1、考研数学一（高等数学）模拟试卷 214 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f(x)= 则 fff(x)等于( ) （A）0（B） 1（C）（D）2 设直线 则直线 L1，L 2 的夹角为( )3 设 收敛，则下列级数必收敛的是( )二、填空题4 设 f(x)为偶函数，且 f(一 1)=2，则 =_5 =_6 11 dx=_7 =_8 (x2+xyx)dxdy=_，其中 D 由直线 y=x，y=2x 及 x=1 围成9 级数 =_10 微分方程 y+ytanx=cosx 的通解为_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。11 设 a00，
2、 an1 = (n=0，1，2，) ，证明： an 存在，并求之12 求 dt13 确定正数 a，b 的值，使得 =214 设 f(x)= ，求 df(x) x=115 设 f(x)在a，b上连续，在(a，b) 内可导(a0)，证明：存在 (a，b)，使得 f(b)一 f(a)=f()ln 16 设 f(x)，g(x) 在a，b 上连续，在(a ，b)内可导，且 g(x)0证明：存在 (a，b)，使得 17 求 18 求 18 设 f(x)连续，且 F(x)=0x(x 一 2t)f(t)dt证明：19 若 f(x)是偶函数，则 F(x)为偶函数；20 若 f(x)单调不增，则 F(x)单调不减
3、21 设 f(x)C一 ，且 f(x)= + f(x)sinxdx，求 f(x)22 曲线 y=x2(x0)上某点处作切线，使该曲线、切线与 z 轴所围成的面积为 ，求切点坐标、切线方程，并求此图形绕 z 轴旋转一周所成立体的体积23 设 z=0x2f(t，e t)dt，f 有一阶连续的偏导数，求 24 计算 (x2+y2)dxdydz，其中 是由 x2+y2=z2 与 z=a(a0)所围成的区域25 计算 I=L(ex+1)cosydx 一(e x+x)sinyxdy，其中 L 为由点 A(2，0)沿心形线r=1cos 上侧到原点的有向曲线段26 求幂级数 的收敛域27 求微分方程 的通解考
4、研数学一（高等数学）模拟试卷 214 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 ff(x)= 因为f(x)1，所以 f(f(x)=1，于是fff(x)=1，选(B)【知识模块】 高等数学2 【正确答案】 C【试题解析】 s 1=1，一 2，1，s 2=1，一 1，00，2，1= 一 1，一1，2，设直线 L1，L 2 的夹角为 ，则 cos= ，正确答案为(C) 【知识模块】 高等数学3 【正确答案】 D【试题解析】 (n+n1 )收敛，因为 Sn=2(1+2+ n)一 1+n1 ，而级数n 收敛所以 (1 2+ n)存在且 存在
5、，由级数收敛的定义， (n+n1 )收敛，选(D)【知识模块】 高等数学二、填空题4 【正确答案】 一 8【试题解析】 因为 f(x)为偶函数，所以 f(x)为奇函数，于是 f(1)=一 2【知识模块】 高等数学5 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学6 【正确答案】 【试题解析】 因为 ln(x+ )为奇函数，所以 x2ln(x )为奇函数【知识模块】 高等数学7 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学8 【正确答案】 【试题解析】 (x2xy 一 x)dxdy=01dxx2x(x2+xyx)dy= 01 【知识模块】 高等数学9 【正确答案】 【试题解析】 n=
6、，因为【知识模块】 高等数学10 【正确答案】 (x+C)cosx【试题解析】 y=cosxe tanxdxdx+Cetanxdx =(x+C)cosx【知识模块】 高等数学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。11 【正确答案】 由 an1 = 得 an1(n=1，2，3，)；又由an1 = 得 an2(n=1，2，)，故数列a n有界；又由 an1一 an= 得 an1 一 an 与 an 一 an1 同号，即数列a n单调，故 存在令【知识模块】 高等数学12 【正确答案】 【知识模块】 高等数学13 【正确答案】 ，显然b=1，且 =2，故 a=1【知识模块】 高等数学14
7、 【正确答案】 由 f(x)= =xex 得 f(x)=(x+1)ex，从而 f(1)=2e，故 df(x) x=1=2edx【知识模块】 高等数学15 【正确答案】 令 g(x)=lnx，g (x)= 0，由柯西中值定理，存在 (a，b)，使得，整理得 f(b)一 f(a)=f()ln 【知识模块】 高等数学16 【正确答案】 令 F(x)=f(x)g(b)+f(a)g(x)一 f(x)g(x)，则 F(x)在a，b上连续，在(a， b)内可导，且 F(a)=F(b)=f(a)g(b)，由罗尔定理，存在 (a，b)，使得 F()=0，而 F(x)=f(x)g(b)+f(a)g(x)一 f(x
8、)g(x)一 f(x)g(x)，所以 【试题解析】 这是含端点和含 的项的问题，且端点与含 的项不可分离，具体构造辅助函数如下：把结论中的 换成 x 得 ，整理得 f(x)g(b)+f(a)g(x)一 f(x)g(x)一 f(x)g(x)=0，还原得 f(x)g(b)+f(a)g(x)一 f(x)g(x)=0，辅助函数为 F(x)=f(x)g(x)+f(a)g(x)一 f(x)g(x)【知识模块】 高等数学17 【正确答案】 【知识模块】 高等数学18 【正确答案】 【知识模块】 高等数学【知识模块】 高等数学19 【正确答案】 设 f(一 x)=f(x)，因为 F(一 x)=0x (一 x
9、一 2t)f(t)dt 0x(一x+2)f(一 )(一 d)=0x(x 一 2)f()d=F(x)，所以 F(x)为偶函数【知识模块】 高等数学20 【正确答案】 F(x)= 0x(x 一 2t)f(t)dt=x0xf(t)dt 一 20xtf(t)dt， F (x)=0xf(t)dtxf(x)=xf()一 f(x)，其中 介于 0 与 x 之间， 当 x0 时，x0，因为 f(x)单调不增，所以 F(x)0， 当 x0 时， 0x，因为 f(x)单调不增，所以 F(x)0， 从而 F(x)单调不减【知识模块】 高等数学21 【正确答案】 令 f(x)sinxdx=A，则 f(x)= +A，于
10、是 f(x)sinx=+Asinx，两边从一 到 积分得【知识模块】 高等数学22 【正确答案】 设切点坐标为(a，a 2)(a0)，则切线方程为 y 一 a2=2a(xa)，即y=2axa2，由题意得 S= ，解得 a=1，则切线方程为 y=2x 一 1，旋转体的体积为 V= 【知识模块】 高等数学23 【正确答案】 =2xyf(x2y，e x2y)， =2xf(x2y，e x2y)+2xyx2f1(x2y，e x2y)+x2ex2yf2(x2y，e x2y)【知识模块】 高等数学24 【正确答案】 =(x，y，z) x 2+y2z2，0za，则 (x2+y2)dxdydz=0adz02d0zr3dr= 0az4dz= 【知识模块】 高等数学25 【正确答案】 令 L1：y=0(起点 x=0，终点 x=2)，则L1(ex+1)cosydx(ex+x)siny 一 xdy=02(ex1)dx=e 21，所以原式= 一 e2 一 1【知识模块】 高等数学26 【正确答案】 由 得收敛半径为 R= ，当 x= (2n 一 1)发散，故级数的收敛域为【知识模块】 高等数学27 【正确答案】 由 一 2x=y，则 x=一ye 2dy dy+Ce2dy =Ce2y 【知识模块】 高等数学
