 3xysinxy+(2x2+2y2+1)cosxy 【知识模块】 高等数学22 【正确答案】 由 得 在平面 xOy 上的投影区域为D：x 2+y2 ，则 =(x，y，z)(x，y) D， ，【知识模块】 高等数学23 【正确答案】 取 L0：y=0(起点 x=一 a，终点 x=a)，【知识模块】 高等数学24 【正确答案】 rotA= =2yz2Z，2xz 2x，2xy2y，divA= =x2y 2z 2【知识模块】 高等数学25 【正确答案】 由 =
12、1 得收敛半径为 R=1，当 x=一 1 时，发散；当 x=1 时，的收敛域为(一 1，1【知识模块】 高等数学26 【正确答案】 0xtf(xt)dt x0xf()d0xf()d，原方程两边求导得 f(x)一 40xf()d=ex，再求导得 f(x)一 4f(x)=ex，解方程得 f(x)=C1e2x +C2e2x 一 ex，由f(0)=1，f (0)=1 得 C1= ，C 2=1，故 f(x)= e2x e2x 一 ex【知识模块】 高等数学27 【正确答案】 令 P(x，y)=xy 2+y 一 1，Q(x，y)=x 2y+x+2，因为=2xy+1，所以原方程为全微分方程，令 (x，y)= (0，0) (x，y) (xy2+y 一 1)dx+(x2y+x+2)dy=0x(一 1)dx+0y(x2y+x+2)dy=一 x+ xy+2y 则原方程的通解为xy+2yx=C【知识模块】 高等数学
