1、考研数学一（高等数学）模拟试卷 217 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 当 x0 时，下列无穷小中，阶数最高的是( )（A）ln(1+x 2)一 x2（B） +cosx 一 2（C） 0x2ln(1t 2)dt（D）e x2 一 1 一 x22 设级数 都发散，则( )二、填空题3 设 a0，且 =1，则 a=_，b=_4 设 f(x)为奇函数，且 f(1)=2，则 f(x3) x=1 =_5 设 f(x)C(1，+)，广义积分， 1 f(x)dx 收敛，且满足 f(x)= 1 f(x)dx，则 f(x)=_6 设 f(x，y)满足 =2，f(x，
2、0)=1，f y(x，0)=x ，则 f(x，y)=_7 设 f(x，y)在点(0，0)的邻域内连续， F(t)= =_8 设 an(2x 一 1)n 在 x=一 2 处收敛，在 x=3 处发散，则 anx2n 的收敛半径为_9 的通解为_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。10 求 11 确定常数 a，c ，使得 =c，其中 c 为非零常数12 设 f(x)= ，求 f(n)(x)13 设 ex 一 是关于 x 的 3 阶无穷小，求 a，b 的值14 设 f(x)在0，1上连续，在 (0，1)内可导，且 f(0)=f(1)，证明：存在 ，(0，1)，使得 f()+f()=015
3、 计算下列积分：16 求 17 求 18 求 18 设 y=f(x)为区间0，1上的非负连续函数19 证明存在 c(0，1) ，使得在区间0，c上以 f(c)为高的矩形面积等于区间c，1上以 y=f(x)为曲边的曲边梯形的面积；20 设 f(x)在(0，1)内可导，且 f(x)一 ，证明(1)中的 c 是唯一的21 设一抛物线 y=ax2+bx+c 过点(0，0)与(1 ，2)，且 a0，确定 a，b，c，使得抛物线与 x 轴所围图形的面积最小22 设 =一 1，4，2 ，求 ABC 的面积23 设 z=z(x，y)由方程 z+lnz yxet2 dt=1 确定，求 24 设 f(x)在 x=
4、0 处可导，f(0)=0，求极限 f(x2+y2+z2)d，其中 ：25 设曲线积分 Lf(x)+2f(x)e xydx+f(x)一 xdy 与路径无关，且 f(0)=0，f (0)= ，其中 f(x)连续可导，求 f(x)26 求幂级数 的和函数27 (1)设 f(x)=ex 一 0x(x 一 t)f(t)dt，其中 f(x)连续，求 f(x)(2)设 f(x)在(一 1，+)内连续且 f(x)一 0xtf(f)dt=1(x一 1)，求 f(x)考研数学一（高等数学）模拟试卷 217 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 当
5、 x0 时，ln(1+x 2)一 x2 x4，【知识模块】 高等数学2 【正确答案】 D【试题解析】 选(D) 因为 ( n+ n)为正项级数，若 ( n+ n)收敛，因为 0 n n+ n，0 n n+ n，根据正项级数的比较审敛法知，都收敛，矛盾【知识模块】 高等数学二、填空题3 【正确答案】 a=4，b=1；【试题解析】 【知识模块】 高等数学4 【正确答案】 6【试题解析】 因为 f(x)为奇函数，所以 f(x)为偶函数由 f(x3)=3x2f(x3)得f(x3) x=1 =3f(一 1)=3f(1)=6【知识模块】 高等数学5 【正确答案】 f(x)=【试题解析】 【知识模块】 高等
6、数学6 【正确答案】 f(x，y)=y 2+xy+1【试题解析】 由 =2y+1(x)，因为 fy(x，0)=x ，所以 1(x)=x，即=2y+x，再由 =2y+x 得 f(x，y)=y 2xy+ 2(x)，因为 f(x，0)=1 ，所以 2(x)=1，故 f(x，y)=y 2+xy+1【知识模块】 高等数学7 【正确答案】 2f(0，0)【试题解析】 F(t)= f(x，y)d=f(，)t 2，其中(，) D，D：x 2+y2t2【知识模块】 高等数学8 【正确答案】 【试题解析】 设级数 anxn 的收敛半径为 R，则 解得R=5，故级数 anx2n 的收敛半径为 【知识模块】 高等数学
7、9 【正确答案】 Ce 2y【试题解析】 一 2x=y2，则 x=(y2e 2dy dy+C)e2dy =(y2 e2y dy+C)e2y= +Ce2y【知识模块】 高等数学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。10 【正确答案】 【知识模块】 高等数学11 【正确答案】 由洛必达法则，【知识模块】 高等数学12 【正确答案】 令 f(x)= ，由A(2x+1)+B(x 一 2)=4x 一 3 得 ，解得 A=1，B=2，即 f(x)=【知识模块】 高等数学13 【正确答案】 e x=1+x+ (x 3)， =1 一 bx+b2x2 一 b3x3+o(x3)，=(1+ax)1bx+
8、b2x2 一 b3x3+(x3)=1+(ab)x+b(ba)x 2 一 b2(b 一 a)x3+(x3)，ex =(1 一 a+b)x+( +abb2)x2+( +b3 一 ab2)x3+(x3)，由题意得 1 一a+b=0， +abb2=0 且 +b3 一 ab20，解得 【知识模块】 高等数学14 【正确答案】 因为 f(0)=f(1)，所以 f()=一 f()，即 f()+f()=0【知识模块】 高等数学15 【正确答案】 (1)令 ，由 A(x+2)+B(x 一 1)=3x 一 2 得 ，故(2)【知识模块】 高等数学16 【正确答案】 【知识模块】 高等数学17 【正确答案】 【知识
9、模块】 高等数学18 【正确答案】 【知识模块】 高等数学【知识模块】 高等数学19 【正确答案】 S 1(c)=cf(c)，S 2(c)=c1f(t)dt=一 1cf(t)dt，即证明 S1(c)=S2(c)或 cf(c)+1cf(t)dt=0，令 (x)=x1xf(t)dt，(0)=(1)=0，根据罗尔定理，存在 c(0，1)使得(c)=0，即 cf(c)+1cf(t)dt=0，所以 S1(c)=S2(c)，命题得证。【知识模块】 高等数学20 【正确答案】 令 h(x)=xf(x) x1f(t)dt，因为 h(x)=2f(x)+xf(x)0，所以 h(x)在0，1上为单调函数，所以(1)
10、 中的 c 是唯一的【知识模块】 高等数学21 【正确答案】 因为曲线过原点，所以 c=0，又曲线过点(1，2)，所以a+b=2，b=2 一 a因为 a0，所以 b0，抛物线与 x 轴的两个交点为 0， ，所以 S(a)= 令 S(a)=0，得 a=一 4，从而b=6，所以当 a=4，b=6，c=0 时，抛物线与 x 轴所围成的面积最小【知识模块】 高等数学22 【正确答案】 =一 2，一 1，一 3一 1，4，2= 10，7，一9，则ABC 的面积为 S= 【知识模块】 高等数学23 【正确答案】 当 x=0，y=0 时，z=1 z+lnz yxet2 dt=1 两边分别对 x 和 y 求偏
11、导得【知识模块】 高等数学24 【正确答案】 令 ，【知识模块】 高等数学25 【正确答案】 P(x，y)=f (x)+2f(x)+exy， Q(x，y)=f (x)x， =f(x)一1， =f(x)+2f(x)e x，因为曲线积分与路径无关，所以 ，整理得 f(x)一 f(x)一 2f(x)=ex+1，特征方程为 2 一 一 2=0，特征值为 1=一 1， 2=2，方程f(x) f(x)一 2f(x)=0 的通解为 f(x)=C1ex +C2e2x；令方程 f(x)f (x)一 2f(x)=ex 的特解为 f1(x)=aex，代入得 a= ，即 f1(x)= ex；方程 f(x)f (x)2
12、f(x)=1 的特解为 f2(x)= ，方程 f(x)一 f(x)一 2f(x)=ex+1 的特解为 f0(x)= (ex+1)，方程 f(x)一 f(x)2f(x)=e x+1 的通解为 f(x)=C1ex +C2e2x (ex+1)，【知识模块】 高等数学26 【正确答案】 由 =4，得幂级数的收敛半径为 R= ，当 x=收敛，故级数的收敛域为【知识模块】 高等数学27 【正确答案】 (1)由 f(x)=ex 一 0x(xt)f(t)dt，得 f(x)=exx0xf(t)dt+0xtf(t)dt，两边对 x 求导，得 f(x)=ex 一 0xf(t)dt，两边再对 x 求导得 f(x)+f(x)=ex，其通解为 f(x)=C1cosx+C2sinx ex在 f(x)=ex0x(x 一 t)f(t)dt 中，令 x=0 得 f(0)=1，在 f(x)=ex0xf(t)dt 中，令 x=0 得 f(0)=1，于是有ex(2)由 f(x) 0xtf(t)dt=1得(x+1)f(x)一 0xtf(t)dt=x+1，两边求导得 f(x)(x+1)f (x)xf(x)=1，整理得 f(x)【知识模块】 高等数学
