1、考研数学一（高等数学）模拟试卷 218 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设当 x0 时，(xsinx)ln(1+x)是比 exn 一 1 高阶的无穷小，而 exn 一 1 是比 0x(1一 cos2t)dt 高阶的无穷小，则 n 为( ) （A）1（B） 2（C） 3（D）42 下列命题正确的是( ) 二、填空题3 若当 x 时， 一 3arccosxa(x 一 )b ，a=_，b=_4 设 f(x)= ，且 f(0)存在，则a=_，b=_，c=_5 设 f(x)= =_6 z= f(xy)+yg(x2+y2)，其中 f，g 二阶连续可导，则 =_
2、7 01x21 dy=_8 设 f(x)是以 4 为周期的函数，当 x一 2，2)时，f(x)= 且其傅里叶级数 的和函数为 S(x)，则 S(9)=_9 微分方程 y2dx+(x2 一 xy)dy=0 的通解为_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。10 求 11 设 =2，求 a，b 的值12 设 y=x2lnx，求 y(n)(n3)13 设 y= ，求 y(n)(0)14 设 f(x)在a，b上连续，在(a，b) 内可导(a0)证明：存在 ， (a，b)，使得f()= f()15 计算 16 求 17 求 18 求 01x4 dx18 设 L：y=sinx(0x )由 x=0
3、，L 及 y=sint 围成的区域面积为 S1(t)；由L、y=sint 及 x= 围成的区域面积为 S2(t)，其中 0t 19 求 S(t)=S1(t)+S2(t)20 t 取何值时，S(t)取最小值?t 取何值时，S(t)取最大值 ?21 求摆线 (0t2)的长度22 设点 A(1，一 1，1) ， B(一 3，2，一 1)，C(5，3，一 2)，判断三点是否共线，若不共线求过三点的平面的方程23 设 z=fx+(xy)，y ，其中 f 二阶连续可偏导， 二阶可导，求 24 设 f(x)在 x=0 处连续，求极限 f(x2+y2+z2)d，其中 ：25 计算曲线积分 ，其中 L 为不经过
4、原点的逆时针光滑闭曲线26 求幂级数 的和函数27 用变量代换 x=lnt 将方程 e 2xy=0 化为 y 关于 t 的方程，并求原方程的通解考研数学一（高等数学）模拟试卷 218 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 当 x0 时，e xn 一 1x n，因为 sinx=x 一 +(x3)，所以(xsinx)ln(1+x) ，【知识模块】 高等数学2 【正确答案】 D【试题解析】 选(D) 【知识模块】 高等数学二、填空题3 【正确答案】 a= ，b=1；【试题解析】 【知识模块】 高等数学4 【正确答案】 a=2，b=2
5、，c=2；【试题解析】 f(0+0)= f(x)=a，f(0)=2 ，f(00)=c，因为 f(x)在 x=0 处连续，所以 f(0+0)=f(0)=f(00)，从而 a=2，c=2，即 f(x)=因为 f(x)在 x=0 处可导，即 f (0)=f (0)，故 b=一 2【知识模块】 高等数学5 【正确答案】 e 1 1【试题解析】 【知识模块】 高等数学6 【正确答案】 f(xy)+y2f(xy)+2xg(x2+y2)+4xy2g(x2+y2)【试题解析】 f(xy)+2xyg(x2+y2)， f(xy)+y2f(xy)+2xg(x2+y2)+4xy2g(x2+y2)【知识模块】 高等数学
6、7 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学8 【正确答案】 【试题解析】 因为 S(x)以 4 为周期，所以 S(9)=S(8+1)=S(1)，又 S(1)=【知识模块】 高等数学9 【正确答案】 y=【试题解析】 令 ，代入原方程得 ，两边积分得 一 ln一 lnxlnC=0 ，解得 y= 【知识模块】 高等数学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。10 【正确答案】 【知识模块】 高等数学11 【正确答案】 由 ln(12x3x 2)=(2x3x 2) (x 2)=2x x2 o(x2)得=2，则a=2，b+1=2 ，即 a=2，b=1【知识模块】 高等数学12 【
7、正确答案】 y (n)=Cn0x2(lnx)(n)+Cn12x(lnx) (n1) +Cn22(lnx) n2【知识模块】 高等数学13 【正确答案】 sinx=x 一 +(x5)=x 一 (x 5)，ln(1+x 2)=x2 一+(x6)， =1 一 x2+x4+(x4)，y=x 一 +(x5)，由得 y(5)(0)=141【知识模块】 高等数学14 【正确答案】 令 F(x)=x2，F (x)=2x0(axb) ，由柯西中值定理，存在(a， b)，使得，再由拉格朗日中值定理，存在 (a，b)，使得 =f()，故 f()= f()【知识模块】 高等数学15 【正确答案】 令 ，由 A(1+x
8、2)+(2x+1)(Bx+C)=3+3x 一 x2 得 解得 A=1，B=一 1，C=2，【知识模块】 高等数学16 【正确答案】 【知识模块】 高等数学17 【正确答案】 【知识模块】 高等数学18 【正确答案】 【知识模块】 高等数学【知识模块】 高等数学19 【正确答案】 S 1(t)=0t(sintsinx)dx=tsint+cost 一 1，S 2(t)=0 (sinxsint)dx=cosx 一( t)sint，则 S(t)=S1(t)S 2(t)=2(T 一 )sinT+2cost 一 1【知识模块】 高等数学20 【正确答案】 由 S(t)=2(t 一 )cost=0 得 t=
9、 当时，S (t)0，故当 t= 时，S(t)取最小值，且最小值为 ；因为 S(0)=1 一 1，所以 t=0 时，S(t)最大，且最大值为 S(0)=1【知识模块】 高等数学21 【正确答案】 ds= dt，则s=02ds=402 =40sinxdx=8【知识模块】 高等数学22 【正确答案】 不平行，所以三点不共线过三点的平面的法向量为 n= =一 4，3，一 24， 4，一 3= 一 1，一 20，一 28，所求的平面方程为 ：一(x 一 1)一20(y+1)一 28(z 一 1)=0，即 ：x+20y+28z 9=0 【知识模块】 高等数学23 【正确答案】 z=fx+(xy)，y两边
10、关于 y 求偏导得 =一 f1 +f2， =一(一 f11f 12)f 1一 f21f 22=f11()22 f12f 1f 22【知识模块】 高等数学24 【正确答案】 【知识模块】 高等数学25 【正确答案】 设 L 所围成的区域为 D，令 P(x， y)=(1)当 O(0，0)在 L 所围成区域的外部时，由格林公式 =0(2)当 O(0，0)在 L 所围成的区域内部时，作 Cr：x 2+4y2=r2(其中 r0，C r 在 L 内部，方向为逆时针方向)，再令由 L 和 Cr 所围成的区域为 Dr，由格林公式从而有令 则有【知识模块】 高等数学26 【正确答案】 由 得收敛半径为 R=4，当 x=4 时，因为 n时，()n1 所以幂级数的收敛域为(一 4，4)【知识模块】 高等数学27 【正确答案】 +y=0 的通解为 y=C1cost+C2sint，故原方程的通解为 y=C1cosex+C2sinex【知识模块】 高等数学
