1、考研数学一（高等数学）模拟试卷 215 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 函数 f(x)=xsinx e cosx ，一x+是( )（A）有界函数（B）单调函数（C）周期函数（D）偶函数2 在曲线 x=t，y= 一 t2，z=t 3 的所有切线中，与平面 x+2y+z=4 平行的切线( )（A）只有 1 条（B）只有 2 条（C）至少 3 条（D）不存在3 下列说法正确的是( ) 二、填空题4 设 f(x)在 x=a 处可导，则 =_5 =_6 01 dx=_7 设 z= =_8 01dy0y2ycos(1 一 x)2dx=_9 级数 收敛，则 p
2、的范围为_10 设函数 ()可导且 (0)=1，二元函数 z=(x+y)exy 满足 =0，则 ()=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。11 设 f(x)= ，求 f(x)的间断点，并进行分类12 (x0)13 设 x 一(a+bcosx)sinx 为 x0 时 x 的 5 阶无穷小，求 a，b 的值14 设 f(x)可导且 f(0)0，且 15 设 f(x)在0， 上连续，在 (0， )内可导，证明：存在 ， (0， )，使得16 设 f(x)在0，1上连续，证明：存在 (0，1)，使得 0f(t)dt+( 一 1)f()=017 求 18 求 19 设 f(x)=1xet
3、2 dt，求 01x2f(x)dx19 设 f(x)为连续函数，20 证明： 0xf(sinx)dx= 0f(sinx)dx= f(sinx)dx；21 证明： 02f(sinx)dx=4 f(sinx)dx22 求 0 dx23 求摆线 L： (a0)的第一拱绕 x 轴旋转一周所得旋转体的体积24 设 =f(x+y，x 2+y2)，其中 f 二阶连续可偏导，求 25 计算 (x2+y2)dxdydz，其中 是由曲线 绕 z 轴一周所成的曲面介于z=2 与 z=8 之间的几何体26 在过点 O(0，0) 和 A(，0)的曲线族 y=asinx(a 0)中，求一条曲线 L，使沿该曲线从点 O 到
4、 A 的积分 I=L(1+y3)dx+(2x+y)dy 的值最小27 求幂级数 的收敛域28 求微分方程 的通解考研数学一（高等数学）模拟试卷 215 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 显然函数为偶函数，选(D)【知识模块】 高等数学2 【正确答案】 B【试题解析】 在 t=t0 处曲线的切向量为 T=1，一 2t0，3t 02，切线与平面x+2y+z=4 平行的充分必要条件是 nT=0，即 14t0+3t02=0，解得 t0= 或 t0=1，选(B)【知识模块】 高等数学3 【正确答案】 D【试题解析】 【知识模块】 高
5、等数学二、填空题4 【正确答案】 10f(a)f (a)【试题解析】 因为 f(x)在 x=a 处可导，所以 f(x)在 x=a 处连续=2f(a)5f(a)=10f(a)f(a)【知识模块】 高等数学5 【正确答案】 C【试题解析】 【知识模块】 高等数学6 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学7 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学8 【正确答案】 sin1【试题解析】 01dy0y2ycos(1x) 2dx=01cos(1x) 2dx 1ydy= 01(1 一 x)cos(1 一x)2dx= 01cos(1 一 x)2d(1 一 x)2= 【知识模块】 高等数
6、学9 【正确答案】 p【试题解析】 ，当时，级数收敛【知识模块】 高等数学10 【正确答案】 【试题解析】 令 x+y=，则 =()exyy()e xy， =()exy+x()exy，=2()exy+()exy，由 =0 得 2()+()=0，或 ()+ ()=0，解得 ()= ，再由 (0)=1得 C=1，故 ()= 【知识模块】 高等数学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。11 【正确答案】 x=0，x=1，x= 为 f(x)的间断点f(00)=，由 f(00)f(0+0)得 x=0 为跳跃间断点；由 f( 一 0)f(+0)得 x= 为跳跃间断点；由 f(10)=0，f(1
7、+0)=一得 x=1 为第二类间断点【知识模块】 高等数学12 【正确答案】 【知识模块】 高等数学13 【正确答案】 x0 时，x 一(a+bcosx)sinx=x 一 asinx sin2x【知识模块】 高等数学14 【正确答案】 由 =3【知识模块】 高等数学15 【正确答案】 令 g(x)=cosx，g (x)=一 sinx0(0x )，由柯西中值定理，存在(0， )，使得 ；由拉格朗日中值定理，存在 ，故【知识模块】 高等数学16 【正确答案】 令 (x)=x0xf(t)dt 一 0xf(t)dt 因为 (0)=(1)=0，所以由罗尔定理，存在 (0，1)，使得 ()=0 而 (x)
8、=0xf(t)dt+(x 一 1)f(x)，故 0f(t)dt+( 一 1)f()=0【试题解析】 由 0xf(t)dt+(x1)f(x)=0，得 0xf(t)dt+xf(x)一 f(x)=0，从而(x 0xf(t)dt一 0xf(t)dt)=0，辅助函数为 (x)=x0xf(t)dt 一 0xf(t)dt【知识模块】 高等数学17 【正确答案】 【知识模块】 高等数学18 【正确答案】 【知识模块】 高等数学19 【正确答案】 【知识模块】 高等数学【知识模块】 高等数学20 【正确答案】 令 I=0xf(sinx)dx，则 I=0xf(sinx)dx 0（ t)f(sint)( 一 dt)
9、=0( 一 t)f(sint)dt=0(x)f(sinx)dx= 0(t)f(sint)(dt)= 0(t)f(sint)dt=0f(sinx)dxI，则 I=0xf(sinx)dx= 【知识模块】 高等数学21 【正确答案】 02f(sinx)dx= f(sinx )dx=2 0f(sinx)dx=2 0f(sinx)dx=40 f(sinx)dx【知识模块】 高等数学22 【正确答案】 【知识模块】 高等数学23 【正确答案】 V= 02af2(x)dx=02ay2dx=02a3(1cos) 3dt=803a3( )3dt=32a30sin6 =32a3I6=32a3 =52a3【知识模块
10、】 高等数学24 【正确答案】 =f1+2xf2， =f1+2yf2， =f11+2xf12+2f2+2x(f21+2xf22)=f11+4xf12+4x2f22+2f2， =f11+2yf12+2f2+2y(f21+2yf22)=f11+4yf12+4y2f22+2f2则 =2f11+4(x+y)f12+4(x2+y2)f22+4f2【知识模块】 高等数学25 【正确答案】 曲线 绕 z 轴一周所成的曲面为 z= (x2+y2)，则=(x，y，z)(x，y)D z，2z8，其中 Dz：x 2+y22z，于是 (x2+y2)dxdydz=28dz (x2+y2)dxdy=28dz02d r3d
11、r=228z2dz=336【知识模块】 高等数学26 【正确答案】 I=I(a)= 0(1+a3sin3x)+(2x+asinx)acosxdx= 一 4a 由 I(a)=4(a2 一 1)=0，得 a=1，I (a)=8a，由 I(1)=80 得 a=1 为 I(a)的极小值点，因为 a=1是 I(a)的唯一驻点，所以 a=1 为 I(a)的最小值点，所求的曲线为 y=sinx【知识模块】 高等数学27 【正确答案】 令 x 一 1=t，显然级数 的收敛半径为 R=1，又当t=1 时，绝对收敛，所以级数的收敛区间为一 1，1 ，故原级数的收敛域为0，2 【知识模块】 高等数学28 【正确答案】 令 x+y=，则 ，变量分离得d=dx，两边积分得 一 arctan=x+C，所以原方程的通解为 yarctan(x+y)=C【知识模块】 高等数学
